Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Координата .г„ в выходной (задней фокальной) плоскости цилиндрической линзы пропорциональна частотному интервалу обычного преобразования Фурье временной функции.

Это простое соотношение между функцией и ее преобра­ зованием Фурье идеально подходит для осуществления операции фильтрации преобразования Фурье в частотной области. Поскольку частотная переменная заменена здесь пространственной переменной, подобная операция филь­ трации известна как пространственная фильтрация.

Допустим, что мы хотим моделировать действие филь­ тра нижних частот. В случае электрического сигнала с временной зависимостью нужно передать напряжение пли ток через соответствующую электрическую цепь, которая позволяет пропустить все частоты вплоть до гра­ ничной частоты сос, тогда как все частоты выше сос задер­ живаются. Соответствующий пространственный фильтр представляет собой просто щель в светонепроницаемом экране. Щель простирается от х0 = —а'ое до х0 — хос, где

поставить вторую линзу для осуществления обратного преобразования Фурье и воспроизведения функции

где

(4.4.7)

Точная математическая форма преобразования Фурье получается при замене w (и соответственно x f ) на —w. Эта замена приводит к появлению отрицательного знака в показателе экспоненциальной функции. Изменение зна­ ка, необходимое для получения привычного преобразова­ ния Фурье и соответствующего ему обращения, показыва­ ет, что пространственное изображение, получаемое при использовании двух линз (в отсутствии фильтра нижних

частот), оказывается перевернутым относительно входного поля. Описанное действие пространственной фильтрации показано на фиг. 4.4.1.

Простое оптическое устройство, изображенное па фиг. 4.4.1, является аналоговым вычислительным устройством.

Ф и г. 4.4.1. Оптическое аналоговое вычислительное устройство, действующее как фильтр ншкипх частот. Если экран с щелыо заме нить транспарантом, то можно осуществить более общие операции фильтрации.

Оно позволяет получить результат фильтрации нижних ча­ стот по функции t{x). Результирующая функция записы­ вается на фотографической пластинке, помещенной в задней фокальной плоскости второй линзы. Однако необходимо помнить, что фотографическая пластинка чувствительна к энергии поля, а не к его амплитуде. В случае использо­ вания пластинки в ее линейной области регистрируется квадрат абсолютной величины амплитуды распределения поля, но не распределение самого поля. Результат анало­ гового вычисления, выполняемого оптической системой, получается, если взять квадратный корень от оптической плотности, записанпой на пленке. Оптическая плотность входного транспаранта представляет квадрат функции t (х): коэффициент прохождения t (х) представляет ампли­ туду, а не мощность.

186 Глава 4

Не следует забывать, что вследствие конечного размера линз преобразование Фурье, осуществляемое линзами, является не точным, а лишь приближенным. Интеграл в (4.4.2), строго говоря, должен распространяться не на бесконечную область, а только на область, занятую лин­ зой. Приближение, однако, может быть довольно хорошим, если использовать достаточно большие линзы, чтобы иметь гарантию, что большая часть света проходит через их апертуру.

Если поместить фотографическую пластинку в задней фокальной плоскости первой линзы, то будет зарегистри­ ровано преобразование Фурье (точнее, его квадрат) вход­ ной функции t (.г). В такой конфигурации оптическое ана­ логовое вычислительное устройство представляет собой анализатор Фурье.

Пространственная фильтрация, конечно, не ограничи­ вается только нижними частотами. Так же легко можно осуществить фильтрацию верхних частот, если установить

на пути светового пучка в задней фокальной плоскости первой линзы вместо светонепроницаемых апертур оптиче­ ских транспарантов осуществляются более сложные опера­ ции фильтрации. Наиболее интересным примером прове­ дения вычислений такого рода является получение сверт­ ки двух функций.

Пусть нужно получить свертку функций L (х) и g (х). Этого можно достичь (по крайней мере в принципе) при использовании транспаранта, амплитудный коэффициент прохождения которого является преобразованием Фурье от g (х). Изготовление такого транспаранта представляет в общем случае весьма трудную задачу, и поэтому только очень простые функции могут быть представлены таким способом. Трудности возникают из-за того, что невозможно точно проконтролировать фазу транспаранта вследствие хаотических изменений толщины пленки и показателя преломления материала. Проблема хаотического измене­ ния фазы может быть упрощена, если поместить транспа­ рант внутрь контейнера, стенки которого выполнены плоскими с оптической точностью. Оптическую длину пути через транспарант можно до некоторой степени регу-

.пировать, заполняя стеклянный сосуд, содержащий тран­ спарант, маслом со специально подобранным для согласо­ вания показателем преломления. Однако нз-за непостоян­ ства показателя преломления транспаранта невозможно полностью выравнять хаотические изменения оптической длины пути через транспарант, так что описанный метод выравнивания длины пути ие решает нашу проблему. Преобразование Фурье G функции g (х) характеризуется как фазовой, так и амплитудной функцией. Невозможно приготовить транспарант с фазовым сдвигом, который изменялся бы заданным образом. Эта задача может быть решена с помощью голографической техники, которая позволяет сохранять иа пленке или пластинке информа­ цию как об амплитуде, так и о фазе. Описание простран­ ственных фильтров, изготовленных с помощью техники голографии, можно найти в книге Гудмана [7].

Здесь мы рассмотрим транспарант с амплитудной пере­ даточной характеристикой

СО

— с»

Размещение этого транспаранта в задней фокальной плос­ кости первой линзы, показапноп на фпг. 4.4.1, приводит к тому, что распределение поля F (v), являющегося преоб­ разованием Фурье от t (х), согласно (4.4.1) и (4.4.2) ум­ ножается на амплитудную передаточную функцию G (и). Распределение поля непосредственно справа от транспа­ ранта в задней фокальной плоскости первой линзы будет теперь иметь вид F (v) G (и).

Вторая линза осуществляет второе преобразование Фурье от этой функции, так что поле в задней фокальной плоскости второй линзы равно

со

— со

или после подстановки выражения (4.4.8)

лого вычислительного устройства, схематически изображен­ ного на фиг. 4.4.1 (щель, показанная на фиг. 4.4.1, заменена транспарантом с амплитудной передаточной функцией G). Фотографическая пластинка в выходной плоскости реги­ стрирует скорее квадрат модуля функции ср (х), нежели саму функцию.

Трехмерный вариант двумерного оптического устрой­ ства, рассматривавшегося до сих пор, приводит к дву­ мерному преобразованию Фурье (4.3.41). Пространствен­ ная фильтрация с использованием обычных линз вместо цилиндрических может быть осуществлена по аналогии с двумерным случаем. Применение обычных линз и транс­ паранта, являющегося двумерным преобразованием Фурье функций двух переменных, ведет к двумерной сверт­ ке функций двух переменных. Пусть входной транс­ парант определяется функцией t (х, у), а пространствен­ ный фильтр — преобразованием Фурье функции g (х, у)

СО о о _ _ ____

(vx, v y)= - ^r j j g ( y r | u „ ] / -fu;/) x

—oo—oo

X ei(uxvx+ui/vn) dux diiy. (4.4.17)

Распределение выходного поля в задней фокальной плос­ кости второй (обычной) линзы будет

о о о о

Так, например, процессом а токорреляцин можно выде­ лить замаскированный шумом сигнал.

Для рассмотренного здесь оптического аналогового вы­ числительного устройства требуется когерентный свет. Ко­ герентным с большой степенью является свет лазера, тогда как свет, исходящий из теплового источника, не являет­ ся когерентным. Свет называется когерентным, если амп­ литуды поля в разных точках пространства меняются при вполне определенном фазовом соотношении между ними. Отсутствие определенного соотношения фаз характери­ зует некогерентный свет. Если имеет место частичная кор­