Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Пусть U = {Ur}: Т В -* A — некоторый класс Тома. Компо­ зиция отображений

обозначаемый через [М, дМ]. Легко видеть, что этот элемент зави­ сит только от (В, /)-структуры многообразия М.

О п р е д е л е н и е . Пусть М п — некоторое (В, /)-многообра- зие и U: Т В -* А — класс Тома. Фундаментальным классом пары (М, дЩ называется класс [М, дМ] Е Нп (М, дМ; Л). Если дМ —

=0 , то этот класс обозначается через [М\ Е Нп (М\ Л). Рассмотрим отображение

d:МІдМ -* Ml{dM\J{M — дМ X (0, 1))} = 2 (дМ /0),

стягивающее в точку дополнение к трубчатой окрестности границы. Это отображение определяет граничный гомоморфизм в гомологиях

д: Hs (М , дМ; А) -* /Д_і {дМ; А).

Взяв композицию отображения, определяющего элемент [М, дМ], с отображением d Д 1, мы непосредственно получаем, что резуль­ тирующее отображение является надстройкой над отображением, определяющим элемент [дМ\. Таким образом, имеет место

П р е д л о ж е н и е . При граничном гомоморфизме в А-гомо- логиях фундаментальный класс пары (М, дМ) переходит в фунда­ ментальный класс многообразия дМ.

О п р е д е л е н и е . Универсальным характеристическим классом (В, /)-расслоений с коэффициентами в спектре Л назы­ вается произвольный класс х Е Н* (В ; Л), где В = lim (B r, gr).

£ называется класс х (|) = | *g* (х) Е H* (X; Л), где gr: В г ~* В — обычное отображение в предельное пространство.

Пусть М п — некоторое (В , ^-многообразие. Тогда х-нормалъ- ным характеристическим классом многообразия М называется

многообразия М называется элемент группы Нр~п (pt; А), полу­ ченный вычислением характеристического класса х (М ) на фун­ даментальном классе многообразия М. Более подробно, пусть представителем элемента х (М) 6 НР(М\ А) является отображе­ ние %: 2 ! (МУ 0)->-Ар+і и представителем элемента [М] Ç Нп (М; А)

Ценность характеристических чисел в теории кобордизмов объясняется известным результатом Понтрягина [1]; обобщенная теорема Понтрягина утверждает следующее:

Т е о р е м а . Пустъ М п — замкнутое (В, /)-многообразие и x(z Нѵ (В; А). Тогда х-характеристическое число х [М] многообра­ зия М зависит только от класса (В, ^-кобордизма многообразия М.

где ô — когомологический пограничный гомоморфизм, индуциро­ ванный стягиванием d: WldW Б (dW!0 ). Так как когомологи­ ческая последовательность пары (W , dW)

Нѵ(W ; А) Д Нр (dW\ А) Л H p+1(W, dW; А)

точна, то бі*а:(П/) = 0; следовательно, и х [М] = 0. g

З а м е ч а н и е . Для данной последовательности расслоений

В —> В —ь-ВО произвольный элемент ydH *(B , В\ А) можно рас­ сматривать как относительный характеристический класс. Если

дано (В , ^-многообразие М с (В, / о ^-структурой на дМ, то опре­ делено относительное характеристическое число у [М, дМ\ £ € H* (pt; А), так как нормальное отображение имеет поднятие

(М, дМ) (В, В). Покажем, что относительные характеристиче­ ские числа являются инвариантами класса относительных кобор­ дизмов. Опять ввиду аддитивности характеристических чисел достаточно рассмотреть случай, когда [М , дМ] = 0 . В этом слу­ чае существует (В, /)-многообразие W, граница которого dW

Таким образом, описанный выше гомоморфизм в гомотопических группах переводит класс кобордизмов многообразия М п в образ при нормальном отображении фундаментального класса многооб­ разия М п. Следовательно, спаривание гомологий и когомологий пространства В со значением в когомологиях точки определяет гомоморфизм

Qn (В, /) ® Нѵ (В ; А) Нп (В- А) ® Н р (В ; А ) ^ Н р~п (pt; JL),

совпадающий с гомоморфизмом вычисления характеристических чисел.

Кроме того, композиция отображений

с гомоморфизмом я* о (CAU), так как отображение ср является ком­ позицией отображения я Д 1 с отображением, использованным при определении n -произведения.] Таким образом, гомоморфизм

U (по крайней мере после устремления г в бесконечность). Рассмотрим теперь гомоморфизм Тома в теории когомологий.