Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

1 [а], 1 [т] и 1 [со] являются нечетными числами (кратными обра­ зующим группы КО* (pt)) и зтд [со] = 0. [Применяя антиавтомор­ физм %и переходя к кольцу, двойственному коалгебре A J A 2Sqx + А г8ф, получаем, что это кольцо есть кольцо полиномов от классов размерности 4, 6, 7, 15, . . фундаментальный класс пространства ВО (in (2), . . ., оо) дает другой образующий раз­ мерности 8. Таким образом, отображение Tf индуцирует изомор­ физм в Zj-гомологиях до размерности 9, так что в этих размерно­ стях классы zi еще не появляются.]

Наконец, существуют многообразия 7?, размерности, равной dim. zj, и имеющие порядок 2, у которых все 7£0-характеристиче- скпе числа равны нулю, а число zr [7?,-] равно 0 или 1 в соответ­ ствии с Ï Ф і или V = і.

Теперь можно сформулировать и доказать результат Андер­ сона, Брауна и Петерсона [2]:

Т е о р е м а . Базис группы Q*pm ® Z2 задается следующими классами кобордизмов:

1) [Mj\ X X сс\ 0, 0<ы-<2, n(J) — четное число-, 2) [Мj\ X т X coft, /€>0, n(J) — четное число-,

3)№ ];

4)[7ѴД, n(J) — нечетное число]

g) ^ [Л/ j j X т j х wk х ах, Jc^O, ()■<£•< 2, л (/) — нечетное число.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Это непосредственно следует из структуры групп л* (ВО X Д К (Z2, dim z;)); в частности, в слу­

чаях 1), 2) и 4), 5), 6) числа л'д классов кобордизмов для J, равных индексу многообразия, являются нечетными кратными соответ­ ствующих образующих групп КО* (pt). Необходимо только заме­ тить, что группа л* {ВО (к , . . ., оо)) является л* (7?0)-модулем (относительно тензорного умножения) и что образ группы л 4(Т?0)®

SO

на подкольцо кольца полиномов В# = Z [xit\, состоящее из всех классов размерности Sk, k^>0: u всех двукратных классов размер­ ности S/c-j-4.

В частности, все соотношения между числами Понтрягина Spin-многообразий задаются следующими соотношениями из КОтеории:

Sa (ер) Â [М] 6 Z или 2Z,

если dim Ж = 0 или 4 (mod 8) соответственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим гладкое замкнутое мно­ гообразие М п, вложенное в S8N для некоторого большого N с нор­ мальным Spin-расслоением ѵ. Тогда

Sa (ер) Â [М] = ch (Sa (Яд) ® С) • Ф і1 (ch (тр U (v))) [M] =

на группе KOSN~n (S8iN), как известно, являются целыми для всех п и четными для ?z = 4(mod8).

Таким образом, определен гомоморфизм т: Q®pin— Из вы­ числения кольца Б^°, проведенного при изучении 5£/-кобордизмов, известно, что #*° = Z [а;^], и ясно, что і т т содержится в под­

кольце A ^ c zB l0, где A8h=- Bl° и Ash+i = 2£|°+4.

Очевидно, что подгруппа im т в И* имеет 2-примарный индекс в каждой размерности, так как і п и с 5®° с im и гомомор­

физм й*рш — О®0 является изоморфизмом по модулю класса конеч­ ных 2-примарных групп.

Вычислим (im x)Sh. Имеем Sa (ep) Â [Msfe] p (l)ft= Sa (ян) [Ms,t]. Представим последовательность /, являющуюся разбиением числа 2k

и содержащую р единиц, в виде / = (/, 1, .. . , 1), где после­ довательность J не содержит единиц. Положим

Тогда числа KR ([A/J]) равны нулю, если К Ф / , и нечетны, если К = J. Таким образом, свободная группа, порожденная

классами тМ'і, является подгруппой нечетного индекса в ßf°. С другой стороны, как уже доказано, эта группа имеет 2-прпиар­

ный индекс. Следовательно, В ff = (im т)8А. ц

Можно получить еще некоторую дополнительную информацию

о структуре группы af".

Пусть М — некоторое (8к + 2)-мерное Spin-многообразие.

Рассмотрим окружность S 1 вместе с нестандартным оснащением (Spin-структурой), которая представляет ненулевой класс а £

6 ß!pin ^ Z2. Все числа Штифеля — Уитни многообразия S1 равны нулю, п, следовательно, все числа Штифеля — Уитни

многообразия S 1 X М также равны нулю. Кроме того, все КО- чпсла многообразия S 1 X М равны нулю, так как оно имеет раз­

= T (М ) [J X X М , где X является двумерным Spin-многообра­

класс группы Qfh+l ® Z2.

Очевидно, что эта конструкция зависит только от класса кобордизмов многообразия М и является аддитивной относитель­ но несвязного объединения многообразий. Таким образом, опре­ делен гомоморфизм

Т: й|й+2 —» ^8й+4 Z2.

Если N — некоторое 8Лмерное замкнутое Spin-многообразие,

то д (U X N) = S1 X М X N, так что класс T (А/ X іѴ) пред­ ставлен многообразием (2U X N (J [—(У X М X N)]ld (2U x N ) = = д (V X М X N)) = Т (М ) X N. Таким образом, Т является

гомоморфизмом ^з*ш-модулей.

Если группу Q®pin рассматривать как группу nn+* (ТВ Spinft) для некоторого большого к, то можно дать следующую интерпре­

шіровать отображения 2 и h до отображений, трансверсально регулярных во всех точках, за исключением отмеченной, причем

ным на В Spinjt и прообраз его будет Spin-многообразием 2S1x M .

са ß и h — надстройка над отображением Хопфа. Отображения boh и /іо2 (если п ^ 3) можно продолжить до отображений дисков; и при помощи этих продолжений, как и выше, построить класс группы пп+2 (X), который называется скобкой Тода' (2, ц, ß ). Другой выбор гомотопии в точку отображения b°h приводит к классу, отличающемуся на двукратный класс, а другой выбор

и все другие группы гомологий положительной размерности рав­ ны нулю, и что очевидная универсальная конструкция отобра­ жения (2, г], і ) дает отображение, композиция которого с л; является отображением степени 2.