Файл: Пенкаля, Т. Очерки кристаллохимии.pdf

ребер a:b:c и значениями углов а, ß, ѵ между ними (рис. 2.1,

табл. 2.1).

Примитивные элементарные ячейки, соответствующие кристал­ лографическим системам, можно получить из плоских сеток (па­ раллелограммов-генераторов) путем прибавления к ним ортого­ нальных или неортогональных трансляций. Вид плоской сетки опре­ деляется половиной такого параллелограмма, т. е. треугольником

(см. рис. 1.3).

*/«чгѵI /\

Рис. 2.1. Примитивные элемен­ тарные ячейки, соответствующие

кубическая; е — гексагональная; ж—три- гональная.

Неортогональная трансляция, добавленная к плоской сетке, где генератором выступает непрямоугольный неравнобедренный тре­ угольник (см. рис. 1.3,а), создает триклинную элементарную ячей­

равен 90°.

Если к такому непрямоугольному и неравнобедренному тре­ угольнику добавить трансляцию под углом 90°, то получим

моноклинную элементарную ячейку (рис. 2.1,6). Ось К, выражаю­ щая третью трансляцию, расположена в этом случае перпендику­ лярно к плоскости XZ, а ось X направлена вперед. Угол ß между осями X и Z отличается от 90°, а углы а и у равны 90°. Параметры ячейки также различаются между собой (аф b ф с).

Рис 2.2. Ромбическая решетка:

в—плоская сетка, построенная из равнобедренных непрямоугольных тре­ угольников; б—элементарная базоцентрированная ромбическая ячейка. •

Если добавить перпендикулярную трансляцию к плоской сетке, в основе которой лежит неравнобедренный прямоугольный тре­ угольник (см. рис. 1.3,6), получим ромбическую элементарную

того, равна ли трансляция с трансляции, образующей квадрат. Трансляция, направленная под углом 90° к плоской сетке, в ос­

нове которой лежит равносторонний треугольник (см. рис. 1.3,6),

34

получим элементарную ячейку в виде ромбоэдра. Три ребра ром­ боэдра, образующие вершину (а — b = с), и три угла между ними

(а = ß = у ф 90°), равны.

Такую тригональную сетку называют ромбоэдрической (рис. 2.1,ж). Ромбоэдрическую элементарную ячейку можно трактовать как деформированную кубическую гранецентрированную ячейку, растянутую или сжатую по телесной диагонали.

Кристаллы были распределены по системам (сингониям) еще до того, как была исследована их структура. В основу такого деле­ ния положена форма примитивного четырехгранника, образован­ ного четырьмя не параллельными друг другу гранями кристалла (рис. 2.3). Выбор основного четырехгранника заключается в выде­ лении трех наиболее развитых граней, не пересекающихся по па­ раллельным ребрам. Пересечение этих граней выделяет три прямые X, Y, Z, называемые кристаллографическими осями. Каждая из них имеет положительный (+ ) и отрицательный (—) концы. Четвер­ тая грань, замыкающая четырехгранник, — единичная грань. Она

а: b : с, отсекаемых единичной гранью на кристаллографических осях, называется отношением осей. Основные четырехгранники кри­ сталлов триклинной сингонии отличаются углами а, ß, у и отноше­ нием осей а:Ь : с. Все ромбические кристаллы имеют a = ß= y —90° и в зависимости от вещества различную величину отношения осей. У кубических кристаллов независимо от вещества одинаковая фор­ ма основного четырехгранника (а = b = с, а = ß = у = 90°).

Форма основного четырехгранника связана с внутренним строе­ нием кристалла. Обычно гранями четырехгранника являются пло­ скости, ограничивающие элементарную ячейку, а единичной гранью — плоская сетка (111) (рис. 2.4).

СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ И РЕБЕР КРИСТАЛЛА

Положение каждой грани кристалла определяется относительно кристаллографических осей и единичной грани основного четы­ рехгранника. Как и в случае определения положения плоских се­ ток, используются символы (hkl), где индексы являются целыми положительными или отрицательными числами либо нулем (рис. 2.5). В формуле

определяющей индексы грани, отрезки ОН = а, 0К = b, 0L — с относятся всегда к единичной грани с символом (111), отрезки ОНи 0К\, OLi отсекаются на кристаллографических осях гранью с сим­ волом (h\k\l\).

мых на одной кристаллографической оси двумя гранями кристал­ ла, выражается рациональным числом (закон рациональности от­

36

ношений отрезков), в то время как взаимное отношение этих трех чисел

удается всегда выразить отношением целых чисел (закон рацио­ нальных индексов).

Символы ребер, подобно символам рядов (см. рис. 1.15), выра­ жаются целыми числами [uvw], Направление ребра определяется двумя точками: началом координат и точкой с координатами аи, Ьи и cw, где а, b и с — чис­

ла, получающиеся из отно­ шения осей.

В связи с симметрией гексагональных и тригональ-

•Хг

Рис. 2.5. Иллюстрация к Рис. 2.6. Координатные оси гексаго­ закону рациональности от­ нальной и тригональной сингоний.

ношений отрезков.

ных кристаллов, выражающейся в шестиили трехкратном повто­ рении граней, параллельных главной оси, можно выделить четыре координатных оси (рис. 2.6). Символы граней и плоских сеток

(hkil), а также ребер и рядов решеток [uvëw] выражаются в этих кристаллах четырьмя индексами.

Три направления ребер основания гексагональной или триго­ нальной призмы (основа — равносторонний треугольник) выбираем как направления кристаллографических осей и обозначаем соот­ ветственно через Хи Х2, Х3 (см. рис. 2.4, ж и 2.6). Положительные концы этих осей образуют между собой углы 120° (у — 120°). На­ правление, перпендикулярное к плоскости осей X,, Х2, Х3, совпа­ дающее с направлением перпендикулярного ребра гексагональ­

Z (а — Ь ф с ) . Третий индекс в символе каждой грани или плоской сетки, относящийся к оси Х3, всегда равен сумме двух первых ин­ дексов, но с противоположным знаком. Единичная грань имеет.

37

символ (1121) *, так как отрезок на оси Х3 наполовину меньше от­ резков, отсеченных на осях Х\ и Х2. Грань, одинаково наклоненная к осям Хі и Х2> имеет в символе два первых одинаковых числа

(hh2hl). Грань, параллельная трем осям Х\, Х2, Х3, имеет символ

(0001).

Положение граней в тригональной сингонии можно также опре­ делить относительно трех кристаллографических осей, параллель­ ных ребрам ромбоэдра (см. рис. 2.4,ж ). Поэтому символы граней (плоских сеток) и ребер (рядов) тригональных кристаллов в зави­ симости от выбора координатных осей будут содержать трехили четырехчисленные индексы.

ТРАНСЛЯЦИОННЫЕ ГРУППЫ БРАВЭ

Из примитивных решеток, отвечающих различным кристалло­ графическим системам, Франкенгейм (1835 г.), а затем Бравэ (1850 г.) вывели путем центрирования 14 видов трансляционных решеток (рис. 2.7, табл. 2.2). Центрирование одной пары граней (001) приводит к базоцентрированной ячейке С, трех пар граней — к гранецентрированной ячейке F и центра элементарной ячейки — к объемноцентрированной ячейке I. Символ Р (примитивная ячей­ ка) обозначает элементарный параллелепипед, у которого узлы на­ ходятся только в вершинах, символ Р отвечает ромбоэдрической элементарной ячейке **. В P -ячейках двум осям координат соответ­ ствуют две кратчайшие трансляции, выбор третьего координатного направления зависит от сингонии. В /- и P-ячейках координатным осям соответствуют не кратчайшие трансляции.

Принимая, что в узлах решеток Бравэ находятся атомы, можно

сингонии, так как центрирование в других системах не всегда при­ водит к появлению нового типа решетки. Например, центрирование верхней и нижней граней тетрагональной P -ячейки приводит к по­ явлению новой Р-решетки с другой величиной отношения ребер а/с (рис. 2.8,а). Если же в этой решетке занять центры всех гра­ ней, то получим объемноцентрированную тетрагональную /-ячей­ ку (рис. 2.8, б).

Центрирование примитивной кубической ячейки по базоцентри­ рованному закону, вследствие симметрии кристаллов, приводит

кпоявлению гранецентрированной кубической ячейки.

*Этой единичной грани равнозначна единичная грань с символом (1101),

(Прим, ред.)