ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 121
Скачиваний: 0
Так как для каждого нечетного простого р и каждого целого числа т характеристическое число с™[У™] Ф 0 (mod р), то суще
ствуют многообразия Утб^г™'1 , У которых характеристическое число с” 1 [Ут ] является степенью числа 2 , и, следовательно,
существуют классы u2 mÇÊ2|mn |
<g>Z [1/2] |
с c“ [u2m] = l. |
Согласно |
|
результатам об SU-, Spin-кобордизмах, |
кольцо |
т£2®рш ® Z [1/2] |
||
является кольцом полиномов от классов хц, |
где х4і — классы |
|||
кобордизмов iSCy-многообразий. Тогда |
кольцо |
Q®pin |
® Z [1/2] |
|
является свободным модулем |
над ß®pin <8 >Z [1/2] = Z [1/2] [z4i] |
|||
от классов и2т, и относительно этой структуры модуля имеют место формулы
|
— |
ß ; , jK '2 C i+ J ) “ Ь |
ß ü ) . г . j % i a ^ Z k : |
|
4|(ö|-^2fc = 2(j + /), |
I со J > |
0, ßi.j, |
ßo). i .jÇ I [1/2]. Кроме того, |
|
ß i . J = С І + І UhiUzj) = ( |
1 |
" |
cî(мал) с{ (ii2j) = |
|
Это описывает кольцо (Q finC/Tors) ® Z [1/2] и завершает ис следование 8 ріпс-кобордизмов.
С в я з ь с о с н а щ е н н ы м и к о б о р д и з м а м ц
Те о р е м а . |
Гомоморфизм забывания Fn: Q^r —>-ß®pin является |
|||||
изоморфизмом |
в |
размерности |
0. Для п^> 0 группа |
im Fn |
||
является нулевой, если |
тг=^87с-г1, 87с 4-2, |
и іт У 8;1+1^ |
||||
^ ІШ ^ 8/1+2 = Ж2. |
|
|
|
|
|
|
Гомоморфизм |
забывания F |
Й,г,г —у Й^ріп |
является |
изомор |
||
физмом в размерности 0 и тривиален для n~>Q. |
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Гомоморфизм забывания Fn для группы |
|||||
йпрш разлагается в композицию |
>-ß®pln, а гомоморфизм |
|||||
забывания Fn для группы Q®pln° разлагается в композицию
, что сразу дает оценку сверху на образ гомо морфизма Fn, Как показано выше, существуют оснащенные мно гообразия размерности 8 /« 1 и 87с+ 2, у которых /іГО-характе- ристическое число 1 не равно нулю. Так как іШ-характеристи- ческие числа являются инвариантами Spin-кобордизмов, то эти
многообразия имеют нетривиальный образ в группе й*р1п. ■
С в я з ь с н е о р и е н т и р о в а н н ы м и к о б о р д п з м а м и
Т е о р е м а . |
Образы гомоморфизмов забывания |
F.,: |
и Е*: Q f nC-*9î* |
совпадают с множествами классов кобордизмов, у которых все числа Штифеля — Уитни, содержащие множителями классы гщ или w2 и Wi или w3 соответственно, равны нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как у Spin-многообразий классы іщ и гг2 равны нулю, а у 8 ріпс-многообразий классы гщ и w3 рав ны нулю, то указанные множества классов кобордизмов содержат образы соответствующих гомоморфизмов забывания.
Предположим теперь, что класс v £ H n(BO; Z2) равен нулю для всех Spin (соответственно БріпД-многообразнй размерности п,
и пусть М —некоторое многообразие, |
у которого |
все характери |
|||||||||
стические числа, содержащие іщ или іѵ2 (соответственно |
w3), |
||||||||||
равны |
нулю. |
Далее, |
гомоморфизм |
р*: |
Н * {Т В О ;Т 2) —> |
||||||
—->Я* {ТВ Spin8; |
Z2) |
является |
эпиморфизмом, |
и класс в |
|||||||
Н* {ТВ Spin8; Z2) обращается |
в нуль |
на |
всех |
элементах гомото |
|||||||
пических групп |
пространства Т В Spin8 |
тогда |
и |
только тогда, |
|||||||
когда |
он принадлежит группе ,S2H* {ТВ Spin8; Z2). Таким |
обра |
|||||||||
зом, обозначая через |
Ф изоморфизм Тома, получаем, что Ф(і>) = |
||||||||||
= Ф (я) modЛ 2Н* {ТВО; |
Z2), |
где |
х£кет{р*: |
Н* {ВО; |
Z2)->- |
||||||
—»Я* {В Spin8; Z2)). |
Классы |
из |
группы |
Ф“ 1 |
{А2Е* {ТВО; Z2)) |
||||||
обращаются в нуль на всех многообразиях, поэтому ѵ\М ]=х{М \,
где X= 2 |
аіРі (Щ) + 2 |
ßjOj (u>2) (соотв. 2 |
“ гРг (щ) + |
2 |
ß/П (^з))> |
||||||||
где |
рг, O jÇ ^2, |
a i, |
$j£H* {ВО; |
Z2). |
Рассмотрим |
число |
|||||||
a-g{Wi) [M]. |
Так |
как р(ш1) = А,ш^, |
где |
À,ÇZ2, то а-р{гщ) {М} = |
|||||||||
= aXw\ [М] = 0 , |
|
поскольку |
все числа |
многообразия |
М, |
содер |
|||||||
жащие ц?і, равны нулю. Рассмотрим также |
число |
ß-a(w2 )[M] |
|||||||||||
(соответственно |
ßcr {w3) [М]). Если deg(cr) = 0, то это число равно |
||||||||||||
нулю, так |
как |
все числа многообразия М , содержащие w2 (соот |
|||||||||||
ветственно w3), равны нулю. Предположим, |
что ß'o' {w}) [i¥] = 0 |
||||||||||||
для |
всех |
а', |
таких, |
что |
deg а' < |
deg а, и |
пусть |
Да = ст0 І + |
|||||
+ 2 |
® ст''+ 1 ® ст- |
Тогда |
2 (о' (ß) о" (шД) [М] + a (ß) • w3 [М] = |
||||||||||
ßa {wj) [М ] = а (ßin,) [М] + |
|||||||||||||
= c{ßwj) [М],
так как все последующие члены равны нулю по индуктивному предположению. Далее, er (ßw;) \М] = va-ßin; [М], где ѵа — «класс Ву», определенный для сг в кольце Я* {ВО; Z2), и это число равно нулю на многообразии М, так как оно содержит класс
2 1 - 0 1 0 2 4
wj, j = 2 или 3. Таким образом, класс ѵ также обращается в нуль на многообразии М .
Так как каждое характеристическое число, обращающееся в нуль на элементах из im. В*, обращается в нуль также на много образии М, то класс [М] обязан принадлежать образу гомоморфиз ма F*, что завершает доказательство. ■
Н е р е ш е н н ы й в о п р о с . Можно ли найти хорошее опи сание образов колец Q|pin и Й|ріпС как подколец в 91*?
С в я з ь с о р и е н т и р о в а н н ы м и к о б о р д и з м а м и
Т е о р е м а . Гомоморфизм |
забывания В*: Q*pln —> |
имеет |
||
ядро, совпадающее с идеалом, |
порожденным классом |
а £ Q®pin. |
||
В частности, кегі?п = 0, |
если |
я |
8 /с-)-1, 8&-j-2, и |
кегF8h+iT |
г = 1 , 2 , совпадает с U8 гга\ |
где |
USkCzQ%hin— подгруппа, изо |
||
морфно отображающаяся на £2spin/Tors. |
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как |
Qf° = 0, то кольцо kerB* |
|
содержит идеал, порожденный классом а. Если zÇkerF*, то х имеет конечный порядок, так как гомоморфизм В* (g) (Q, является изоморфизмом, где Q,— поле рациональных чисел. Таким обра
зом, кольцо к ег/1* с: TorsQ*pinмономорфно отображается в £2*pin(g>
<g>Z2. Так |
как многообразия |
Mj, т и со все имеют бесконечный |
||
порядок, то |
базис группы |
Tors£2*pin ci Q*pin <g) Z2 задается |
клас |
|
сами [Mj] |
X cofex a i, i > |
0, |
( lyV/-c|XT j X coft X a*, t > 0 , |
[/?,-[ |
и [IVj]. [Все эти классы принадлежат образу элементов конеч ного порядка, а факторгруппа по подгруппе, порожденной ими,
имеет тот же ранг, что и группа (Q*pln/Tors) ® Z2, так что эти классы порождают образ всей группы элементов конечного порядка.] Далее, классы [В,] и [?ѴД обнаруживаются своими Ж2-когомологическими характеристическими числами, и, следо вательно, группа kerB* является векторным пространством,
порожденным |
классами, |
кратными классу |
а. Классы [M j] X coft |
||||
и ( ~M~J\ Х Т ) |
X (ùh, |
как |
известно, |
образуют базис |
группы |
||
(й іГn/Tors) ® Z2, и, |
следовательно, |
выбрав |
подпространство |
[/s;,, |
|||
как указано в теореме, получаем, что ker |
= U&, •а1 ,і = |
1 , 2 |
. | |
||||
З а м е ч а н и е . Образы кольца Q*pin в кольце Q*°/Tors (в тер
минах кольца В*0) и в кольце 9Î* были описаны выше, а это дает по существу описание образа гомоморфизма В*.
Т е о р е м а . Гомоморфизм забывания G*: й^.р|п —
является мономорфизмом, а ядро гомоморфизма F*: Й^ріп —>-й®° не имеет кручения. Кроме того, композиция гомоморфизмов
QSpinС£* QSO_4 QSO/Tors
является эпиморфизмом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Гомоморфизм G* индуцирован отоб ражением я ', и поэтому гомоморфизм G* ® Q, является изомор физмом, так что ker G* — конечная группа. Так как все элементы
конечного порядка в й*ріп обнаруживаются своими Z^когомо логическими характеристическими числами, которые, как извест но, определяются элементами кольца Н* (ВО; Z2), то группа
Tors й*ріпС мономорфно отображается в 9Ï*. Следовательно; ker G* = 0. Из этих же рассуждений следует, что группа ker Ft
не имеет кручения. Так как гомоморфизм Q^°/Tors являет ся эпиморфизмом и разлагается в композицию с гомоморфизмом
->- й*р1п , то гомоморфизм яоі^ является эпиморфизмом. щ
З а м е ч а н и е . Ядро гомоморфизма F* можно также описать как идеал, порожденный нечетномерными проективными прост ранствами СР (2к + 1). Действительно, все числа Понтрягина и числа Штифеля — Уитни многообразий СР (2к + 1) равны нулю,
ипоэтому гомоморфизм Г* переводит идеал, порожденный ими,
внуль.
Пусть R * = Z [уи] с= й*ршС — подкольцо, изоморфно отоб ражаемое на Q®°/Tors. Тогда классы yit можно использовать вме сто классов СР (2і) или М \і в предыдущих вычислениях по модулю
р и получить, что |
кольцо Й*р1п /Тога порождается классами |
[СР (2к + 1)] и кольцом Я*. |
|
Обозначим через |
S * подкольцо в Й*Р1П , порожденное клас |
сами СР (2к + 1) и кольцом R *. Кольцо G* не содержит элементов |
|
конечного порядка, так как каждый элемент конечного порядка
в £* |
должен |
принадлежать идеалу, порожденному классами |
[СР (2к + 1)] |
(поскольку он принадлежит ядру гомоморфизма |
|
яоFç), |
и, следовательно, он должен принадлежать ядру гомомор |
|
физма |
F*, но группа ker Ft |
не имеет кручения. Таким образом, |
||
й*р1П |
_ |
^ |
0 Tors (й* п ) |
и, следовательно, кольцо ker Ft = |
= ker F* |
|s+ |
совпадает с идеалом, порожденным многообразиями |
||
СР (2к + |
1). |
|
|
|
21*