ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 0
156 |
Глава 3 |
|
могут быть дополнены соотношением |
|
|
|
Р- = “ТГ ■ |
(3.7.17) |
Все три соотношения приводят к квадрату длины вектора «импульса»:
Р Н - й + р : = » а [ ( £ ) г+ ( ^ ) 2+ ( т Г ] = ' Л (3-7.18)
Используя угол aj, определяющий наклон луча в среде 1, и угол а 2 для наклона луча в среде 2 (см. определение этих
Ф и г . 3.7.1. Замена резкого скачка |
показателя преломлспия |
на границе раздела диэлектриков |
плавным изменением. |
углов на фиг. 3.7.1), из формулы (3.7.15) сразу же получа ем закон Снеллиуса (считается, что система координат расположена так, что ру = 0):
{Рх)I = « 1 sin « 1 = (р*)2= Щ. sin a 3. |
(3.7.19) |
Геометрическая оптика |
157 |
Эти рассуждения показывают, что закон Снеллиуса спра ведлив не только в случае резкого изменения показателя преломления на границе, но даже в случае произвольного его распределения и произвольной ширины переходной области. Поскольку показатель преломления здесь вообще не используется, можно принять его изменяющимся про извольным образом и получить, в частности, резкую гра ницу в результате предельного перехода. Таким образом, любое резкое изменение показателя преломления можно считать сглаженным, так что уравнения лучей и, следова тельно, теорема Лиувилля являются справедливыми и в случае резкого изменения показателя преломления. Траектории лучей в среде со сглаженным распределением показателя преломления асимптотически идентичны тра екториям в разрывной среде, если считать, что изменение показателя преломления становится все более и более резким.
Второе доказательство справедливости теоремы Лиу вилля использует с самого начала резкую границу. Разу меется, справедливость (3.7.14) можно подтвердить пря мым вычислением в любом конкретном случае. Однако в случае произвольной границы такое непосредственное вычисление весьма трудоемко. Второй подход показывает, как такое прямое вычисление может быть упрощено вра щением системы координат.
Рассмотрим задачу лучевой оптики, схематически изо браженную на фиг. 3.7.2. Плоская граница расположена под произвольным углом к координатным осям. Задача для простоты сведена к двумерной. Гораздо легче проводить лучи через границу, расположенную перпендикулярно осп z системы координат. Поэтому введем координаты, показанные на фиг. 3.7.2 пунктирными линиями. Однако поворот системы координат вызывает определенные слож ности, напоминающие те, которые возникают в галилеев ском варианте преобразования Лоренца [21]. Теорема Лиувилля принципиально основывается на том факте, что все координаты луча х, у, рх и ру берутся при одном и том же значении координаты z. Лучи в точках Рх и Р 2, показан ных на фиг. 3.7.2, удовлетворяют этому требованию в пер воначальной системе координат х, у. Однако в повернутой системе каждая точка имеет другое значение z'. Чтобы
158 |
Глава’a |
можно |
было использовать теорему Лиувилля, нужно |
не просто отнести положение луча к координатам х' и у', а рассматривать их как новые координаты, смещенные
\ х х \
XXX
Ч г '
Ф и г. 3.7.2. Пояснение к доказательству теоремы Лиувилля.
Лучи пересекают границу раздела двух сред. Ось к ' повои системы коорди нат параллельна граничной поверхности.
по лучу до точки его пересечения с плоскостью, перпендикулярной оси z'. Мы не имеем права просто геометриче ски поворачивать систему координат, а должны изменить координаты каждой точки так, чтобы быть уверенными, что каждый луч снова соотнесен с той же самой точкой z'. Эта задача аналогична задаче одновременности, встречаю щейся в теории относительности. Здесь обнаруживается
Геометрическая ontoика |
159 |
еще одна связь лучевой оптики с релятивистской механи кой. Только в параксиальном (нерелятивистском) прибли жении, когда все углы (включая углы лучей с нормалью к границе) малы, простой поворот системы координат будет приблизительно правильным. Представление в фазовом пространстве четырех лучей в точках Р 1и Р 2, выраженное
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Р* |
|
Ф и г. 3.7.3. |
Фазовое |
про |
|
|
|
странство |
для |
лучей, |
про |
2 . |
. 4 |
ходящих |
через точки |
Pi п |
|||
Р 2 на фиг. 3.7.2. |
|
7 . |
, 3 |
||
|
|
|
|
||
х
в старой системе координат, показано на фиг. 3.7.3. Точки 1 и 2 па фиг. 3.7.3 соответствуют точке P t на фиг. 3.7.2, а точки 3 и 4 соответствуют Р г■В новой системе координат положения четырех лучей должны быть представлены
а
2. . 4
/. 3
Ф и г. 3.7.4. Фазовое про странство для лучей, пере секающих пунктирную ли нию, которая 'проходит че рез точку Pi на фнг. 3.7.2.
пересечениями пунктирной линии (проходящей через Рj) с лучами. Соответствующее представление в фазовом про странстве показано на фиг. 3.7.4. Все точки были сдвинуты вдоль р'х, и первоначальный квадрат приобрел слегка трапецеидальную форму. Используя угол наклона а, сред ний между углами наклона лучей 3 и 4, можно выразить связь между приращением длины dx' в новой системе коор динат и приращением dx в старой системе в виде
dx = (cos ф — sin фtga) dx'. |
(3.7.20) |
160 Глава 3
Импульс в старой системе координат получается из соот
ношений (3.5.38) |
или (3.7.19): |
|
|
pa.= n 1sina. |
(3.7.21) |
Его приращение |
дается формулой |
|
|
dpx= n 1cos a da. |
(3.7.22) |
Импульс в новой системе координат равен |
|
|
|
р'х— щ sin (a-j- ф), |
(3.7.23) |
а приращение |
dpx= iii cos (a-j-ф) da. |
(3.7.24) |
|
||
Теперь можно выразить приращение в старой системе координат через приращение в новой системе:
|
dP * = T Z % S w d* - |
<3 -7-25) |
|
Элементы объема |
в фазовом |
пространстве, выраженные |
|
в двухкоординатной системе, связаны соотношением |
|||
dx dpx= |
cos а |
31П Ф) dx' dp'x' |
^3-7-26) |
или, используя равенство dV = dxdpx и теорему дополне ния тригонометрических функций, получаем
dV = d V '. |
(3.7.27) |
Таким образом, при преобразовании к повой системе координат объем в фазовом пространстве сохраняется. Это полезный результат, так как он показывает, что можно поворачивать систему координат до любого удобного поло жения, когда мы пытаемся подтвердить теорему Лнувилля для лучей, которые или отражаются зеркалом, или, как в этом случае, преломляются диэлектрической границей. Вывод об инвариантности объема фазового пространства не зависит от величины показателя преломления и, конеч но, справедлив также и в случае, когда система координат возвращается обратно в первоначальное положение после прохождения лучей через границу. Этот результат спра ведлив также и для реального трехмерного случая. Выбор двумерной задачи мотивировался лишь удобством изло жения.
Геймtчиp ическая онтика. |
161 |
Чтобы доказать теорему Лиувилля для лучей, прохо дящих через границу между двумя средами с различными показателями преломления, используем повернутую сис тему координат с осыо z', перпендикулярной границе в точке, где лучи ее пересекают. Граничное условие для лучей (3.3.5) с помощью формул (3.5.32) и (3.5.33) может быть выражено в виде
(P/)i = (Р/)а- |
(3.7.28) |
Тангенциальные составляющие вектора р при пересечении границы остаются непрерывными. При выборе повернутой системы координат тангенциальными компонентами явля ются р'х и р'и. Теорема Лиувилля справедлива вдоль тра ектории луча в свободном пространстве, поэтому при до казательстве справедливости (3.7.14) можно использовать положепия луча в непосредственной близости к границе. Пересечение границы не изменяет положения луча. Так как тангенциальные х'- и z/'-компопеиты р также одинако вы па обеих сторонах границы, имеем
dVi = d,V2, |
(3.7.29) |
т. е. теорема Лиувилля справедлива для лучей на разрывах непрерывности показателя преломления. Поскольку сис тему координат можно поворачивать произвольным обра зом, доказавельство того, что теорема Лиувилля справед лива на разрывной диэлектрической границе, становится тривиальным. Этот метод прямой проверки теоремы Лиувплля является наиболее подходящим для установления ее справедливости в случае отражения от произвольной поверхности. С помощью предельного перехода, рассмот ренного ранее, мы убедились, что теорема должна быть справедливой на диэлектрических границах раздела. Одна ко случай отражения не может быть рассмотрен таким же способом, поэтому желательным является прямое дока зательство. Это доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Непосредственное вычисление становится совершенно простым, если использовать тот факт, что можно поворачивать систему координат и отно сить положение лучей к плоскости постоянных значений z'.
Теперь воспользуемся теоремой Лиувилля, чтобы дока зать теорему синусов Аббе [1] для оптических изображе-
I 1-087
162 |
Глава 3 |
lniii. Эта теорема не яшгяотся существенной для содержа ния настоящей книги. Ее вывод включен только в качестве иллюстрации полезности теоремы Диувилля. Условие синусов применяется для спетом формирования изобра жения. Точнее, оно применяется к изображениям без абер раций. Пусть необходимо определить связь между углами лучей и расстояниями между соседними точками изобра жения и объекта. На фиг. 3.7.5 показана геометрия задачи.
Ф и г. 3.7.5. Схематическое изображение системы формирования оптического изображения. Показаны точки объекта Р ! и Р 2 и точки изображения Р[ и Р 2, а также направления двух типнчпых лучен, используемых в теореме сипусов Аббе.
Точка объекта Р, расположена иа оптической осп системы. Соответствующая точка изображения Р\ также расположе на на оптической оси. Фактически ими определяется опти ческая ось. Вследствие нашего предположения о правиль ности оптического изображения каждый луч, выходящий из Pi под произвольным углом, должен пройти через Р\. Разумеется, то же самое справедливо для каждого луча, выходящего из соседней точки объекта Р 2. Они все должны пройти через ее изображение Р'2. Теорема Лнувилля в дву мерной форме дает
дх’ |
др’х |
|
дх |
дх |
(3.7.30) |
дх' |
= \ . |
|
др'х |
|
дрх дрх