ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 194
Скачиваний: 0
170 |
Глава 4 |
между линзой и левым фокусом. Беря отношение (4.2.5) и (4.2.6), получаем для величины изображения соотноше ние
h j_ _ b _ |
(4.2.8) |
||
ho |
« |
||
|
|||
Б заключение настоящего раздела приведем краткое опи сание разрешающей способности оптических приборов,
Ф н г. 4.2.3. Мнимое изображение объекта, расположенного между линзой н фокусом.
не вдаваясь глубоко в рассмотрение свойств оптических систем, связанных с формированием изображения. Точ ность, с которой можно получить изображение точки, зависит от предельной точности определения положения луча. Лучи в оптике служат лишь для приближенного описания оптических явлений. Точное описание должно быть дано в рамках волновой оптики. Поскольку волновая оптика определена ранее в разд. 3.6 как квантовая теория лучевой оптики, то мы уже знаем, что волповая функция есть величина вероятности нахождения луча в данной точке. Положение и «импульс» световых лучей представ ляют собой две величины, которые не могут быть опреде лены с произвольной точностью. Для того чтобы опреде лить положение светового луча с точностью Ах в попереч ном направлении, следует допустить разброс «импульса» луча. Из соотношения неопределенности (3.6.56) получим ограничение на точность определения положения светового луча или, что то же самое, на разрешение изображения точки
(4.2.9)
Л иивы |
171 |
Импульс луча связан с углом его наклона соотношением (3.5.38). Исе лучи, выходящие из какой-либо точки объек та, сходятся в соответствующей точке изображения, как показано на фиг. 4.2.4. Неопределенность лучевого импуль са должна быть связана с максимальным углом наклона
Ф и г. 4.2.4. Все лучи, исходящие из точки объекта, сходятся в точке изображения за идеальной тонкой линзой.
луча, который допускается апертурой линзы. Принимая в качестве грубой оценки величины неопределеииости лучевого импульса
Ар — п sin а, |
(4.2.10) |
получаем оценку для предельной разрешающей способ ности оптической системы
X
(4.2.11)
4лп sin а
Эта формула совпадает с общеизвестной предельной раз решающей способностью, полученной Рэлеем, по крайней мере по порядку величины [1]. Мы еще вернемся к оптиче ской разрешающей способности в связи с описанием линз в рамках волновой оптики.
4.3. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА ТОНКИХ ЛИНЗ
Для понимания свойств тонких линз в рамках волновой оптики не требуется использования теории Максвелла. Поляризация света оказывает влияние лишь на отражение
■172 Глава 4
от передней и задней поверхностей линз. Если же игнори ровать это явление, то для описания волновой оптики линз будет достаточно использовать лишь скалярное волновое уравнение. Мы ограничимся рассмотрением только тонких линз. Дополнительные трудности, обусловленные тол щиной лпнз, лучше трактуются с помощью лучевой оптики. Такую трактовку можно найти в большинстве кпиг по оптике [1, 15].
Тонкая линза является фазовым корректором. Если рассмотреть волновое поле до п непосредственно после линзы, то обнаружится, что фаза волны изменяется, тогда как ее амплитуда в большинстве практических случаев остается без изменения. Обозначим входное поле непо средственно перед линзой через ф;, а выходное поле сразу за линзой через-фо- Предполагая для простоты круговую симметрию поля, действие линзы можно описать уравнением
фо (/•) = eiv(,'H|p (г), |
(4.3.1) |
где г — расстояние от оптической осп. Потребуем, чтобы линза имела такие же свойства, что и линза, описываемая уравнением (4.2.4). Тот факт, что лучи представляют собой траектории, ортогональные волновым фронтам, позволяет перевести картину, представленную на фиг. 4.2.1, на язык волновой оптики. Результат показал на фиг. 4.3.1.
Пунктирными линиями изображены волновые фронты. Падающая плоская волна превращается в сферическую волну, сходящуюся в фокальной точке на расстоянии / позади лпнзьт. Фаза волны непосредственно после прохож дения волны через линзу определяется соотношением
У (г) = - (Р2 - г2) К. |
(4.3.2) |
Знак минус связал с тем, что распространяющаяся волна зависит от времени по закону (2.2.1). Уравнение (4.3.2) можно обосновать следующим образом. При г, равном р, т. е. радпусу линзы, фазовый сдвиг равен нулю. Он возра стает при уменьшении г п достигает максимума при г = 0. Такое поведение становится очевидны.\г, если вспомнить, что собирающие лппзы толще в центральной своей части вблизи оптической оси и становятся все тоньше при уда лении от центра по направлению к периферии. Более толстый участок в центре соответствует большей оптнче-
JJПИЗЫ |
173 |
ской длине пути для светового поля, чем тонкий участок у края. Более длинный оптический путь означает больший фазовый сдвиг. Предположение о квадратичной зависимо сти является приближением, справедливым для линз, для которых удовлетворяется соотношение
Р « Л |
(4.3.3) |
Квадратичная закономерность становится понятной, если учесть, что фазовый сдвиг должен быть одинаков для г и
Ф н г. 4.3.1. Топкая линза как фазовый корректор. Падающая плоская волна превращается за линзой в сферическую волну, схо дящуюся в фокальной точке.
—г. Квадрат есть папнизшая степень, удовлетворяющая этому требованию. Наличие членов четвертого порядка указывало бы на то, что линза обладает аберрациями. Эти простые соображения позволяют определить фазовый сдвиг с точностью до неизвестного параметра К. Эта константа должна описывать оптическую силу линзы. Мы определим эту константу в параксиальном приближении. Поскольку каждый волновой фронт является поверхностью постоян ной фазы, то, следовательно, волновой фронт на расстоя нии £ от края линзы (см. фиг. 4.3.1) имеет фазу у (0). Получаем соотношение
т (0) = - рЧ(. = - |
кЪ. |
(4.3.4) |
Фазовый сдвиг Щ соответствует |
прохождению |
волны |
па расстояние £ от края линзы до волнового фронта, касаго-
Ш |
Г aaim 4 |
щегося тонкой линзы в точке ?'=0. Величина к есть по стоянная распространения (1.3.13). Расстояние £ можно получить из теоремы Пифагора, примененной к треуголь нику, показанному на фиг. 4.3.1:
( Ж ) 2= / 2+ Р а. |
(4.3.5) |
|
Пренебрегая £2, приходим к решению |
|
|
е= р1. |
(4.3.6) |
|
5 |
2/ |
|
Константа К теперь получается из формул (4.3.4) и (4.3.6):
г к |
(4.3.7) |
К— 2/ ' |
|
Фазовый сдвиг, обусловленный прохождением волны через тонкую линзу, получим окончательно из равенств (4.3.2)
и (4.3.7):
7 ( 0 = (4.3.8)
Фазовый сдвиг позволяет рассчитать прохождение волн через тонкую линзу. Для простоты рассмотрим двумер ный случай. Следуя обычной нашей практике, назовем задачу двумерной, если отсутствует зависимость от одной декартовой координаты. Предполагая, что нет зависи мости от г/, рассмотрим прохождение волнового поля от плоскости, находящейся на расстоянии а перед линзой, до плоскости на расстоянии Ъ позади линзы. В нашей двумерной задаче мы имеем дело с тонкой линзой, экви валентной цилиндрической лиизе. Геометрия задачи показана на фиг. 4.3.2.
Прохождение входного поля ф,- из сечения z; = const в положение непосредственно перед линзой описывается
дифракционным интегралом (2.2.43) |
|
|
ф (= - |
-----е тг' |
г*5х |
У X (2' —Z j ) |
|
|
X j фг(.т,-, z;)exp [ — |
da:,-. (4.3.9) |
|
В соответствии с характером параксиального приближе ния мы заменили косинусы, стоящие в (2.2.43), на единицу.
Л ипаи |
■175 |
Это — поле, описывающее волну непосредственно |
слева |
от линзы. После прохождения линзы оно преобразуется следующий! образом км. (4.3.1) и (4.3.8)]:
i|)2 = e-W2/)(p2-.x-'--H|3l. |
(4.3.10) |
Функция г|)2 описывает волну непосредственно за линзой. Поле в выходной плоскости имеет вид
е-гзт/4 |
|
ч])2( х ',г ') х |
|
-фо= ..---- = = - е -’^ о -2') |
|
||
УХ (ZQ — |
Z ) |
J |
|
|
|
— СО |
|
xexp |
[ - i k |
]dx'. |
(4.3.11) |
После подстановки выражения (4.3.9) в (4.3.10) и исполь зования полученного соотношения для исключения чр2
Ф в г. 4.3.2. К определению некоторых величии, используемых п волновой оптике для описания формирования изображения с по мощью топкой линзы.
из (4.3.11) получаем двойной интеграл. Интегрирование,
не затрагивающее входное поле т|)г, приводит к интегралу
оо
/ = J ехр [ - 4 (4 - + т - т )*'а] х
— со |
|
Xexp [ik (-?- + х ) *']<**'• |
(4.3.12) |
Для упрощения записи в выражении (4.3.12) были исполь зованы соотношенпя
z —г,- = a |
(4.3.13) |
170 |
Глава d |
|
|
|
|
и |
z0 —z' = 5; |
|
|
(4.3.14) |
|
|
|
|
|||
имеем интеграл |
вида |
|
|
|
|
со |
|
__ |
|
||
1 = j |
в‘«**2+рхЫх = ~у/Г |
|
(4.3.15) |
||
где |
к / 1 , |
1 |
1 \ |
|
|
|
(4.3.16) |
||||
и |
а - _ т ( т + У ~ т ) |
||||
|
|||||
|
|
|
|
||
|
Р = Н т + т |
) |
- |
(4.3.17) |
|
|
|
||||
Врезультате получаем соотношение между входным полем
иполем на выходе
сю
Уяе1(^ 4)л е-Щг0-г.)е_;(Л/2/)р2
%ХУаЬ
X ехр \ — - |
**'■ 0-3.18) |
{ - - г [ ^ г + т + i ( т + 1 г Г J} |
В общем виде это соотношение оказывается довольно сложным. Имеются, однако, весьма интересные частные случаи, заслуживающие специального исследования. Начнем с рассмотрения случая
а = 0. |
(4.3.19) |
Поскольку а стоит в знаменателе выражения (4.3.18), то очевидно, что мы сталкиваемся здесь с сингулярностью. Однако с данной сингулярностью легко справиться, если обратиться к (4.3.15). При а — 0 член с х1 исчезает из по дынтегрального выражения, н мы имеем дело с представ лением 5-функции:
со |
|
1 = j eiP*da: = 2n6(P). |
(4.3.20) |
Используя формулы (4.3.15) и (4.3.20), получаем резуль тат для предельного перехода
lim ~\/~— е-ад2/'‘“>= 2л6(6). |
(4.3.21) |
а-о ' а
|
|
Л низы |
177 |
|
Таким |
образом, |
мы получили |
другое представление |
|
6-функции. Этот |
результат |
дает возможность записать |
||
|
2711 |
|
°0 |
|
фо = |
|
(• |
|
|
e - ^ + U e - 'W 2^ - |
j ф; (xi, z,) X |
|||
|
X е -Kfc/2)(*f/0+*S/b)6 J-д. |
j j d r . (4.3.22) |
||
Интеграл можно теперь вычислить с помощью 6-функции, входящей в явном виде в подынтегральное выражение:
фо(г„, 2о)= i ] / е-4Л(«+Ь)в-*<Л/2/)СРя+(«/Ь)**1 х
X фг ( — у Х о, z, ) . |
(4.3.23) |
Для упрощения здесь использованы соотношение |
|
к = ^ - |
(4.3.24) |
Л. |
|
н равенство |
|
4 + т = т ' |
<4 '3 '25’ |
вытекающее ■из (4.3.16) при а = 0. Уравнение |
(4.3.23) |
представляет собой закон формированияизображения, |
|
выраженный в терминах волновой оптики. Условие а = 0 |
|
привело к соотношению (4.3.25), которое связывает рас стояние до объекта и расстояние до изображения с фокус ным расстоянием линзы. Это соотношение уже появлялось ранее как уравнение (4.2.7) при лучевой трактовке форми рования изображении линзами. Формула (4.3.23) выража ет тот факт, что поле изображения и поле объекта идентич ны, за исключением противоположного знака в координа тах изображения, что выражается знаком минус у аргу мента хп. Кроме того, появляется скалярный множитель а/Ъ, отражающий тот факт, что изображение отличается по размеру от объекта. Коэффициент увеличения изобра жения b/а уже встречался нам в лучевой трактовке форми рования изображения (4.2.8). Фазовые множители в (4.3.23) не влияют на способность линзы формировать изображение. Как фотографическая пленка, так и сетчат ка глаза нечувствительны к фазе светового поля. Они реа
гируют лннгьна |ф |2, а не на ф. Множитель ] / а/Ь показы-
12-087