Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

ЪЛ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ [24]

Теорема Лпувилля играет важную роль в стати­ стической механике. Приведенные выше рассуждения, подчеркивавшие тесное сходство лучевой оптики с меха­ никой, подготовили нас к тому, чтобы не удивляться при обнаружении применимости теорем механики в оптике. Световые лучи обычно не рассматриваются статистически­ ми теориями. Однако квантовая механика является статис­ тической теорией, поэтому волновая оптика, будучи кван­ товой теорией лучевой оптики, сводится к статистической трактовке световых лучей. Статистические положения

встрогом классическом смысле также с успехом могут быть применены для описания коллективного движения пучков лучей. Большая важность теоремы Лиувилля в оп­ тике обусловлена ее способностью служить руководством

вситуациях, когда рассуждения, основанные иа интуи­

ции, могут привести к грубым ошибкам. Пример такого рода будет рассмотрен в гл. 4. Он включает обобщение концепции тонких линз как фазового корректора. Теорема Лиувилля может быть применена для проверки физиче­ ской реализуемости математнчеких предположений, кото­ рые выглядят интуитивно правдоподобными, но неулови­ мым образом нарушают физические принципы. Теорема Лиувилля не часто обсуждается в книгах по оптике. По оиа является мощным инструментом и содержит как частные случаи несколько хорошо известных оптических теорем.

Вывод теоремы Лиувилля можно найти в книгах по ста­ тистической механике [25]. Выведем ее здесь, чтобы ие за­ ставлять читателя обращаться к литературе по статисти­ ческой механике. Отправная точка для формулирования и понимания теоремы — это понятие о фазовом простран­ стве. Ранее было показано, что в гамильтоновой формули­ ровке лучевой оптики используются два рода координат: положение луча х и у и «импульсы» луча рх и ру. Вместе эти переменные образуют пространство четырех измере­ ний (шести измерений в классической механике точечной частицы). Физическое состояние светового луча может быть представлено точкой в фазовом пространстве. Каждая точка в фазовом пространстве дает информацию о положе­ нии и угле наклона («импульсе») луча. Траектория в фазо­

вом пространстве дает нам такое же количество информа­ ции, какое мы получили бы, изучая положение и наклон луча в зависимости от координаты z. Переход от одного луча к многим лучам и, наконец, к статистике лучей есте­ ственным образом приводит к рассмотрению элементов объема в фазовом пространстве. Рассмотрим пучок лучей, заполняющих некоторую площадь в реальном простран­ стве и имеющих некоторый разброс по направлению. Каждый луч пучка в фазовом пространстве представлен точкой, слегка отличающейся по положению от любого другого луча данного пучка. Если положение лучей в реальном пространстве и углы их наклона ограничены, то представляющие их точки в фазовом пространстве запол­ нят некоторый конечный объем. Проследив за изменением светового пучка при его распространении через оптиче­ скую систему, можно заметить, что объем, который пер­ воначально занимали лучи, изменяет свою форму и движет­ ся в фазовом пространстве. Вместо того чтобы изучать историю каждого отдельного луча в пучке, легче наблю­ дать движение объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля дает сведения об объеме пучка лучей в фазовом пространстве. Ее можно выразить в нескольких эквива­ лентных формах. Через объем фазового пространства она формулируется следующим образом: объем в фазовом про­ странстве, заполненный точками, соответствующими пучку лучей, остается постоянным. Этот результат осно­ ван на уравнениях лучей. Сами лучи могут сильно откло­ няться, вызывая деформацию и вытягивание объема фазового пространства. Однако объем, который первона­ чально был занят лучами в их исходном состояипп, не ме­ няется даже при изменении его первоначальной формы.

Теорема Лнувилля основана на плотности р точек в фа­ зовом пространстве. Плотность — это число точек в еди­ нице объема фазового пространства. Плотность удовлетво­ ряет уравнению непрерывности

Заметим, что временная координата механики снова заме­ нена на z. Согласно уравнению непрерывности, общее число точек должно оставаться постоянным. Справедлц-

вость этого уравнения подтверждается тем, что изменение общего числа точек, заключенных внутри фиксирован­ ного объема Vf фазового пространства, должно объяснять­ ся движением точек как внутрь этого объема, так и наружу из него. Так как движение точек происходит вдоль оси z, то

Интеграл слева есть общее число точек в объеме У/, тогда как интеграл справа представляет поток частиц с плотно­ стью тока pv (v — скорость частиц), который течет через замкнутую поверхность, окружающую У/. Единичный вектор и направлен по внешней нормали. Поэтому отрица­ тельный поток означает, что в объеме накапливаются час­ тицы. Это учтено отрицательным знаком правой части. Применение теоремы о дивергенции к интегралу в правой части приводит к уравнению (3.7.1), если учесть, что объем Vf произволен.

Мы рассматривали задачу о потоке так, как если бы он имел место в обычном трехмерном пространстве с коорди­ натой z, представляющей временную координату. Однако математические операции, которые были применены, не ог­ раничены случаем трехмерного пространства, так что каждое утверждение применимо и к четырехмерному про­ странству. Дивергенция, появляющаяся в уравнении (3.7.1), является обобщением обычной трехмерной дивер­ генции на четырехмерное фазовое пространство. Можно записать уравнение (3.7.1) через составляющие следующим образом:

- | - + 2 [ ^ ( р ^ ) - ^ - ( р ^ ) ] = 0' <3-7-3» i=i

Здесь использованы обозначения хt = х, хг — у, p t = р х и Рг = Ру Координаты и импульсы представляют действи­ тельные лучи, которые подчиняются законам лучевого

Полезно помнить, что законы лучевой оптики использова­ ны именно здесь. Вычисление производных от произведе­ ний позволяет сократить некоторые члены, так что в ре­ зультате получаем

i= l

Плотность p является функцией х, у , рх и ру. Левая часть является полной производной р по z, так что получаем теорему Лиувилля в следующем виде:

Плотность точек в фазовом пространстве не зависит от координаты z. Можно использовать этот результат для получения второй формы теоремы Лиувилля. Заключим определенное число точек в объем V и будем изменять границы этого объема таким образом, чтобы общее число точек, содержащихся внутри, не изменялось. Тогда по оп­ ределению

Можно расположить точки любым произвольным образом. Расположим их так, чтобы плотность р была постоянна внутри объема V. Это позволяет вынести р из-под знака интеграла и, используя равенство (3.7.7), поставить ее перед знаком производной. В результате получается урав­ нение

Это теорема Лиувилля в ее второй форме. Она утверждает, что объем, содержащий фиксированное число точек фазо­ вого пространства, не зависит от z. Этот объем переносится

вместе с точками, ио численная величина объема не изме­ няется, хотя его форма может существенно изменяться.

Можно выразить теорему Лиувилля в третьей форме, которая наиболее полезна для наших целей. Получение этой последней формы требует небольшого введения. Возьмем луч во входной плоскости z — zt с координатами x ii l/h Pxii Pin■При прохождении луча от начальной точки z = z; до произвольной точки z = Zj вдоль его траектории изменяются все значения координат. Обозначил: перемен­ ные в произвольной точке луча через xj, г//, p xj, p vj. Рас­ сматриваемый луч является одним из лучей пучка, кото­ рый заполняет некоторый объел: в фазовол: пространстве. Соседние лучи нл:еют координаты, начальные и конечные значения которых несколько отличаются от координат выбранного луча. Следует учесть, что если изменять начальные координаты луча в фиксированной плоскости z = Zj, его конечные координаты в этой плоскости z = zf пзлюнятся тоже. Действительно, конечные координаты являются функциями начальных координат:

Аналогичные функциональные соотношения справедливы и для двух других координат. Координата z считается постоянной и нет необходплюсти включать ее в эти функ­ циональные соотношения. Далее иал: необходим один результат из теории объелшых интегралов. Если интеграл, выраженный через ряд перелюнпых, необходилш записать через новый ряд пере.меппых, то преобразование выпол­ няется с полгощыо якобпапа преобразования [261. Для слу­ чая объемных интегралов это можно представить уравнениел:

Прнлюнил: эту теорему к нашел:у ряду перелюнных. Урав­ нения (3.7.10) и (3.7.11) и остальные уравнения не выра­ жают явно форл:ы преобразования от одного ряда пере­ люнных к другол:у, поэтол:у прилюняется теория преобра­ зования объелшых интегралов. Теорел:а Лиувилля в ее второй форлю (3.7.8) утверждает, что два элелюнта обтюлщ

должны быть одинаковыми, так как объем совокупности точек в фазовом пространстве не изменяется. Должно выполняться равенство

Следовательно, якобиан, входящий в формулу (3.7.12), должен быть равен единице. Из определения якобиана получаем третью форму теоремы Лиувилля

Теорема Лиувилля справедлива не только для лучей в средах с непрерывным распределением показателя пре­ ломления, но также и для лучей, пересекающих границу между средами с разными показателями преломления, и при отражении света от изогнутых зеркал. Доказатель­ ство справедливости теоремы при отражении света предо­ ставляется читателю в качестве упражнения. Справедли­ вость теоремы Лиувилля для диэлектрических границ может быть подтверждена следующим образом. Предпо­ ложим, что скачкообразное изменение показателя прелом­ ления заменено произвольным плавным распределением, как показано на фиг. 3.7.1. Ось z координатной системы выбрана совпадающей с нормалью к границе. Показатель преломления постоянен в обеих областях и является непре­ рывной функцией п (z) внутри переходной области. При таком выборе системы координат и распределения показа­ теля преломления из формул (3.5.30) и (3.5.31) получаем

во всем пространстве. Этот результат совершенно не зави­ сит от вида функции п (z). Уравнения (3,5.32) и (3.5.33)