Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

гаемое

{ d 2/ d 2Sq1 + d 2Sq3) х ІП(Г) группы Я* (BTJ; / 2) в отдель

пости.

Существуют три случая.

1)

Последовательность / содержит 1. Тогда {Ті)*{7’/)* (хіпц)) =

является

нечетным.

Тогда

h* {хііП(і)) =

где

i>4 n(i) (mod 2)

равно Sq2xiin(i)-2 - Таким образом, {Tf)* h* (£/іП(і)) = WiU, и

класс

£pjt/ совпадает с классом (Ti)* (Tf)* (хііпщ).

и число п{1)

3) Последовательность I

не содержит единиц,

является

четным.

Тогда

(Tf)* h* (x/inm) = {Tf)* (x!inW) =

(§>/ -j-

физм групп Я { ; Ç0) и в случае спектра Т В Spin.

З а м е ч а н и е .

В случае необходимости можно

уточнить

выбор представителя

класса a 2ft. Так как QiSq2h~2 =

Q0Sq2h +

В с п о м о г а т е л ь н а я л е м м а 6.

H {{x{d2ld2Sqi + d 2Sq3))*-, RQ*) = Е [g? | і >

1],

Н {{% {d2/ d 2Sqi + d 2Sq2))*; JRQ*) = Е [g? | і >

1],

порожденным

кольцом Z2[§J,

I,, ...].

Таким

образом,

ker (RQl)*/im(RQl)* = E[%].

Ц, £3, . ..], ™

Так как

(хС^г/^аФ?1 + d 2Sq2))* == Z2 Ц\,

ker {RQi)* = Z2 [îj, I®, I®, ... ] и

im(i?Çi)*

совпадает

с

идеалом*

порожденным кольцом Z2[^, ££, ...].

Положим а = а + Р^1-г-7І® + 0 (^ + ^) +

е^Іг, где

а,

. . . , е —

элементы кольца А. Тогда

(RQJ* а = (Л<?0* « + ((Д&Г ß) • à + «RQі)* Т) ■•%т

~h((RÇf) Ô)’(^2+ Ш +

((Д(?і)* 8)'ilÈ2 + б+ 8Êir

и ker (iîÇ^VÎHi

является

E | i >> 1]-модулем

с

образую­

щим I®. ■

Если p — (2(i—2) + (2'a — 2)-f- ... + (2**— 2), где 2 < f j < *2< ...

...< Z tn, то р<і2*п+і—2. Таким образом,

если

2h —2- < р <

<2*+і — 2, то tn = k и пиело р

имеет единственное

представле­

-irc#2Sq3)p, где

<?4ßp= 0, такой,

что если

записать

р — {2(l—2)-j-

-}-...-г(2*п— 2), то

x(ßp)

принимает

значение

1

на

мономе

Ui-i

1 . Определим класс

ир £ Нр (В Spinc; Z2) по формуле

п*(ир)-и = ѵфр). Тогда

<2tUp = 0.

У т в е р ж д е н и е .

Для

Г^.2

класс u2t_z

является

неразло­

жимым.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем %(ßp) = 2

a.jSqJ, где Т —допус­

тимые последовательности,

р — 21— 2,

и элемент

2

^jSqJ прини­

мает значение 1 на |?_і. Далее,

(ÊjLj ) (SqJ) Ф 0

тогда

и

только

тогда,

когда выражение Л (SqJ) = 2

Eq° ® Sqv

содержит

слагае­

мое SqJ' 0 SqJ',

где

J' = (2t~2, ... ,1),

т. е. тогда и только тогда,

когда

SqJ (х2)Ф 0 (dim a:=l), и,

следовательно,

тогда

и

только

тогда,

когда

J—(2'-1, . . . , 2).

Таким

образом,

%(ßp) =

= SqoJ- \ . . Sq* + У, aj,SqJ'.

Пусть / = (/і, . .. , is) — допустимая последовательность степени

2‘ —2, дефект которой е(/)(болыпе 1; тогда e

(J)= (Д

— 2 7 2)-|- . . . +

+ (/s-i — 2Д)—{-Д = 2Д — deg

/ > 2

и,

следовательно,

2/1> 2 | , и

7'1> 2 і_1, причем Д = 2!_1

тогда

и только

тогда,

когда/ = /,

где

7 = (2t-1, ...,2).

Предположим

теперь,

что

SqJU = aU,

где

а —

неразложимый

элемент.

Пусть

/ = ( ; ,

/'), где J ' ф

0 ;

тогда

SqJU — Sq3 (SqJ'U) —Sq3 (a'U), так

что a = SqJ,ar по модулю раз­

ложимых

элементов,

но

/ > 2 І_1 и

deg а ' -<2f-1— 2 < / ,

поэтому

Sq}а ' = 0.

Таким

образом,

SqJU — aU,

где

а — неразложимый

элемент,

тогда и только тогда, когда /

= (21— 2). Следовательно,

достаточно показать, что коэффициент при Sq2i~2

в

выражении

для ßp не равен нулю.

Z2) — образующий

группы

и

J —

Пусть

у Ç Н 2 (СР (2‘ — 1);

допустимая последовательность степени

2*— 2.

Рассмотрим

эле­

мент SqJy2‘i~1^ i. Допустим,

что SqJy2 il~i =£ 0,

и

положим

J —

= {І, /') .

Тогда SqJ'y%i~1~1 = j/(2 ' - 2 - j) / 2 ф Q (п0

предположению)

/2 < - 2 - / \

J

у2<-2; но если

(

2Г

2

к

j

0

или SqJy2*~1~i =1

^

(mod 2),

V

2

/

/ = 2S+1—2 > 2 t_1

и

/ =

то к = 25 — 1, следовательно,

= 2г — 2. Таким

образом, достаточно показать, что

ßp (у2< 1~1)^=0.

В с п о м о г а т е л ь н а я

л е м м а

7.

Если

а,?)

принадлежат

Н*(СР(2‘ —1); Z2)

u d Ç d ;2,

ade deg0 + dim а + dim &= 2f+1— 2,

mo [х(Ѳ)а]-Ь = а-0(Ь).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство будем проводить индук­

Допустим, что оно верно

для степеней,

меньших і. Так как

го (CT (21— 1)) = (1-f-y)2*=

1 + у2< = 1, то

V (СР (2* — 1)) = 1,

и поэтому, согласно формуле By, образы всех операций

в стар­

шей

размерности равны нулю. Пусть А (0) = 0 <g>1 + У! 0'

<g>Ѳ" +

-{- 1

Ѳ- Тогда

Таким

образом, ßp (у2*-1-1) ^

0 тогда и только тогда,

когда

X (ßp) У¥=0. Так

как

%(ßp) = Sq2*~1 ... Sq2+ 2

a,j>SqJ"TzSqJ'y= 0,

т0

X(ßp) У= У2 1=#=0,

что

завершает доказательство

утвержде­

ния. ■

Н* (В Spinc;

^

Итак,

Z2) = Z2 [wzj, QiW2j, uv2,_21j ^ 2 s — 1 ,t > 2],

где

ÇiW2i_2 = 0.

[Заметим,

что

Q\WZj = іѵгі+3,

поэтому

классы

QiWoj являются образующими.]

совпадает

Дальнейшее

вычисление (^-гомологий формально

1) N = {d 2!JzSql j \-dzSq2) ® X и кегv = J 2Sq1 \-j!2Sq3,

либо

2) N = (Л 2/ ^ zSg1 -ЕЛ2^9") ®А -к (Л^г/^г^?3) 0 Y ы.кѳгѵ=

-(-

гаемое к л/| (N) в группе

М ІЛ гМ .

Рассмотрим

гомоморфизм

е\ N

®

( ^ 2 ® Т) ->- М:

(п, а ® t)->- / (л)+ а (t).

Тогда е —эпи­

морфизм

и индуцирует

изоморфизм группы Н ( ; Qt), і — О, \.

Пусть В == У) В п — градуированный

^ 2-м°ДУль)

где

В п —

группа элементов степени п. Через Вбб обозначим ^'^одмодуль

в В,

порожденный элементами степени не больше

п.

[Если

/: В ->-С — эпиморфизм,

то

/(") : ß(n) -»- С(") также

является эпи­

морфизмом.]

явля­

Ясно, что гомоморфизм е<-~1'>: (N ф (Л2 0

тогда, что

(N ® {Лг ®

и

М(п~Ч — изоморфизм.

Пусть

у Е (N ф (Лг 0 T)Yn\

пусть

е(г/) = 0. Тогда

можно

записать

у — У] bt ® xi +

J]

с, <g» у” 4-

У] dh

<S)

ih + z,

где biE

i

j

в случае

h

д,ь.ЕЛг, элементы

бс^г/kerv, с$ЕЛг1Лг$Ф (нуль

1)),

хі , У?> %

линейно независимы

в

Х п, Y n и

Тп соответственно

и Z E(N 0

(Ai 0 Т)Уп- 1\

Далее, Лг является свободным правым модулем над $ (¥>= Е

в случае

1) и =Л'%в случае 2)), и

пусть аа— базис алгебры Л-г

над %. Тогда можно записать

У= 2

^іа^а 0 хі ~Ь S

О’оРіл 0

Уі "P S

0

где UiaE Z2,

РіавЛг/Л'^д3, Wk£%- Положим

m = sup (degaa |

Рд

Пусть ф: М —> М ®>М -ѵ М ® (М/М(-п~1’>), где А — диагональ

и последнее отображение является естественной

проекцией.

Если пг6М(п-1), то A(m.)=Jj т' ®т", где каждое

q.

так что ф(пг) = 0.

Аналогично, если degç — п, то ф (д) = 1 0

Пусть Ъ Е^’, тогда

ф(Ь<?) = Ьф(д) = Ъ(1 ® д) — 1®Ьд,

так как

^