Файл: Пенкаля, Т. Очерки кристаллохимии.pdf

координатами не имеют степеней свободы и означают точки в про­ странственной решетке. Символы с двумя степенями свободы (два коэффициента изменяются независимо друг от друга) относятся к плоскостям, а символ xyz с тремя степенями свободы определяет трехмерное пространство.

СИМВОЛЫ ПЛОСКОСТЕЙ

Символы. Миллера, определяющие положение плоскостей в про­ странстве, состоят из трех чисел. Индексы символа плоскости — три целых положительных или отрицательных числа (а также нуль), получаемых из отношения

где a, b, с — параметры решетки; та, nb, pc — отрезки, кратные трансляциям a, b, с, которые плоскость отсекает на координатных осях. Символы плоскостей помещают в круглые скобки— (hkl).

Пример !• Пусть некоторая плоскость отсекает на осях следующие отрезки: на оси X 2а, на оси У — 3Ь, на оси Z — 4с. Индексы символа этой плоско­ сти — (643), так как

Чем больший отрезок отсекает плоскость на данной оси, тем меньше значение индекса в символе, относящемся к этой оси. В рассматриваемом случае плоскость, отсекающая на оси Z отре­ зок 2с, имеет символ (431). Теперь допустим, что отсекаемый на

оси Z отрезок равен с/2. Тогда символ плоскости— (434), потому что

Нуль в символе показывает, что плоскость параллельна одной из осей, т. е. отсекает на ней бесконечно большой отрезок.

Все параллельные плоскости имеют один общий символ, так как при параллельном перемещении плоскостей пропорционально из­ меняются длины отрезков, отсеченных этими плоскостями на осях координат. Это не влияет на значение чисел, определяющих

символ, ибо во всех трех дробях знаменатель изменяется оди­ наково.

28

С помощью символа (hkl) можно определить положение данной плоскости по отношению к осям координат. Для этого следует подсчитать отношение отрезков, которые плоскость отсекает на

осях. Это отношение выражается формулой: - у : ~ : Коэффи­

циенты h, k, I показывают, на сколько частей надлежит поделить трансляции а, Ь, с, чтобы получить положение одной из плоско­ стей с символом {hkl). Иными словами, индексы определяют,

сколько отрезков -J-, -у , отсекаемых на осях одной из парал­

лельных плоскостей, размещается на основных трансляциях а, Ь, с элементарной ячейки.

Рис, 1.20. Семейство четырех параллельных плоскостей с сим­ волом (312).

В случае плоскости (312) отношение отрезков, отсекаемых на

D пересекает все три координатные оси в узлах, так как эта плос­ кость отсекает целочисленные отрезки на осях, равные 2а, 6b и Зс, которые являются целыми кратными трансляций а, Ь, с. Они в шесть раз больше отрезков, отсекаемых плоскостью А.

29

Можно показать, что серия параллельных плоскостей А, В, С, D

Разница длин отрезков, отсекаемых семейством параллельных плоскостей на одной из трех осей системы координат, равна отрез­ ку, отсекаемому на этой оси первой плоскостью (А на рис. 1.20), или является кратной этого отрезка. Например

Dx — Сх = 2а — а — а — -д-

где Ах, Вх , Сх, Dx — отрезки, отсекаемые плоскостями А, В, С, D на оси X.

Плоскость, отсекающая на осях координат отрезки а, Ь, с (тран­ сляции), или любая параллельная ей плоскость имеет символ

(111), так как

h:k : I = — : ~ — =ж[ : 1 : 1

ао с

Такая плоская сетка с символом (111) называется единичной (рис. 1.21). Видно, что в формуле, определяющей символ плоской

имеют в символе единицу и два нуля; нуль означает параллель­ ность плоскости одной из координатных осей. Плоскость, парал­

(hk0) — параллельны одной координатной оси. Например, плоскость с символом (120) параллельна оси Z и отсекает на осях отрезки,

30

Плоскости с миллеровскими индексами (НО), (Oil) и (101) по­ лучают при этом следующие индексы: xxz, хуу, zyz или хух (рис. 1.23,6—г). Координатные плоскости с миллеровскими индек­ сами (001), (100), (010), проходящие через начало координат, ха­ рактеризуются соответственно следующими символами: хуО, 0yz, xOz (рис. 1.23,6). Таким образом, символы плоских сеток при этих обозначениях имеют, по сравнению с символами прямых, на одну степень свободы больше. Так, в символе хуО (см. рис. 1.23, а) — две степени свободы (хи у) и одно ограничение (нуль). Эта плоскость (основание элементарной ячейки) проходит через все точки, по­

следняя координата которых равна нулю (000, 010, ПО, у-^-0

и т. д.). Символ xxz тдкже имеет две степени свободы и ограниче­ ние X = у (рис. 1.23,6). Эта плоскость проходит через точки с коор­ динатами 000, ПО, 001 и 111, а также через ось и противолежащее

няются независимо) определяют все трехмерное пространство.

Г л а в а 2

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЯЧЕЙКИ, ОТВЕЧАЮЩИЕ РАЗЛИЧНЫМ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

В зависимости от внешней формы и строения кристаллы делятся на кристаллографические системы или сингонии, которые отли­ чаются по форме элементарной ячейки, определяемой отношением

Таблица 2.1

С ингонии кристаллов

32