ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
Плоскости скользящего отражения
Плоскость скользящего отражения является комбинированным элементом симметрии, дающим симметричное повторение точки совместным действием зеркальной плоскости и трансляции. Точка перемещается в направлении, параллельном зеркальной плоскости
(рис. 3.3).
Точка /, отражаясь в зеркальной плоскости, дает вспомогатель ное изображение V . Перенося точку с помощью трансляции парал лельно плоскости скользящего отражения, получаем реальное сим метричное изображение точки 1 в положении 2. В результате дей ствия плоскостей скользящего отражения
Плоскость |
имеем систему точек, обозначенных 1, 2, |
|||||
скользящего |
3, 4 и т . д. |
|
|
|
|
|
отражения |
Если через т обозначить трансляцию, |
|||||
I |
||||||
то точка 3 — трансляционное повторение |
||||||
|
точки 1 на расстоянии т; половина транс |
|||||
|
ляции, связанная с отражением точки в |
|||||
|
плоскости скользящего отражения, рав |
|||||
|
на т/2. В зависимости от того, с каким |
|||||
|
кристаллографическим |
направлением |
||||
|
связана половинная трансляция, плоско |
|||||
|
сти скользящего отражения обозна |
|||||
|
чаются различными символами. |
|
||||
|
" 9 ? |
|
|
—О 1j |
|
|
|
I |
|
|
п(1001 |
|
|
|
|
|
|
--------- L |
|
|
|
І<7 |
-чр / |
|
|
||
Рис. 3.3. Действие плоскости |
Рис. 3.4. Плоскость скользящего отражения га, |
|||||
скользящего отражения (с). |
параллельная |
(100), |
дает |
смещение на |
'/г |
|
|
в направлении |
осей |
Y и Z |
(вертикальное |
на |
|
|
|
правление). |
|
|||
|
Цифры здесь и далее обозначают соответствующие |
|||||
|
|
уровни. |
|
|
Так, буквой а обозначены |
плоскости скользящего |
отражения |
с половинной трансляцией а/2 |
в направлении оси X. |
Плоскость |
скользящего отражения при этом не может быть плоскостью (100), параллельной оси Y и Z, а является плоскостью (010) или (001). Плоскости скользящего отражения с половинной трансляцией Ь/2 в направлении оси Y обозначаются буквой Ь, а с половинной транс ляцией с/2 в направлении оси Z — буквой с.
На рисунках, представляющих элементы симметрии отдельных пространственных групп, обычную плоскость симметрии т изобра жают в виде сплошной линии, плоскости скользящего отражения
а и b — прерывистой |
линией, а |
плоскость |
с — точечной линией |
||
(табл. 3.4). Буквой |
п |
обозначают плоскость скользящего отраже |
|||
ния, дающую перемещение в направлении |
диагонали |
одной из |
|||
граней ячейки на |
расстояние, |
равное ее |
половине |
(рис. 3.4). |
53
Таблица 3.4
Графическое изображение зеркальных плоскостей и плоскостей скользящего отражения *
|
Графическое обозначение |
|
Графическое обозначение |
||
Обозначение |
вертикаль |
горизонталь* |
Обозначение |
|
|
плоскости |
плоскости |
вертикаль |
горизонталь |
||
|
ная |
ная |
|
ная |
ная |
|
плоскость |
плоскость |
|
плоскость |
плоскость |
т |
|
п |
С |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
п |
|
|
|
|
d |
|
|
|
ь |
|
л |
|
|
|
|
|
|
ТІГч |
||
|
|
|
|
|
|
а, b |
|
|
|
|
|
* Горизонтальная плоскость d на уровнях Ч, и */,. (Прим, |
ред.) |
|
Графическое изображение таких плоскостей — штрихпунктирная линия. Это перемещение интерпретируется как одновременное дей
ствие двух половинных трансляций: -а -■— половина диагонали
— *t~-‘ |
6 |
1 1 |
|
|
грани |
(001); |
b -I—с |
|
|
! |
—^------- полови |
||||
на |
диагонали |
грани |
(100); |
||
|
|||||
r - \ O 0 |
с -f- а |
|
диагонали |
гра- |
|
|
—2------ половина |
} ^ 1 ‘і |
! |
{ 6 — j--i |
|
|
|
||
|
|
г - І - Ö i |
|
|
1 |
* ö 4 |
t |
6 / |
cf* |
І |
^ |
cf» |
d * |
|
Рис. 3.5. Плоскость скользящего от ражения d дает смещение на 1/4 пе риода в направлении телесной диа гонали ячейки.
ни (010). В кубической и тетраго
нальной сингониях, как а ^ |
■ |
Буквой d обозначают плоско сти скользящего отражения, дей ствие которых равно сочетанию зеркальных плоскостей с двумя
а ± b
четвертными трансляциями: —^—
b ± с с ± а
или —4— , или —4— . Плоско-
сти d графически обозначают штрихпунктирными линиями и стрелками, указывающими напра вление переноса симметрично повторяющейся точки.
Векторы, соединяющие две следующие точки, полученные сим метричным преобразованием в плоскости скольжения d в кубиче
ской, тетрагональной и ромбической сингониях, равны а ± ^ ±—с- (рис. 3.5).
54
Винтовые оси
Винтовые оси — сложные элементы симметрии, дающие сим метричное повторение точки совместным действием оси симметрии
и трансляции вдоль оси. |
Как и поворотные оси, они бывают 2-, |
3-, 4- и 6-го порядков. |
Им соответствуют углы поворота 360°/п |
(п — порядок оси), т. |
е. перемещение вдоль оси, отвечающее пово |
|
роту на 180, 120, 90, |
60°, выражается |
дробным числом K-Jn, где |
X— трансляционное расстояние вдоль |
направления оси, а К — це |
|
лое число, меньшее п. |
|
|
Более точное определение винтовой оси требует знания направ ления ее поворота при одновременном перемещении точки вдоль оси. При этом различают правые винтовые оси, направление кото рых совпадает с движением часовой стрелки, и левые — против
Таблица 3.5
Обозначения винтовых осей
Кратность |
Направление |
оси |
по часовой |
|
стрелке |
2
3Правая
Левая
4Правая
Левая
6 Правая
Левая
Составляющая
трансляции
1
— Т
2
1
Тт
2
¥т
1
Тт
2
— т 4
3
—г т
4
гI
I х
2
3
1Г Т
4
т т
5
Порядок
оси
2,
4|
43
6 ,
62
6з
64
65
Графическое
обозначение
вертикальной
оси
іУ
А
А
4
А
А
#
А
■ #
«
55
часовой стрелки. Обозначения винтовых осей приведены в табл. 3.5
и на рис. 3.6. |
Точка |
А |
при повороте |
|
Двойную винтовую ось обозначают 2[. |
||||
вокруг оси на 180° (360°: 2) совмещается |
со |
своим |
вспомогатель |
|
ным изображением — А' (рис. 3.7,6), после |
чего |
поступательное |
перемещение точки А' на расстояние т/2 вниз по оси дает точку В, которая с помощью аналогичного симметричного преобразования дает точку С. Точки А и С расположены друг от друга на трансля ционном расстоянии т, причем условно уровень, на котором нахо
дится точка |
С, считается нулевым, а точка |
А — единичным (0 и |
а |
■6 |
в |
■а---- --- ►г |
~-Щ —- 2 |
о г |
|||
---------- ^ |
г, |
|
|
ф 2/т. |
|
і --------- і |
4 |
k |
J |
і г , / п |
|
|
|||||
1 — |
■— |
|
X |
з, |
А 1 |
і --------- |
|
X |
|
ф 4/т |
|
|
|
ф ^г/т |
|||
Jf---------Ifіз |
|
|
|||
.— |
0 ----- . |
4 |
|
|
ф 6/т |
|
|
|
|
|
ф В3/т |
Рис. 3.6. Графическое обозначение |
осей симметрии: |
а —горизонтальные оси: б —косые оси в кубической сингонии; в—вер- тикальные оси + центр инверсии.
1 помещены рядом с точками на нижнем рисунке). Уровень точки В называется половинным (1/2). Не различают правых и левых двой ных винтовых осей, так как независимо от того, в каком направле нии совершается поворот, всегда получается та же самая симмет ричная картина.
Тройная винтовая ось (рис. 3.8) дает симметричное повторение
точки при повороте на 120° |
и перемещении на т/3 вдоль оси. При |
|||
этом различают правую Зі |
(поворот по часовой стрелке) |
и левую |
||
Зг (поворот против часовой |
стрелки) тройные винтовые оси. Точка |
|||
последовательно перемещается с уровня 1 |
2 |
1 |
г, |
|
до у , |
у |
и 0 |
(рис. 3.8,6). Нулевой уровень находится точно под точкой 1 на расстоянии т.
Правая и левая винтовые оси энантиоморфны, т. е. они обра зуют симметричные расположения точек, являющиеся зеркально равными. Энантиоморфные фигуры несовместимы друг с другом при повороте.
56
«3
Рис. 3.7. Двойные оси симметрии: |
Рис. 3.8. Оси симметрии третьего порядка: |
двойная поворотная ось; б —двойная вин- |
а—поворотная 3; б — винтовая правая 3j; в — винтовая левая |
Существуют три различные четверные винтовые оси-, две из них — правая 4і и левая 43— с перемещением (поступанием) на т/4, а нейтральная ось— 42, являющаяся одновременно простой
4е |
4% |
% |
Рис. 3.9. Оси симметрии четвертого порядка:
а —поворотная 4; |
б—винтовая правая 4,; в —винтовая нейтральная 42; |
г —винто ал |
/ |
левая 43. |
|
двойной осью, |
имеет половинную трансляцию т/2 (рис. |
3.9). Ось 4і |
и 43— энантиоморфны (рис. 3.10). Винтовая ось 42 (рис. 3.9) озна
|
чает перемещение двух точек с еди |
|||
|
ничного уровня на половинный при |
|||
|
одновременном повороте на 90°. |
|
||
|
Существует пять разных шестер |
|||
|
ных винтовых осей (рис. 3.11). Пра |
|||
|
вая 6і и левая 65 винтовые шестер |
|||
|
ные оси дают симметричное изо |
|||
|
бражение точки при |
повороте |
на |
|
|
60° по часовой стрелке или против |
|||
|
нее и перемещении вдоль оси транс |
|||
|
ляции на т/6. Подобно осям Зі |
и |
||
|
Зг, 4і и 43, они энантиоморфны. Кро |
|||
|
ме того, существуют правая 62 и ле |
|||
|
вая 64шестерные винтовые оси с по |
|||
четверные винтовые оси 4] и 43. |
ступанием на т/3, являющиеся од |
|||
новременно двойными поворотными |
||||
|
||||
|
осями симметрии, и, |
наконец, ней |
тральная винтовая шестерная ось 63 с поступанием на половину элементарной ячейки т/2, совпадающая с тройной поворотной осью.
68