Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Связь с комплексными кобордпзмами

Единственным содержательным результатом здесь является

П р е д л о ж е н и е . При гомоморфизме забывания кольцо

эттморфно отображается на кольцо Q®pin /Tors.

Этот результат уже был получен выше.

Связь со специальными унитарными кобордпзмами

Интересным результатом здесь является

П р е д л о ж е н и е . Гомоморфизм забывания F%: £*Р является мономорфизмом на подгруппе элементов конечного поряд­ ка.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М — некоторое (8/с + ^-мер­ ное 5 //-многообразие, т = 1, 2. Тогда М кобордантно многообра­ зию N Sk X Ѳе для некоторого 517-многообразия N sh. Имеем

5Ш(л8 (т ® С)) [М] = 5Ш(л8 (т ® С)) [ТУ] (mod 2) =

=5ш(й£р) S’iN] (mod 2) =

=5Ш(яя) [/V] (mod 2) =

=5ш(лн) [М] (mod 2),

иэти характеристические числа полностью определяют класс кобордизмов [717] как в случае Spin-, так и в случае 577-кобордиз- мов.

Связь между Spin- и Spin0-кобордпзмами

Легко проверить, что отображение g: В Spin X B U L->• В Spin0, классифицирующее сумму канонических расслоений, является гомотопической эквивалентностью. Так как TBUX= СР (оо), то имеет место

П р е д л о ж е н и е . Q„piriC as йп- 2 (СТ* (оо)).

Группы Spin- и Spin°-Ko6opflH3MOB можно связать точной последовательностью таким же образом, как это было сделано для SU- и //-кобордизмов или для SO- и 0-коборднзмов. С вычис­ лительной точки зрения эта последовательность почти бесполезна, так как не существует хорошего описания группы элементов

конечного порядка в Q S p i n _

(!) (к стр. 58). Использование формальной группы геометрических кобордизмов позволило систематизировать н далеко развить результаты о кобордизмах с действием групп (см. обзор: Бухштабер В. М., Мищенко А. С. и Новиков С. П., Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии, УМН, 26, вып. 2 (58), (1971), 131—154).

PL characteristic classes and cobordism, Bull. Amer. Math. Soc., 77, № 6

(1971), 1025—1030.

Цутия (Tsuchiya A.), Characteristic classes for PL micro bundles, Bull. Amer. Math. Soc., 77, № 4 (1971).

(8) (к стр. 59). Недавно в этой теории получен очень важный результат (см. Quinn F., Surgery on Poincaré and normal spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 78 (1972), 262—267):

Пусть X — клеточный комплекс. Для любого элемента a g Н к ( Х \ J_),

96(1972), 211—244).

(4)(к стр. 61). В связи с задачей гомотопической классификации гладких неодносвязных многообразий А. С. Мищенко ввел новую категорию коборднзма, построенную на алгебраических объектах. Используя эти кобордизмы, он для каждого неодносвязного многообразия М п с фундаментальной группой я определил важный гомотопический инвариант сг (Мп) со значе­ нием в группе Уолла L n (л) и доказал, что в ситуации перестройки отобра­ жения /: М 'і -¥■ JV/Ц- до гомотопической эквивалентности препятствие к пере­ стройке полностью определяется разностью инвариантов а (М") — о (Л/£)

(см. А. С. Мищенко, Гомотопические инварианты неодносвязных многообра­ зий, I. Рациональные инварианты, Изо. А Н СССР, серия матем., 34 (1970),

501—514).

(6) (к стр. 65). Построение этой спектральной последовательности в слу­ чае комплексной К -теории дано в работе Атья — Хпрцебруха [2] и без тру­

да переносится на общий случай (см. Дольд [5], Дольд, Полуточные гомото­ пические функторы, сб. Математика, 14:1 (1970), 78—82).

(°) (к стр. 77). Для комплексной А'-теории п теории комплексных кобордизмов существует канонический выбор так называемого геометрического класса а ѵ . В этих случаях можно указать явные формулы для ряда h (х)

(см. стр. 115 и добавление).

Таким образом, для К = Ц[ расслоение т не является векторным Х-расслое-

нием (см. Атья [3], стр. 64).

(s) (к стр. 139). В работах В. М. Бухштабера и А. С. Мищенко, Элементы

СССР, серия матем., 32 (1968), 560—604, указаны необходимые и достаточ­ ные условия того, чтобы каноническая проекция [X, В !7] lim К (Хп) для

бесконечного комплекса X с конечными остовами, Хпбыла изоморфизмом, и приведены характерные примеры пространств X для которых [X, BU] Ф Ф 0, а lim X (Х п) = 0. Обратим внимание, что отмеченное автором отличие

свойств Х-теорпи от свойств теории бордизмов па категории бесконечных клеточных комплексов является общим отличием свойств теорий когомоло­ гий от свойств теорий гомологий на этой категории. Впервые этот вопрос на примере Х-теория был исследован в цитированных работах Бухштабера и Мищенко. См. также Ландвебер [11], Landweber Р., Elements of infinite filtration in complex cobovdism, Math. Scand., 30 (1972), 223—226, Yosimura

Zen-iclii, On cohomology theories of infinite CFP-complexes, I; II, Pubis. Res. Inst. Math. Sei., 8 , № 2 (1972), 295—310; 8 , № 3 (1973), 483—508.

(s) (к стр. 176). Так как Х'-векторные расслоения ориентированы для спектра А , то определен фундаментальный класс [Dr, 5т] Çj#2n+u (Dх, 5т; А),

см. стр. 36. Вопрос о существовании класса U £ Н п+и (Тт; А) является труд­

ным и будет в частном случае обсуждаться ниже.

(10) (к стр. 196). Из теоремы 1.18 работы: Бухштабер В. М., Модуля диф­

группы Нп_2f(p—п—і (X; Z) не имеют р-кручения. Тогда для каждого класса

стому числу р положительное число ф (р) и принимающая значения, отлич­ ные от единицы только для конечного набора чисел. Тогда существуют ком­ плекс X и класс гомологий с Ç Нп (X; ~£_) бесконечного порядка, такие, что

группы Hn_2ttp-u-i (X; Z) не имеют р-кручения для всех г > ф (р) и наи­ меньшее число а, для которого класс гомологий ас имеет вид g* \М п\, равно

д ^ ( р ) - і .

р>2

Отметим, что утверждение а) для случая, когда ф (р) = 1 для всех про­ стых р, впервые было получено в работе Новикова [2].

(и ) (к стр. 200). Можно дать чисто алгебраическое доказательство этого утверждения (ср. Новиков [7], стр. 1253). Пусть А — коммутативное кольцо

g- 1 (х) = tanh X. Таким образом, формальный ряд для функции tanh х при­

надлежит кольцу Zodd IW], и, следовательно, формальный ряд, задающий характеристический класс L (£) (см. стр. 188), также принадлежит кольцу

Zodd IW ]-

(12) (к стр. 244). Свойства умножения * можно просуммировать следую­ щим образом (см. Бухштабер В. М., Проекторы в унитарных кобордпзмах, связанные с 5 iZ-теориѳй, УМН, 27, вып. 6 (168), (1972), 231—232). Положим

кольцевым.

До к а з а т е л ь с т в о .

Ф(а * b) — а * b -f- td (а * Ь) =

= ab -f-2 [У4] да дЪ -f- tadb -f- tbda — [CP (1)] tda db =

= (a + tda) (b + tdb) — (t2 + [CP (1)] t — 2 [У4]) да db =

=ф (а) Ф {b). ■

(13)(к стр. 258). Докажем это утверждение. Так как 5Ш(e^)Â (х) £ Z, то

(е^,) L (х) g Z (см. замечание на стр. 194), и поэтому х£Вп. По теореме

на стр. 193 имеет место изоморфизм Вп зё тй®°, и поэтому х 6 тй®° .

(14)(к стр. 261). Этот вопрос стимулирован следующим обстоятельством.

Впостроении класса ориентации расслоения £ участвуют два представления структурной группы расслоения: представление в пространстве Ch, опреде­

ляющее расслоение |, и некоторое представление в пространстве Л (Ch).

Для того чтобы получить класс ориентации в /^-теории, необходимо, чтобы представление в пространстве Л (Ck) было унитарным. Детальное исследо­ вание конструкции показывает, что представление в пространстве Л (Ch)

3.On the groups J(X), I, II, III, IV, Topology, 2 (1963), 181—195; 3 (1965), 137—171, 193—222; 5 (1966), 21—71. [Русский перевод: сб. Матема­ тика, 10:5 (1966), 70—84; 11:4 (1967), 42—69; 12:3 (1968), 3—97.]

Андерсон Д. (Anderson D. W.)

1. Thesis, Univ. of Calif., Berkeley (not yet published).

Андерсон П. (Anderson P. G.)

1.Cobordism classes of squares of orientable manifolds, Ляп. Math., 83 (1966),

47 -53 .

2.Note on a problem of Conner and Floyd (to appear).

Араки, Toда (Araki S., Toda H.)

1. Multiplicative structures in mod q cohomology theories, I, Osaka J. Math.,

2 (1965).

Атья (Atiyah M. F.)

1.Immersions and embeddings of manifolds, Topology, 1 (1961), 125—132.

2.Bordism and cobordism, Proc. Camb. Phil. Soc., 57 (1961), 200—208.

3.Thom complexes, Proc. London Math. Soc., 11 (1961), 291—310. [Рус­ ский перевод: сб. Математика, 10:5 (1966), 48—69.]

4.А-theory, mimeographed notes, Harvard University, Cambridge, Mass., 1964. [Русский перевод: Атья M., Лекции по A-теории, «Мир», М., 1967.]

Атья, Хирцебрух (Atiyah М. F., Hirzebruch F.)

1.Riemann — Roch theorems for differentiable manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., 65 (1959), 276—281.

2.Vector bundles and homogeneous spaces, Proc. Symp. Pure Math. vol. Ill,

3.Cohomologie Operationen und charakteristische Klassen, Math. Z., 77

(1961), 149—187.

Бордмап (Boardman J. M.)

1.On manifolds with involution, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), 136—

138.

2.Unoriented bordism and cobordism (to appear).

Ботт (Bott R.)

1. Lectures on К (X), mimeographed notes, Harvard University, Cambridge,

Браудер (Browder W.)

1.The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization, Ann. Math., Ser. 2, 90, № 2 (1969), 157—186.

Браудер, Левин (Browder W., Levine J.)

1.Fibering manifolds over a circle, Comm. Math. Helv., 40 (1966), 153—

160.

Браудер, Люлевпчус, Петерсон (Browder W., Liulevicius A., Peterson F. P.) 1. Cobordism theories, Ann. Math., 84 (1966), ,.91—101.

Брауп, Петерсон (Brown E. H., Jr., Peterson F. P.)

1. Algebraic bordism groups, Ann. Math., 79 (1964), 616—622.

2.Relations among characteristic classes, I, Topology, 3, suppl. 1 (1964), 39—52; II, Ann. Math., 81 (1965), 356—363.

3.A spectrum whose Zj, cohomology is the algebra of reduced pth powers, Topology, 5 (1966), 149—154.

By (Wu Wen-Tsiin)

1.Classes caractéristiques et i-carrés d’une variété, C.R. Acad. Sei. Paris.

230 (1950), 508—511.

Грии (Green P. S.)

1.A cohomology theory based upon self-conjugacies of complex vector bundles, Bull. Amer. Math. Soc., 70 (1964), 522—524.

2.Vollständigkeit der Wuschen Relationen zwischen den Stiefel — Wlütneyschen Zahlen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, Math. Z., 65 (1956),

200—206.