Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

странства задаются пространствами петель, получаем отображение

Tf: Т В Spin ->-Цв О (Ап (Л - 2 , . ■ « О х Д в о (Ап (/), . . оо), определенное аккуратным выбором поднятий для классов Тома. С точностью до некоторой фиксированной размерности это отобра­ жение можно получить точно так же, как предыдущее, взяв п достаточно большим.

Совершенно аналогичным способом можно построить отобра­ жение

Tf: ТВ Spin£n—>-{] 'BU (Ап (/) -\-2п, . .., оо),

индуцирующее гомоморфизм

(Tf)*: ® (ЛчІхАі^Ф -Ь &t2Sq3) 24n(j)+2n Н* (ТВ S p iii2 n; / 2).

Основной результат Андерсона, Брауна и Петерсона заключа­

являются 2-примарными гомотопическими эквивалентностями.

Доказательство этого результата требует детального исследо­ вания алгебры Стинрода и когомологий пространств, участвую­ щих в формулировке теоремы.

Ле м м а 1. Гомоморфизмы

v:Л 2-+ Н *(ТВ Spinc; Z2): a-*a(U )

и

v: Л 2—уВ* (TB Spin; Z2): a-+a(U)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как SqlU — wtU, то указанные модули принадлежат ядрам гомоморфизмов ѵ. Тогда существует гомоморфизм

"ѵ: Л 2ІЛ2Sql -j- Л 2Sqÿ -*-В * ( Т В Spinc; Z2),

который, очевидно, является гомоморфизмом коалгебр. Для дока­ зательства его моиоморфности достаточно показать, что он являет­ ся мономорфизмом на группе примитивных элементов. [Элемент х некоторой коалгебры, в частности алгебры Хопфа, называется примитивным, если его диагональ имеет вид х ® 1 + 1 ® х.\

Напомним, что алгебра Стинрода Л 2является алгеброй Хопфа и двойственной к ней является также алгебра Хопфа Л*. Обозна­

5,g2Ä_1iS'g2ft_2 . . . Sq2Sq1] тогда Л% = Z2 [£*]. По двойственности, алгебра Л 2 имеет ненулевые примитивные элементы только в раз­ мерностях вида 2,+1 — 1, и в каждой такой размерности существу­ ет только один примитивный элемент, которым является эле­ мент Qi.

и, следовательно, переводит каждый ненулевой примитивный элемент в себя.]

Рассмотрим теперь точную последовательность

Qi-»-}“Qi

Л 2 ® Л:2 ------- Л г Л 2!Л 2Qо -Ь Л?$і 0.

Применение канонического антиавтоморфизма дает точную после­ довательность

LQo+LQi

Л-г © Л 2 --------- > Л 2 — %(Л2ІЛт$а ~гЛoQ^) — 0

и двойственную ей точную последовательность

где LQt — гомоморфизм умножения слева на Ç,-.

У т в е р ж д е н и е . (LSq)* (lh) = £й+ Ь -і -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х Ç H1 (RP (оо); Z2) и / — допу­ стимая последовательность. Тогда SqTx = 0, если І Ф (21, 2t~1, ..., 1) для некоторого t, и Sq^Sq2^ 1 .. . Sq1x = х2І+1. Если / — допу­ стимая последовательность степени 2к— 1 — і, то SqiSqI = '%ja.jSqJf

[Образы элементов Qt £ А 2, і ^ 2, являются ненулевыми прими­ тивными элементами, в то время как примитивность оставшихся элементов проверяется прямым вычислением диагонали.] Тогда

v(Sq2) = Sq2U = w2U,

V (Sq*Sq24- Sq2Sqi) = Sq* (w2U) + Sq2 (wJJ) = (wa+ w,w2 + W $ U , v(Qi) = S2i+_ f (w)U, i > 2 .

[Для доказательства последнего равенства заметим, что ѵ (Qt) =

= ос - U £ Н* (Т В О ; Z2), где а — ненулевой примитивный элемент размерности 2t+1 — 1. Единственным таким элементом является класс iS'2i+1_ 1 (№).] Далее, класс S 2h+i (w) является неразложимым,

а отображение В Spin0 — BSO переводит неразложимые элемен­ ты в нуль только в размерностях вида 2j + 1, так что все эти клас­

сы являются ненулевыми. Таким образом, гомоморфизм ѵ является мономорфизмом'.

[Чтобы показать, что класс S2h-t-i(w) является неразложимым,

воспользуемся следующей формулой для симметрической функ-

П

пии Sj = 2 х\ •

Результат для группы Spin можно доказать точно таким же способом, но можно также использовать отображение /: В Spin°_2—у-

В Spin„, классифицирующее расслоение у © £, где | — ком­ плексное линейное расслоение, задаваемое Зріп°-структурой. Ясно, что f*wn = wn-2w2 = Sq2wn-2, и, следовательно, для инду­ цированного гомоморфизма когомологий пространств Тома имеет место формула f*U = Sq2U'. Таким образом, достаточно показать,

что ядро гомоморфизма d z ---->dz/dzSq1 Jr d 2Sq3совпадает с груп­ пой dzSq1 -\-.^2Sq2. Если a-Sq2 = bSq1 +cSq3, то (a J- cSq1) Sq2=

d z/d z^q 1 -r-dzSq2 и dz/dzSq3- Сначала рассмотрим точные после­ довательности

Имеем

и(LSq*)* (ІІ-)= ((£‘У?1)*(Іі))я = 1,так как (LSq2)* (a-b)=(LSq*)*a-b+

--(LSq1)* a-(LSq1)* b + a-(LSq2)* b. Теперь непосредственно видно,

Таким образом, гомоморфизм (LSq1)* -{-(LSq*)* является моно­ морфизмом на И-модуле, порожденном элементами £ЩФ 1, поэтому (x (d 2/ d 2Sq1+ d 2Sq2))* = А и группа (x (d 2l d 2Sq3))*

является свободным И-модулем с образующими 1, Ij, £j, и Ы&-

Доказательство этого факта достаточно трудоемкое, и для удобства читателя будет дано как следствие ряда вспомогатель­ ных лемм и утверждений.

Во-первых, необходимо вычислить группы гомологий всех участвующих в рассмотрении одномерных ^ 2-модулей. После применения антиавтоморфизма х и перехода к двойственным