ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 201
Скачиваний: 0
!»() |
Глава ^ |
реляция между фазами ноля и разных точках простран ства, то говорят о частично когерентном свете. В до полнение к когерентности необходимо также потребо вать монохроматичность света (т. е. наличие лишь одной частоты или очень узкого спектра частот), если он исполь зуется для оптического вычисления функций, рассмотрен ного в данном разделе. Свет лазеров идеально соответ ствует этим целям. Необходимо, однако, обеспечить рабо ту лазера на одной нз многих возможных частот и генери рование одной определенной поперечной моды [см. обсуж дение формулы (В.6.26)] для уверенности в том, что его выход достаточно моиохроматичен и пространственно когерентен. Обычный свет теплового источника или газо вого разряда можно сделать монохроматичным и когерент ным путем фильтрации узкой полосы частот и пропуска ния ее через маленькое отверст е. Однако при этом теряется столь много световой энергии, что остающегося частично когерентного света обычно оказывается недоста точно для проведения экспериментов по пространственной фильтрации.
4.5. ГАЗОВЫЕ Л11113Ы
Стеклянные линзы идеально приспособлены для форми рования изображения в оптических приборах. Если про стая линза, сделанная из стекла лишь одного сорта, имеет значительное число нежелательных аберраций, то можно изготовить хорошие линзы путем комбинирования линз, выполненных пз разных стекол И, 15]. Однако, помимо формирования изображения, имеются иные приложения для линз, и это требует наличия у них разнообразных свойств. Вопросы, связанные с передачей света на боль шие расстояния, детально будут рассмотрены в гл. 5. Весьма перспективная световодная линия передачи состоит из последовательности линз, используемых для нейтрали зации дифракционного расширения пучка света. Если можно пренебречь потерями, обусловленными рассеянием света внутри стекла и на поверхности линзы, то такая линзовая линия может быть сделана с экстремально низки ми потерями. Действительно, можно сконструировать линзовую линию с произвольно малыми потерями, если
Л низы •ИИ
взять достаточно большие линзы и сделать так, чтобы пучок спета не отклонялся значительно от оси линии. Одиако линзы не идеальны, т. е. нельзя игнорировать потери из-за рассеяния внутри их и па поверхности. Даже в том случае, когда линза имеет неотражающие покрытия, потери па каждой поверхности линзы трудно сделать менее 1%. Большая часть этих потерь обусловлена остаточным отражением, а также хаотическим рассеянием от пыли и других неоднородностей на поверхности линзы. Таким образом, основная доля потерь происходит на границе воздух — линза. Если бы удалось осуществить линзы без заметных изменений показателя преломления на поверх ностях, то проблема потерь на рассеяние и отражение была бы устранена.
Такие линзы с малыми потерями в действительности осуществимы. Впервые подобную линзу предложил Берреман 127], который использовал подогреваемую металличе скую спираль, помещенную внутри охлаждаемой метал лической трубы, чтобы согревать газ внутри трубы и обес печить его конвективное циркулирование. Он показал, что изменение плотпости неравномерно нагретого газа вызывает такое изменение показателя преломления, кото рое приводит к фокусированию светового пучка, прохо дящего вблизи оси трубы. Лпиза Берремана достаточно эффективна, но она очень трудно поддается теоретическо му анализу. Поэтому рассмотрим другой тип газовых линз, которые при эквивалентной эффективности можно под вергнуть анализу, с тем чтобы предсказать их свойства.
Поскольку имеется возможность сконструировать лин зы, действие которых основано на использовании измене ний показателя преломления газа, то можно исключить из рассмотрения проблему потерь, столь существенную для стеклянных линз. В газе с переменным показателем преломления, обусловленным неравномерным подогревом, между кусочно-однородными средами пет граничных поверхностей. Поэтому здесь полностью исключены потери па отражение и на поверхностное рассеяние. Однако необ ходимо предостеречь читателя от мысли, будто газовые лиизы идеальны во всех отношениях. Газовые линзы имеют целый ряд своих собственных недостатков. Обычно они обладают довольно сильными аберрациями, т. е. их фокус-
■192 |
Глина 4 |
ное расстояние зависит от положения светового пучка относительно центра линзы [28]. Нельзя выпо ншть газо вые линзы с большими апертурами, так как газовый поток в широкой трубе имеет тенденцию становиться турбулент ным. Наконец, работа с газовыми линзами обходится доро же, чем со стеклянными, поскольку требуется затрачи вать энергию для поддержания необходимого темпера турного градиента [29]. Однако малые потери газовых линз являются довольно существенным их преимуществом и весьма вероятно, что эта отличительная черта может
Нагреваемая
труба
Луч света
Ф и г. ''1.5.1. Схема газовой линзы.
оказаться достаточно привлекательной для того, чтобы обеспечить их использование для определенных целей. Малые потерн газовых линз были наглядпо продемон стрированы Бекком [30]. Хорошо известно, что в резона торах гелпй-пеоновых лазеров недопустимы значитель ные потери. Обычно достаточно внести внутрь резонатора на пути лазерного пучка микроскопическое постороннее включение, как колебания сразу пропадают. Но этой при чине нспол' зованне стеклянных лшгз в качестве фокуси рующих устройств внутри резонаторов гелпй-неопового лазера встречает большие трудности. Бекк продемонстри ровал работу гелпп-неонового лазера, который имел внут ри резонатора не одну, а 78 газовых линз. Длина этого резонатора со всеми линзами составляла 78 м, тогда как работал этот лазер с обычной лазерной трубкой длиной
30 см.
Схематически рассматриваемая газовая липза изобра жена на фиг. 4.5.1.
Газовая линза состоит из нагрев емой металлической трубы, в которой поддерживается ламинарное течение газа.
JJптш |
•ш |
Газ поступает в т])убу при комнатной температуре слева
ипокидает ее при более высокой температуре справа. Поскольку газ нагревается стенками трубы, то тепло, радиально проникая внутрь газа, образует гекоторый температурный градиент. Б каждом поперечном сечении наиболее охлажденные участки находятся иа оси трубы,
ичем ближе к стенке, тем более нагретым является газ 131J.
Объем V, давление р и температура Т идеального газа связаны уравнением
pV = [iRT. |
(4.5.1) |
Газовая постоянная R равна
R = 8,315 Дж *град-1 -моль-1. |
(4.5.2) |
Постоянная р равна числу молей в объеме V. Обозначим через М вес одного моля газа (один моль газа равеи его молекулярному весу в граммах). Например, кислород 0 2 имеет молекулярный вес 32. Один моль кислорода состав ляет, следовательно, 32 г этого газа. Тогда
m |
\уМ |
(4.5.3) |
естьистинная мае а газа, |
содержащегося |
в объеме V. |
Плотность р газа определяется как его масса в единице объема:
р = — . |
(4.0.4) |
С помощью приведенных определений уравнение состояния идеального газа можно переписать в виде
Экспериментально установлено, что показатель прелом ления газа зависит от его плотности следующим образом:
н.= 1 + (н0— 1)-^", |
(4.5.6) |
||
где р0 — некоторая |
постоянная средняя |
плотность |
газа, |
а 7г0 — показатель |
преломления, соответствующий |
этой |
|
плотности.
Газовая линза работает при постоянном (атмосферном) давлении. Это значит, что плотность газа обратно пропор-
1 3 - 0 S 7
194 |
Глава 4 |
цшшальна его температуре. Уравнение (4.5.б) можно, сле довательно, записать как
n = l - f ( n 0- l ) - ^ . |
(4.5.7) |
Отсюда видно, что показатель преломления газа умень шается с ростом температуры. В центре трубы газ имеет наибольший показатель преломления, так как там он менее нагрет, п величина п тем меньше, чем ближе к стен ке трубы. Световой пучок, проходящий внутри газовой линзы, отклоняется по направлению к области с более высоким значением показателя преломления. Пучок света изгибается, как показано па фиг. 4.5.1, и покидает газо вую линзу под более крутым углом к оптической оси, чем тот, который он имеет на входе.
РЕШЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Детальный анализ газовой линзы требует некоторого отступления в область термодинамики. Поскольку соответ ствующие уравнения легко получить, их вывод будет здесь приведен.
Рассмотрим некоторый объем, который неподвижен относительно трубы и расположен в движущейся среде с неоднородным распределением температуры. Количество тепла в малом объеме дается выражением
ср j pTdV. |
(4.5.8) |
v |
|
Константа ср называется теплоемкостью при постоянном давлении. Произведение температуры Т и массы dm = = pdP дает количество тепла, содержащегося в элементе объема с массой dm\ путем интегрирования получается количество тепла внутри объема V. Если количество тепла в объеме V изменяется, то это происходит вследствие про никновения тепла в объем из-за теплопроводности п из-за течения газа в объеме. Количество тепла, поступающего в объем за 1 с благодаря теплопроводности, пропорцио нально градиенту температуры Т:
к j vr-dA. |
(4.5.9) |
А
Лним |
493 |
Некто]) (1А является внешним но отношению к замкнутой поверхности А . Это выражение записано для притока тепла через поверхность А, ограничивающую объем V. Множи тель к называется теплопроводностью. Наконец, тепло может поступать путем притока нагретого газа внутрь объема. Полный приток тепла в соответствии с этим меха низмом равен
- с р j pTVclA. |
(4.5.10) |
А
Знак минус стоит потому, что вектор ilA направлен нару жу из объема. Комбинация — v ч1А определяет объем вещества, входящего впутрь объема Г за единицу времени. Три полученных выражения позволяют составить уравне ние энергетического баланса
ср A j |
pTdV = k J VТ • clA — ср j pfv-clA. (4.5.11) |
|
V |
Л |
Л |
Изменение энергии в объеме за единицу времени (левая часть уравнения) вызывается притоком тепла (первый члеи справа) и втеканием газа (второй член справа). При менение теоремы о дивергенции к обоим поверхностным интегралам дает
J |
{ ^ [ 4 - ( P 7')+ d iv (p T v )]- /i;V 2r}dF = 0. (4.5.12) |
г |
|
Поскольку объем совершенно произволен, то подынте гральная функция должна быть равна нулю. Запишем это уравнение в слегка измененной форме
с* { 3r,[ i r + ‘liv (p v )]+ p -^ - + P v -V2’}= *va7’. (4.5.13)
Теперь воспользуемся уравнением непрерывности (3.7.1), выведенным в разд. 3.7. Применим его здесь для трехмер ного случая и заменим в (3.7.1) координату z на время t. Это позволит опустить первый члеи в левой частп уравне ния (4.5.13), так что окончательно получим дифференци альное уравнение в частных производных, описывающее перенос тепла в движущейся среде:
-A_V2r = p -^L -j-pyV r. |
(4.5.14) |
13*
19(3 |
Глава d |
Для теории газовой линзы интерес представляет только стационарный процесс, который устанавливается после протекания газа в трубе в течение некоторого времени. Для стационарного случая
(4.5.15)
Получающееся при этом уравнение все еще не поддается решению, если считать плотность р и скорость v перемен ными величинами. Точное решение задачи требует рас смотрения динамики движущейся среды при наличии неод нородного распределения тепла. Эта задача слишком труд на. Поэтому для приближенного решения предполагают, что плотность р почти постоянна внутри трубы, скорость соответствует ламинарному течению, вязкий поток па про тяжении трубы находится при постоянной температуре. Распределение скорости вязкой среды в ламинарном потоке при постоянпо t температуре определяется кодгполентами
*3
II
щ. = 0,
щ, = 0,
|
1 |
т |
|
----1 |
|
|
о |
|
а Ь
|2J ,
(4.5.1(1)
(4.5.17)
где а — радиус трубы. Задача о потоке в такой упрощен ной форме известна как задача Гратца. Она рассмотрена в книге Якоба [32], посвященной переносу тепла. Задача о стационарном процессе в этом приближении следует из (4.5.14)—(4.5.17):
('ГГ |
1 |
ОТ |
|
“ ( дГ |
г |
Or |
|
где |
|
|
|
|
|
а = ^ - . |
(4.5.19) |
Здесь предполагается, что распределение |
температуры |
||
не зависит от азимутального угла ф. Это предположение является еще одним приближением, поскольку гравита ционное поле Земли искажает газовый поток, если газо вая линза ориентирована горизонтально. Гравитационный
Л инзы |
197 |
эффект приводит к искажению линзы, но ради упроще ния будем игнорировать этот эффект, ибо учет его значи тельно усложняет задачу [33, 70*, 71*].
Начнем решение задачи о распределении тепла в газо вой линзе с введения новой переменной
<4 -5 ' 2 0 >
Здесь Т w — температура стенки трубы; Т0 — температу ра газа, поступающего в трубу. Функция 0 является решением такого же дифференциального уравнения, как и (4.5.18), но с более простыми граничными зюловиями
Потребуем, чтобы Т |
— Tw при |
г = |
а. Если |
воспользо |
ваться относительной |
независимой переменной |
|||
|
" " 7 ’ |
|
|
(4-5.21) |
то это трсооваиые запишется как |
|
|
|
|
0(н) = 0 при |
н= |
1. |
(4.5.22) |
|
1 Гз физических соображений можно ожидать, что решение симметрично по координате и и поэтому функция 0 сим метрична относительно аргумента и. Будем искать реше ние дифференциального уравнения в частных производ ных (4.5.18) в виде
0 = AR (и) е-Р2«*/“2”оК |
(4.5.23) |
Подставляя выражение (4.5.23) в (4.5.18) (с заменой Т на 0), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
сРЯ |
|
(4.5.24) |
|
du% |
Т - 1 Г + Р , (1- “‘) Л = 0- |
||
|
Членом d27'/dz2 в (4.5.18) мы пренебрегли. Это приближе ние справедливо для достаточно больших значений v0.
Решения дифференциального уравнения (4.5.24) отно сятся к так называемым функциям Уиттекера. Однако в связи с тем, что они недостаточно широко табулированы, необходимо получить для них разложение в степенной ряд. Поскольку R является четной функцией и, можно ограничиться степенным рядом нз четных степеней и
со |
|
R = 2 C 2vii2v. |
(4.5.25) |
y=Q |
|