Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Т е о р е м а . Кольцо

Q*51“//*

изоморфно

подколъцу

A ^ a R

^ ,

порожденному элементами УД+2, />• 1,

0!

и элементами

групп

R s k и 2 R $ h - H -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ясно,

что кольцо /* является ядром

гомоморфизма, индуцированного

отображением?1/: Т В

S p i n

В О ,

и поэтому

Й*рш//* — можно

отождествить

с кольцом

im (Г/Д.

Далее,

с= Tors (Q®pln),

так что определен

гомоморфизм

р:

-V (Q|pin/Tors) ci В

= Z [а;4г], который тривиален на груп­

пах размерностей, не кратных числу 4,

являющихся

/^вектор­

ными

пространствами.

Так

как

группа

я.,* ( В О ) не имеет

кру­

чения,

то

/ 4* = Tors(fifpin)

и,

следовательно,

р:

Qfpin/ / 4s; ^

(ГД): (Й®рт/Д )г ->-Яг ( В О )

в

размерностях

іф. О (mod 4). Таким

образом, существует класс

0t Ç Qipin//i

SË Qjpm,

такой,

что 0J =

~ 20t = 0, и оператор взятия скобки Тода Т = (2,

ц,

): it8h+2 ( В О )

Я8Й+4 ( В О ) ® Z2 является

изоморфизмом,

поэтому

гомомор­

физм Т: Qgfe+a/^eim-^ (ßfp+4/ / 8)l+4) ® Z2

является

изоморфизмом.

жения на г]

отображает

я8)і ( В О ) на

я8гі+1 ( В О )

и имеет ядром

в точности

двукратные

элементы,

так что

£2|рД і//8г+1 SÉ

+ S ( ^ f i ' - 8 h / ^ 8 t - 8 h ) • Y g h + 2 = B g t + 2 CZ Qfi+2 ^T8f+2 ЯВЛЯвТСЯ

ПОД-

h=i

сами, которые при отображении р переходят в 2а:4

и 2а,'8;:.ь,•

Таким образом,

Bst+2 совпадает с й |рД2/?8(+2 - Ядро

гомомор-

і

физма й |Г / / 8, Ѳ

S QÎT-sk/Isi-sh-*Bst+z, определенного

умноже-

fc=i

Понтрягина

<@і 6 Я41 (В Spinc; Cl) и

класс

Ç Я 2 (Æ Spinc;

Cl),

такие, что

Я* (i?Spinc; Cl) SÉ Cl [cb

g),].

Следовательно,

можно-

образовать классы Sa,j(e) = Sa (eg)eic1

и

S’ = е~сі!гА в

кольце-

H* (В Spinc;

Cl).

Положим

Я®ріІ,С = {х Ç Н п (В Spinc;

О,) |5 Ш, j (е) З3[ar] Ç Z

для

всех со и

/}

и В ^ іпС = ® ВІѵіп° ci Н^(В Spin^; d ). Группа

Q finC

является

П

структуру

//-про­

кольцом, так как 5Spinc допускает

жение в кольце Н* {В Spin0; Cl),

задаваемое формулами

Д ($/) =

=

2 Vi ® fh и A c^cj ® 1 + 1 0

Сі . Таким образом, A (Sa (еч.)) =

i+h=i

Sa' (ер) <8>Sa» (ер), Д (i) = Â

® Â и Аете‘ =

û

=

S

® e ™ , г д е

tO'ü>"=(ù

VÇ Q..

Пусть Я = Ж[а;] ®.U, i^> 1, где Я — свободная абелева группа

с образующими u„,

nÇZ (т. е. — оо < / г < оо). Определим сумму

и умножение в Я

формулами

(S p i(a)U i)

+

( 2 0>(a)*ty) = S(Pfc(a) + qh(a))-uh.

Из

Для

а + Я |ріпС

положим © (ж) =

2 (£<о, у (е) <У) [;г]аш-к,+ Я .

формулы для

диагонального

в

отображения

А

следует,,

что

относительно

умножения

Я* (Я Э ртс; Cl),

инду­

Рассмотрев гомоморфизм т: £2®ріп

Я* (В Spin0; О,), полу­

р' (х) = 2 Sa (e^g) ff [z] аш и

р' — гомоморфизм,

введенный

при

■изучении 5[/-кобордизмов.

с

Пусть 0 2: 5*рш

Z2 [а;]

— композиция

гомоморфизма

0

гомоморфизмом

jff-»-Z2 [«{],

который переводит

uj

в

нуль,

если ] Ф 0,

и

в 1ÇZ2, если

] = 0.

П р е д л о ж е н и е .

Полином Ѳ2 (т (СР (г))) имеет,

наибольший

моном

ссі/2 !

если і — четное

число,

и

1)

2)

1, если

і = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

i — 2j

достаточно показать,

что

£<J).

[СР (2/)] =

(еу) ff [СР (2j)] = SU) ((?) [CP (2/)] = 2j + 1 ф

щк 0 (mod 2).

Полный

класс

Понтрягина

многообразия

и

СР (1)

равен 1, так что число Sa(e^)

равно нулю, если ю ^О ,

равно

1,

если

со = (0);

кроме

того, Â = l.

Тогда

Sm ,jff [СР (1)] =

Ісі+ і_ci

[СР (1)] = 2j -f- 1,

что

завершает

доказательство,

и

= е

2

С л е д с т в и е .

Кольцо (Q®pinC/Tors) ® Z2

является

кольцом

полиномов

над Z2

от. классов уі,

где і = 2 или

4к. Кроме

того,

0 Р: B f in

-> H ® Zр гомоморфизм 0 , приведенный по модулю р.

Пусть к — некоторое целое цисло и со Ç л (2к) — разбиение

числа

2к

вида

(2, .

4

+

іТ),

в

которое число 2 входит

/ раз.

Запишем

j

в виде

.. . Ц-Х3р*,

0< Я г-<р,

и

определим

многообразие

N1 = CP ( i f

0 X . . . X CP ( p sf з

X Міц X . . .

X MliT,

где

обозначает б’П-многообразие,

построенное

в гл. X.

П р е д л о ж е н и е .

Д ля

всех

разбиений

со

числа

2к,

в кото­

рых встречаются только числа 2 и 4і,

і > 0,

элементы Ѳр (xN^) Ç

6/f

(S) Zp

линейно независимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

«а

Допустим,

что

2 паѲр (xN%) = О,

/îcaÇZp, для некоторых

0 ( со Ç л (2fc) — разбиение

указанного

вида). Представим каждое со в виде (21j,

4со),

где / ;- — разбиение,

состоящее из j единиц. Пусть т обозначает наибольшее

значе­

ние

у

в разбиениях

Ij

среди

всех разбиений со,

для

которых

пш-

(т. е. па Ф 0 для

некоторого

со = (2І т, 4со),

и

для

каж­

дого

co' = (2/j,

4со')

с па- ■-ф 0 мы

имеем

]^.т).

положив

Определим

гомоморфизм

ср} H

Zp-v Z p [а;],

т\

\

если

( Х і- < т ,

и

cp(u;) = 0

в

остальных

ф(“ -

І ( — 1)т

случаях. Тогда для каждого многообразия М коэффициент при

а~

у полинома

ср (0 Р (тМ))

равен

т

S

( 7 ) ( -

1)т

_ 1 (%>) ^

(%о) (<?Сі -

1)т ? №

=

= 5 - (е^)

(члены,

содержащие

в более

высокой степени).

Так как

класс

ct равен нулю для ^^-многообразий, то

ф ( 2

ге<о0Р (xiVg,)) 2

2

и А '

(е®) <5° [Ml~\-c™ [Fm] «ш',

СО

(О (O'

0

где

вторая

сумма берется по всем разбиениям вида со = (2І т, 4со)

и У£г =-- СР ( I f 0 X ...

X СР (p3f

3

для

та =

Цо +

■• • . +

0<!цг<р. Тогда

■[У\

• • +

ЦзР'

С(10[С Р(1Н

[C/>(pef*l

[Со

И

Ж [СР (рТ ) = fi! (cf [СР (р Ж

= fi! (рт+

1)рр\

так

что с™[Fm] Ф 0 (mod р).

®Лею) & [Мр^~\ а<л'=

Следовательно, полином

2

2

7г(2i

— S

^(2 /

4 W)^ P (т-^2^)

Равен

нулю.

Как

было

показано

при

изучении <5£/-кобордизмов, полиномы рр(хМр~) для coÇit ^

^ 2т ^

линейно

независимы,

и,

таким

образом,

все

коэффициенты

п(2і

4 ш)

Равньт нулю, что противоречит выбору числа тп. ■

xQ*pm

= B f in . Кроме того, гомоморфизм

забывания

—>

n

/Tors является эпиморфизмом.

З а м е ч а н и е . Другое доказательство

можно получить,

при помощи /іС-теории.

простое

число.

Образующий

группы

Пусть р — нечетное

TQ|pln° ® Zp является

образом

класса

кобордизмов

СР( 1)

с ©р(тСі>(1)) =

2 ( 2 і + 1)иі,

так что Ѳр (хСР (1)р) = (Эр (хСР (1)).

Неразложимый

образующий

группы тП|Рр-і) ® Zp является

= £ =£ 0 (mod р), так

что Ѳр (xMp_t) = £ 2 Щ, и полагая

и-£ =

= 1 (mod р), получаем Ѳр (х (цМр_і х СР (1)) = Ѳр (хСР (1)).

Тогда

х(иМр_і) —х(СР(1)р_1) и х(С/5(1)) представляют собой

ненуле­

вые элементы в кольце xQ®pin ® Zp, произведение

которых

равно нулю. Таким образом, имеет место

П р е д л о ж е н и е .

Для простого р кольцо (Q®pin /Tors) ® Zp

является кольцом полиномов над 7LP тогда и только

тогда,

когда р = 2.