ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 196
Скачиваний: 0
178 |
1'лава 4 |
вает связь световой интенсивности изображения с интен сивностью объекта (если изображение увеличено,
> 1 ) .
Читатель, несомненно, обратил внимание на то, что размеры линзы здесь предполагаются настолько больши ми, что ее истинными границами можно пренебречь и рас пространить интегрирование от —оо до +оо. Очевидно, что это приближение оправдано, если размер светового пятна мал по сравнению с размером линзы. Однако прене брегаемый нами конечный размер линзы в случае его учета приводит к дифракционным эффектам, которые ограничи вают достижимое разрешение изображения (см. разд. 4.6).
Вернемся к выражению (4.3.18) и продолжим обсужде ние волновой оптики линз, рассмотрев еще одни частный случай. Предположим, что
а = Ъ = /. |
(4.3.26) |
Иными словами, поле объекта и поле изображения распо ложены в передней и задней фокальных плоскостях линзы. Подстановка выражений (4.3.16) н (4.3.26) в (4.3.18) при водит к следующему соотношению:
„ 1 Я / 4 |
С |
ФоСЧ), z 0) — - Z y = ^ e - 2 , h f e - ' lO</2i'iP- |
j ф((.т;, z,) х |
— ОО
X e Hh/nxoXidxi. (4.3.27)
Исключая нз рассмотрения несущественный фазовый мно житель, мы видим, что выходное поле в задней фокальной плоскости линзы представляет собой преобразование Фурье входного поля, расположенного в передней фокаль ной плоскости. Лииза, следовательно, способна осуще ствлять преобразование Фурье. Этот результат является очень важным при оптической обработке данных и в слу чае пространственной фильтрации. Поскольку преобразо вание Фурье какого-либо входного поля, расположенного в передней фокальной плоскости, осуществляется в задней фокальной плоскости, то оказывается возможным воздей ствовать на полученный «спектр» с помощью простран ственной фильтрации, фазового сдвига или перемножения с другими функциями для того, чтобы придать прсобразо-
Jl низы |
170 |
ванному полю любой желаемый вид. Можно записать пре образование Фурье в более привычном виде, если ввести новые координаты
и = { / j X i = |
(4.3.28) |
и |
|
v = \ / j x a |
(4.3.29) |
и, кроме того, функции |
|
*44{Xi, Zi)=f(u) |
(4.3.30) |
и |
|
Фо (^oi zo)= F (v)- |
(4.3.31) |
Это позволяет записать выражение (4.3.27) в виде |
|
оо |
|
F (v)= ^= r - j j{u)e™du. |
(4.3.32) |
Фазовый множитель опущен, поскольку его всегда можно устранить смещением входной или выходной плоскости на расстояние, не превышающее одну длину световой волны. Такая незначительная «дефокусировка» не влияет на качество оптических изображений, но позволяет под править фазу таким образом, чтобы сделать ее в точности кратной 2л. Единственное ограничение для идеальной реализации преобразования Фурье с помощью тонких линз состоит в наличии конечной апертуры линзы. В при веденном здесь выводе соотношения (4.3.32) ие учитывал ся размер апертуры линзы. Интеграл (4.3.12), строго гово ря, должен быть взят в конечных пределах. Однако до до тех пор пока размер светового пятна, падающего на лин зовую апертуру, мал, приближение (4.3.32) справедливо.
При прохождении света от передней в заднюю фокаль ную плоскость достигается почти идеальное преобразова ние Фурье. Однако мы получим формулу преобразования Фурье также путем рассмотрения входного поля непосред ственно перед линзой. Формулу (4.3.18) нельзя исполь зовать в этом_ случае, так как она предполагает выпол нимость параксиальных приближений, которые здесь
12*
•180 |
Глава 4 |
не выполняются. Однако результат для этого случая вытекает из формул (4.3.10) и (4.3.11):
to = = _ f ! ^ i е- ш ,е -072)/«РV f+ хръ ) х
ф кЬ
СО
X j ф,-(а:', z') e M 2№ V f - i / b ) x ' 4 - ( 2 / b ) XoX’] dx>_(4.3.33)
— oo
Располагая выходное поле вновь в задней фокальной плоскости
|
|
Ь = / |
|
(4.3.34) |
п |
используя |
формулы (4.3.28) |
— (4.3.31), после |
замены |
X j |
на х ' получим следующий результат: |
|
||
|
|
|
СО |
|
|
F(i0 = |
^ ^ e _1'ft(-v6/2/+Zo) |
j / (и) eiuvdu. |
(4.3.35) |
— СО
Не интересующие нас постоянные фазы снова опущены по тем же соображениям, которые были приведены ранее. Преобразование Фурье (4.3.35) отличается наличием фазо вого множителя, который не является постоянным, а за висит от выходной координаты х 0. Это отличие, однако, можно исключить, если рассматривать выходное поле не в плоскости s0 = /, а на криволинейной поверхности
| i +Zo==/+z'.
Анализ выходного поляна этой параболической поверх ности вместо плоскости позволяет рассматривать резуль тат прохождения поля через линзу как преобразование Фурье.
До снх пор мы ограничивались обсуждением двумерно го случая. Нетрудно перейти к более общему случаю. При рассмотрении трехмерного поля нужно исходить из выраже ния (2.2.31) вместо (2.2.43). Различие между этими двумя выражениями незначительно и может быть легко учтено. Наиболее существенное отличие состоит в том, что под зна ком интеграла стоит произведение фазовых множителей, зависящих от а: и у. Это приводит к тому, что вместо инте грала (4.3.12) появляется произведение этого интеграла
Л низы |
181 |
на другой, полученный путем замены всех ^-составляю щих па соответствующие ^-составляющие. Принимая это во внимание и рассматривая выражения (2.2.31) и (2.2.43), можно получить результат, аналогичный двумерному уравнению (4.3.18):
л е ЦЗ/2)п e -ift(20- z .)e _ i()i/2/)p2 х
я1,° №ab
х 4 "( |
J |
I1!5; (* i. Уь Zi) |
X |
— оо — оо |
|
|
|
х ехр [ |
|
( М |
) * + |
+ |
s ( ^ |
- + Jr ) 2) ] } |
^ ' i!'i- 0-3.36) |
В1>1воды, которые можно получить из этого выражения, почти идентичны тем, которые были сделаны для двумер ного случая. Если расстояния до объекта и до изображения выбраны так, чтобы а = 0, то получается перевернутое увеличенное изображение входного поля. Если входная плоскость находится при а = /, а выходная при Ъ = /, то вновь получаем, что выходное поле представляет собой преобразование Фурье (теперь двумерное) входного поля. Используя формулу (4.3.26) и обозначения
|
ux= |
j / rj - Xi, |
(4.3.37) |
|
и!/= |
] / Г |
(4.3.38) |
|
» Х = У ГJ Z 0, |
(4.3.39) |
|
|
VU— ' j / r~y yoi |
(4.3.40) |
|
находим из (4.3.36) |
|
|
|
ОО |
со |
|
|
гк-ж)-2„ j |
j f (w.v, |
“y) x |
|
|
|
X eUuxVx+uuv,,) ^ dUy. |
(4.3.41) |
182 |
Глава 4 |
Мы воспользовались формулами (4.3.30) и (4.3.31) и оче видным здесь обобщением.на две переменные. Постоянный фазовый множитель опущен по изложенным ранее сообра жениям.
Сравнение выражений для преобразования Фурье между входным н выходным полями (входным полем явля ется поле в передней фокальной плоскости пли в плоско сти непосредственно перед линзой), трансформируемыми линзой, с уравнениями (2.2.31) и (2.2.43) показывает, что поле в задней фокальной плоскости линзы соответствует дальнему дифракционному полю в области Фраунгофера. Напомним, что область Фраунгофера определяется тем, что квадратичные члены в аргументе экспоненциальных функций пренебрежимо малы. Дальнее поле у оси систе мы также пропорционально преобразованию Фурье вход ного поля без применения лнпзы.
4.-1. ОПТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
То обстоятельство, что линзы можно применять для получения преобразования Фурье двумерных распределе ний света, является очень важным для оптической обра ботки данных. Из выражений (4.3.32) и (4.3.41) видно, что преобразование Фурье объекта, расположенного в перед ней фокальной плоскости линзы, появляется в се задней фокальпой плоскости. Преобразование Фурье распределе ния входного поля, таким образом, легкодоступно и может быть использовано для изменения распределения поля известными методами. Оптический аналог частотной филь трации электрических сигналов может быть осуществлен без сложных электрических схем просто путем размеще ния апертур на пути световой волны. Более сложная техника пространственной фильтрации [7] включает ат тенюаторы или фазовращатели в задней фокальной плос кости линзы для изменения фурье-спектра входного рас пределения поля.
Допустим, что мы хотим получить преобразование Фурье данной функции. Начнем с приготовления оптиче ского транспаранта, у которого амплитуда коэффициента прохождения представляет желаемую функцию. В прии-
Линзы |
183 |
ципе возможно рассмотреть транспаранты с заданной амплитудной и фазовой характеристиками. Однако для контроля фазы транспаранта требуется чрезвычайно точ ный контроль оптической длины пути в транспаранте в пределах малой доли длины волны. Такая точность обычно не может быть реализована. Однако воспроизведепие оптического поля с желаемыми амплитудой и фазой возможно путем использования методов гологра фии [7].
Ограничимся рассмотрением простого двумерного слу
чая. Предположим, что мы |
приготовили транспарант |
с амплитудной передаточной |
функцией t (х). Освещение |
этого транспаранта в передней фокальной плоскости цилиндрической линзы плоской световой волной сразу же приводит к следующему распределению поля справа от транспаранта:
x\:i(xi) = At(xi)=j(u). |
(4.4.1) |
Связь между x t и и дается формулой (4.3.28). |
Константа |
А есть амплитуда падающей плоской волны. После про хождения транспаранта амплитуда этой плоской волны модулируется амплитудной передаточной функцией t (х) транспаранта. Согласно выражению (4.3.32), находим
преобразование Фурье входного |
поля |
(4.4.1) |
в задней |
|
фокальной плоскости цилиндрической |
линзы |
|
||
tyo(xo) = F(v) = -^!=- |
СОJ |
f(u)eiuvdu. |
(4.4.2) |
|
— СО
Специалисты в области радиотехники привыкли к фурьепреобразованиям временных функций. Преобразование Фурье временной функции есть функция частоты. Здесь же временная координата заменена пространственной координатой
f |
2я |
(4.4.3) |
|
и= У |
т т хг’ |
||
|
круговая частота со заменена другой пространственной координатой
, / Г 2л
v=V (4.4.4)
Т Г Х°-