Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

является эпиморфизмом. Коэффициенты бг ряда Ы р при вложении А 0 а В переходят в элементы (р — рг+1) bt + (разложимые эле­ менты) (по модулю разложимых элементов имеет место формула

А 0/рА0в размерности pq, и поэтому гомоморфизм у является моно­ морфизмом. ■

§ 2 . К о г о м о л о г и ч е с к и е о п е р а ц и и в т е о р и я х к о б о р д и з м о в

Воспользуемся результатами главы V для построения харак­ теристических классов и стабильных когомологических операций в теориях кобордизмов.

Пусть JL = {Пг, аг} — некоторый мультипликативный спектр. В главе V показано, что если проективные пространства KP (F) имеют правильные группы JL-когомологий, то определен канони­ ческий класс Тома U: TBG -*- А, являющийся Л-ориентацпей, где G = О, U нли Sp, когда К = 31, С пли Hi соответственно. Верно и обратное утверждение:

Л е м м а 2.1. Если для мультипликативного спектра А суще­ ствует класс Тома U: T B G -+ А, являющийся A -ориентацией, то проективные пространства KP (F) над К имеют правильные А-ко- гомологии.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через i: pt с KP (F) вло- я>ение отмеченной точки. Согласно предложению на стр. 70, инду­

группы Я” (SK; J.), то для К = 51 кольцо Я* (pt; А) является Ж2-модулем, см. замечанпе на стр. 65). Из мультипликативности

спектральной последовательности теперь легко следует, что спек­ тральная последовательность Е (KP (V X К)) тривиальна, и поэ­ тому отображение Н * (рѣ; Л) [и (l)\/u (l)q+1-^>-H* (KP (V X К)\ А)

является изоморфизмом. ■

К= 01, С или Н) соответственно.

До к а з а т е л ь с т в о . Тождественное отображение T B G -*■ ->• T B G задает ТВбг-ориентацию. ■

Напомним, что стабильной когомологической операцией Ѳсте­ пени і в Л-когомологиях называется такая совокупность линей­

Л (А) = 2 -Ах (Л), — о о < Л < °о . Относительно композиции опе­ раций группа Л (А) является градуированным кольцом. Если теория Л-когомологий мультипликативна, то оператор умножения группы Hq (X, У; Л) на скаляр К 6 Н г (pt; Л), очевидно, является стабильной когомологической операцией. Поэтому определено вложение H* (pt; Л) с Л (Л) и кольцо Л (А) является модулем (будем считать его левым) над кольцом H* (pt; Л). Непосред­ ственно из определения стабильных операций легко вывести, что имеет место аддитивный изоморфизм (Л) = [Л, Л] = = lim Н* (Ар, А). Кольцо когомологий H* (X , У; T B G ) принято

обозначать через G* (X, У), а кольцо стабильных когомологиче­

последовательность элементов {зш, п) определяет элемент sm£ Л ° сте­ пени к|со|. Из общей теории, развитой в главе V, следует, что G* (BG) = lim G* (BGn) является кольцом формальных рядов над кольцом fig ^ G* (pt) от универсальных характеристических классов Ст; = lim пг (уп) и что аддитивный базис кольца G* (BG) можно задать характеристическими классами Sa (а). Применяя

теперь теорему об изоморфизме Тома, легко доказать, что эле­ менты образуют аддитивный базис левого модуля Д а, точнее любая когомологическая операция в теории кобордизмов G* имеет вид формального ряда '5шг> ГДе | саг | —ѵ оо при

гоо и Кі Ç QG-

Взаключение сформулируем основные свойства когомологи­ ческих операций s a , доказательства которых легко получить, опираясь на их определения и свойства характеристических клас­ сов Su, (см. Новиков [6], Ландвебер [3]).

1.Если а £ GK(X) является классом Тома и (Л ) линейного

Ä-векторного расслоения, то sin,a = ап+1 и s^a = О, со ф (п).

цией операций sa с целыми коэффициентами, т. е. подмножество

cFcz Л- , порожденное операциями sa, является подкольцом.

4. Если представителем класса кобордизмов X Ç является g-мерное многообразие М с нормальным расслоением ѵ, то sa {X) —

физм, индуцированный проекцией АТ —>■pt.

§3. Формальная группа геометрических кобордизмов

Вэтом параграфе К будет обозначать одно из полей 51 пли С, a G* — теорию Т В G-когомологий, где G = О или U соответ­

=2 “ г.

Те о р е м а 3.1. Формальный ряд F (х, у) является одномер­ ной формальной группой над кольцом Qg-

Доказательство теоремы непосредственно вытекает из свойств тензорного произведения расслоений и свойств характеристиче­ ского класса at. Пусть £ — расслоение, сопряженное с канониче­

ским расслоением Z;-o6o3Ha4HM через х формальный ряд 0{(£>) — = —X + 2 ссіХг+1. Так как расслоение I ® £ является тривиаль­

ным, то F (х, х) — 0, т. е. ряд х задает обратный элемент в фор­ мальной группе F (х, у).

выражающих характеристический класс стіСП), где т] — одно­ мерное Я-векторное расслоение над [J K P t (сю), через характери­

З а м е ч а н и е . Для К = 01 каноническое расслоение I изо­ морфно расслоению £, поэтому для формальной группы F (х , у) в теории неориентированных кобордизмов имеет место формула

Докажем формулу а); формула Ь) доказывается аналогично. Имеем

стд (ц) = X + у + 2 а г, jx'y3 6 GK(KP (щ) X KP (п2)).

Непосредственно из конструкции дуализации характеристического класса О] получаем

еЯн^(ц) = Шпип2],

eDx'y3 = [KP (щ — i)] [KP (п2 — /)]

(гомоморфизмы е й D здесь такие же, как и в конце § 2). Следо­ вательно,

З а м е ч а н и е . Пусть X — некоторый клеточный комплекс. Обозначим через V (X ) группу /^-линейных расслоений над X. Так как KP (оо) ^ TBGi: то определено вложение (не аддитив­

вается группой геометрических кобордпзмов комплекса X. Пусть и и V — элементы группы V (X). Если и ® ѵ — сумма элементов и н и относительно операции сложения в V (X), то в кольце G* (X)

по Ui можно построить характеристические классы of, при помо­ щи которых можно в свою очередь построить новый класс ^.-ори­ ентации U: T B G А (см. стр. 70). Класс U является мульти­ пликативным и определяет мультипликативное преобразование

tA■ G* ( )->-H* ( ; HL), т. e. преобразование tA, которое для

каждой пары (X, Y) задает кольцевой гомоморфизм tA: G* {X, Y)->

H* (X, Y- A).

Заметим, что если класс Ui является мультипликативным, то

Ui = U.

Так как фактически по построению tAOi (I) = o f (I), где Ol (I) — первый характеристический класс в кобордпзмах канони­

ческого расслоения I — KP (оо), то, применяя преобразование tA к формальной группе геометрических кобордпзмов F (х, у), полу­

ное мультипликативное преобразование. Согласно принципу рас­ щепления, операция ф полностью задается своим значением

Рассмотрев действие операции ф на классе Тома линейного три­