ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 0
144 |
Глава 3 |
математическое ожидание уравнением
оо |
со |
|
|
<Л> = \ |
\ |
y)A\\i(x, y)dxdy. |
(3.6.33) |
*' |
J |
|
|
— оо — со
Математическое ожидание можно выразить в пространстве импульсов соотношением
ООоо
М >= j j ф*(Рх,Рв) А г,ф{рх, Pu) d ( > ± ) d ( ^ - ) . (3.6.34)
— оо — со
Оператор A v является эквивалентом А в пространстве импульсов НО]. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы рассмотреть теорему Эренфеста. Ранее было отмечено, что эта теорема служит мостом между классической и кванто вой теориями. Теорема Эренфеста в релятивистской кван товой механике почти не применяется. Чаще всего она используется в перелятивистской квантовой механике. Поэтому ограничимся параксиальным приближением и вы ведем теорему Эренфеста из нерелятпвистского уравнения Шредингера (3.6.9), которое в операторной форме имеет вид
Я я ])= гх -^ , |
(3.6.35) |
где Н определяется формулой (3.5.17). В теорему Эренфе ста входят производные величин математического ожида ния координат х и у и «импульсов» рх и ру. Поэтому возь мем производную от величины математического ожидания координаты х :
[ J V ^ d x d y =
— оо — со
оо оо
== |
j |
j |
dxdy- |
(3.6.36) |
|
— оо —оо |
|
|
|
Производные |
от |
волновой |
функции можно |
исключить |
спомощью уравнения Шредингера (3.6.35)
ООоо
=■£- j \ [(#ф*) Яф— ф*х//г|)] dx dy.
— 00 —оо
Геометрическая оптика |
145 |
Для любого гамильтониана можно произвести следующую перегруппировку членов [22]:
оо оо
^T=i J J r { I I x - x H ) ^ d x d y . (3.6.37)
В нашем частном случае это можно проверить выполнени ем частичного интегрирования с использованием специаль ного вида гамильтониана, который получается подстанов кой выражений (3.6.1) и (3.6.2) в (3.5.17). Можно легко оценить операторное выражение в круглых скобках. Начнем с коммутаторов
хрх— рхх = Ы |
(3.6.38) |
и |
(3.6.39) |
хРу — РуХ=:0. |
|
Эти фундаментальные соотношения |
квантовой механики |
[10]хорошо известны. Их можно подтвердить, применяя
кпроизвольной волновой функции и используя точные выражения (3.6.1) и (3.6.2) для рх и ру. Повторное приме нение тех же коммутаторов дает
хр%— р%х=рххрх-\-трх — рххрх-{-Ырх= 2Ырх, |
(3.6.40) |
хр1 — р1х = 0. |
(3.6.41) |
Используя эти коммутационные соотношения, сразу же получаем желаемый результат:
Нх — х Н = — [ 2 ^ {xpl — Р%х- \-x p l — р1х)-\-хп — пх^ —
= (3.6.42)
Уравнение (3.6.37) теперь принимает вид одного из урав нений теоремы Эренфеста
ОО |
оо |
|
Т = J |
j V p ^ d x d y , |
(3.6.43) |
—00—00 |
|
|
используя определение математического ожидания опера торов (3.6.33), можно записать его в виде
d (X) |
«о <Рх>■ |
(3.6.44) |
dt |
10-087
UG |
Глава 3 |
Аналогичное соотношение можно получить для у-компо- ненты:
d О/) |
1 |
(Pi/)* |
(3.6.45) |
dt |
|
||
|
|
Необходимо также определить производную от математи ческого ожидания р х:
d{рх) |
J J |
( ^ r P ^ + r P x ^ ) d x d y = |
||
dz |
||||
|
|
|
||
|
- СО — т о |
|
|
|
|
|
= it ^ 1 |
— pxH)\\>dx dy. (3.6.46) |
|
|
|
— со — со |
|
|
Для определения этого коммутатора необходимо исполь зовать коммутационное соотношение
Р*/(*) — /(*) Рх= — |
• |
(3.6.47) |
Это соотношение непосредственно проверяется примене нием его к произвольной волновой функции с учетом (3.6.1). Используя это коммутационное соотношение и учитывая то обстоятельство, что рх коммутирует сам с собой и рх, из формулы (3.6.46) получаем
d (Рх) |
/ дп \ |
(3.6.48) |
dz |
\ д х / |
|
Аналогичное соотношение имеет место и для у-компопенты:
d (py> _ |
/ |
дп \ |
(3.6.49) |
|
dz |
\ |
ду / |
||
|
Уравнения (3.6.44), (3.6.45), (3.6.48) и (3.6.49) составляют теорему Эренфеста. Эти уравнения очень похожи на урав нения параксиальных лучей (3.5.34) и (3.5.35). Действи тельно, можно объединить уравнения (3.6.44) и (3.6.48) в одно, которое имеет почти такой же вид, как уравнение параксиальных лучей (3.5.36):
* т £ = < ^ > • |
<3-6-50> |
Аналогичное соотношение, конечно, справедливо и для у-компонеиты. Если бы можно было представить уравпе-
Геометрическая оптика |
147 |
ние (3.6.50) как
(3.6.51)
то отсюда следовало бы, что величина математического ожидания координаты х светового луча сама «движется» ■подобно лучу. Одиако уравнение (3.6.50) заметно отличает ся от (3.6.51) и такое утверждение не может быть сделано в общем случае. Можно лишь сказать, что если производ ная дп({х), (у})/д(х) достаточно близка к (дп(х, у)/дх), то величина математического ожидания луча «движется» подобно реальному лучу. Это очень важная теорема, так как она утверждает, что центр тяжести светового поля (кото рый совпадает с величиной математического ожидания (х )) движется примерно так же, как световой луч. Такое сравнение лучей геометрической оптики и центра тяжести светового поля является ключом к интерпретации луче вой оптики. Мы используем лучевую оптику только для получения упрощенного и приближенного описания траек торий световых лучей. Было бы полезно иметь уверенность
втом, что уравнение луча описывает траекторию центра тяжести действительного светового луча. В этом случае лучевая оптика точно указывала бы, где проходит боль шая часть светового поля. Однако сравнение полученного
вдействительности уравнения (3.6.50) и желаемого уравне ния (3.6.51) показывает, что лучевая теорпя не обязатель но предсказывает движение центра тяжести световых лучей. Чтобы более подробно изучить условия, при кото
рых уравнение луча предсказывает движение центра тяже сти светового поля, разложим показатель преломления в степенной ряд:
п — П о - \ - П 1Х - \ - П 2у - \ - П 3Х 2 - \ - Щ Х у - \ - П ьу 2- \ - П аХ 3 - \ - 71; Х 2у - \ -
+ 'г8ху2-{-пду3-\- . . . . (3.6.52)
Производная этого разложения показателя преломления равна
■j^ = nl-\-2n3x-\-n!ly-\-3n0x2-\-2?i1xy-!r}i8y2-\- . . . . (3.6.53)
Если бы в разложении (3.6.52) существовали только члены первого и второго порядка, то мы бы точно имели
148 |
Глава 3 |
Только в этом случае можно точно утверждать, что центр тяжести светового луча движется в соответствии с луче вой оптикой. Распределения показателя преломления, описываемые разложением вида
п = п0-\- щх + п2у -f-п3х1-f- i\xij - f n5if-, (3.6.55)
конечно, возможны. Действительно, уже получены оптиче ские волокна с параболическим распределением показате ля преломления [23, 112]. Такая «квадратичная среда», которая может быть использована в качестве световых волноводов, будет рассмотрена в гл. 7. Среда с квадратич ным распределением представляет большой интерес, так как известно, что решения уравнений лучевой оптики точ но описывают движение центра тяжести светового луча, распространяющегося в ней. В случае среды более общего характера уравнения лучей также разрешимы, но не ясно, как эти математические лучи связаны с действительным движением светового поля. В среде с медленно и слабо изменяющимся показателем преломления распределение показателя преломления может быть приблизительно опи сано разложением, содержащим только члены первого и второго порядка. Можно утверждать, что луч описывает движение центра тяжести светового поля только в при ближении, допускаемом разложением (3.6.55). В случае самого общего распределения коэффициента преломления мало что можно сказать о связи между решениями лучевой оптики и действительной траекторией светового луча.
В заключение рассмотрим принцип неопределенности применительно к данной квантовой теории световых лучей. В книгах по квантовой теории [10, 22] показывается, что коммутационное соотношение (3.6.38) и соответствую щее соотношение для г/-компонент приводят к следующим соотношениям неопределенности:
|
(3.6.56) |
и |
|
ЬуЬРу> ^ . |
(3.6.57) |
Неопределенности х и рх определяются выражениями вида
Д х = [((.г — (я))2)]1/2 |
(3.6.58) |
Геометрическая оптика |
149 |
= [<(£*— <Р.г-))2)]1/2- |
(3.6.59) |
Математические ожидания определяются по формуле (3.6.33). Согласно полученным соотношениям, если свето вой луч сформирован таким образом, что х известен с не которой точностью, то рх может быть измерен только с точ ностью, определяемой формулой (3.6.56). Рассмотрим два примера. Сначала предположим, что состояние луча опи сывается плоской волной вида (3.6.23). Это состояние является собственным «импульсом» и показывает, что каждое измерение наклона лучей должио'давать величину р'х. В этом случае положение луча совершенно неиз вестно, так как бесконечная плоская волна занимает все пространство и нельзя определить какое-либо конкретное положение луча. Далее рассмотрим световой луч, прошед ший через очень узкую щель. Положение луча, проходя щего через щель, известно с точностью до ширины щели. Однако наклон выходящего луча становится все менее и менее определенным при сужении щели, так как свето вая волна дифрагирует в стороны по мере удаления поля от щели. Если предположить, что можно принять Ах = d, т. е. ширине щели, то из формулы (3.6.56) получим
(3.6.00)
пли, используя соотношение (3.5.38) для малых значений а, получим неопределенность угла луча для п = 1:
Аа> Ш - ■ |
(3.0.61) |
Сравнение с формулой (2.3.28) показывает, что развитая ранее дифракционная теория приводила к угловому рас ширению примерно того же порядка величины. Получен ный результат представляет собой всего лишь неравен ство и не противоречит равенству (2.3.28). Однако есте ственно ожидать, что можно выбрать более благоприят ные распределения поля, которые приведут к меньшему расширению луча по сравнению с диафрагмированной плоской волной с однородным распределением амплитуды в щели. Такими волновыми пакетами с минимальной Неопределенностью являются гауссовы пучки (см. гл. 6),