ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 225
Скачиваний: 0
272 Глава 5
ншо между линзами, его конфигурация сохраняется. Линзовый волновод является периодической структурой, и поэтому ои инвариантен лишь относительно смеще ний, кратных периоду. Из теории групп следует, что любая функция exp (i|3z) есть представление группы непре рывных смещений [59]. Но представления периодических структур должны быть периодическими функциями с пе риодом, равным периоду структуры.
Для читателя, знакомого с волновой механикой, может оказаться полезной следующая аналогия. Электрон в сво бодном пространстве можно описать с помощью плоских волн. Эти плоские волны могут рассматриваться в каче стве нормальных мод, которые имеют одинаковый вид в любом поперечном сечении, перпендикулярном направ лению распространения. Вдоль направления распростра нения изменяется только фаза. В периодическом кристалле волновая функция электронов совершенно иная. Она имеет вид функции Блоха [60] и представляется в виде произве дения функции, период которой равен периоду кристал лической решетки, на фазовый множитель, зависящий от z. Нормальные моды в линзовом волноводе являются анало гами функции Блоха электронов в кристаллических решетках.
Задача нахождения модовых решений для системы апертур (отверстий в экране) привела Губо к изобретению линзового волновода. Путешествуя во время отпуска, он пытался решить задачу нахождения полей в системе периодических апертур. Оп обратил вннмапие па то, что поля периодически повторяются у каждой апертуры системы, и сформулировал задачу, но не смог решить полученное интегральное уравнение. Губо догадался, что интегральное уравнение легко можно решить, если преоб разовать его определенным образом. При рассмотрении физического смысла введенного преобразования он уста новил, что оно подразумевает включение линз в апертуры. Таким образом, он не только упростил решение матема тической задачи, но и изобрел важную и полезную систе му передачи света с низкими потерями.
Найдем нормальные модовые решения линзового вол новода с помощью дифракционной теории Кирхгофа — Гюйгенса [47, 48]. Рассмотрим две соседние линзы волно
Линзовые волноводы |
273 |
вода бесконечной длины, изображенные на фиг. 5.6.1 Линзовый волновод можно описать различными способами. Можно, например, выбрать опорную плоскость х) посере дине между линзами и рассматривать, как меняется поле в соседних плоскостях. Можно опорную плоскость выбрать непосредственно у линзы справа или слева от нее. Восполь зуемся методом, наиболее удобным для описания лазерных
Ф и г. 5.6.1. Линзовый волновод, для которого каждая линза представлена в виде двух полулииз. Распределение поля рассыат ривается в опорных плоскостях между полулинзами.
резонаторов. Каждую линзу разделим пополам и опорную плоскость разместим посередине между двумя половинами линзы. Передача поля через половину линзы описывается преобразованием (4.3.1) и (4.3.8):
а|э1 = е -{(й/4/Ха2- :с2-ггг)'ф1(z, у). |
(5.6.1) |
Поле в опорной плоскости 1 обозначено через г|д, а поле
иепосредствеиио справа от первой линзы — через %. Радиус линзы обозначен через а [вместо р в (4.3.8)]. Вме сто 2, входящей в формулу (4.3.8), стоит 4, так как фокус ное расстояние половины линзы в 2 раза больше, чем
фокусное расстояние / целой линзы. Поле ф2 непосредст венно у второй линзы слева может быть получено преобра
зованием поля % с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа — Гюйгенса (2.2.31) в приближении Френеля.
х) |
То есть плоскость, в которой рассматривается поле.— |
Прим. |
ред. |
18-087
274 |
|
Глава 5 |
Выбрав левую |
опорную |
плоскость за начало отсчета |
и полагая cos а |
= cos ft |
= 1, получаем |
j я|цехр{ — i. -£j- [(.г' — .г-)ЧЧг/ — г/)2] } dx dij.
а 1
(5.0.2)
Иоле т|?2 по второй опорной плоскости окончательно полу чается с помощью преобразования, подобного (5.0.1):
у') = е-^кГ‘П(а2- х'2-У'-Ц12. |
(5.6.3) |
Так как целью этих вычислений является нахождение модового решения, то необходимо потребовать, чтобы поле я)?2 равнялось я^ с точностью до множителя у. Для линз с очень большой апертурой (а —>- оо) потерь мощно сти при распростраиепнн волны от первой опорной пло скости до второй быть не должно. В этом случае у — про сто фазовый множитель с единичным модулем. Если линзы имеют достаточно малые апертуры, часть поля не перехва тывается ими, вследствие чего через линзу в опорной плоскости 2 проходит меньше мощности, чем через линзу в опорной плоскости 1. В этом случае у является комплекс ной величиной, модуль которой меньше единицы. Условие для модового решения имеет следующий вид:
ф2 = ТФп |
(5.6.4) |
Уравнение (5.6.4) формулирует задачу на собственные
значения.
Ему удовлетворяет не любое поле. Поле общего харак тера не удовлетворяет соотношению (5.6.4) J). Уравнение (5.6.4) имеет бесчисленное множество решений, н произ вольное поле, возбужденное в линзовом волноводе, может быть описано как суперпозиция бесконечного числа мод [решений (5.6.4)] дайной структуры. С помощью фор мул (5.6.1) — (5.6.3) можно записать соотношение (5.6.4) в виде
уя[)(а:', г/')= - ^ - е - ^ + “2/2/) ^ я|з(л:, у) exp { * - ^ [ ( * 2+
+ Г + z '2+ p '2) (-Щ-— l ) - f 2 ^ ' + 2(/y'] } d x d y . (5.6.5)
Я) Автор здесь имеет в виду, что уравнение (5.6.4) справедливо только для параксиальных полей (воли).— Прим. ред.
Линзовые волноводы |
275 |
Индекс 1 у функции ф опущен. В общем виде уравнение (5.6.5) решать трудно. Но если ограничиться случаем конфокального линзового волновода
L = 2/, |
(5.6.6) |
то уравнение упрощается и аналитическое решение легко получается. Введя фазовый множитель перед интегралом в собственное значение у и обозначив новое собственное значение через я2, получаем следующее уравнение для мод конфокального линзового волновода в простой форме
(к = 2л/А.):
х2ф (х\ У') = -Щ- j Ф (я. У) e’WV)(**'+i/v') dx dy. (5.6.7)
Л1
Задача еще более упрощается, если будем искать решение в виде [47]
Ф (®. у) = / (я) g (у). |
(5.6.8) |
Теперь уравнение (5.6.7) разбивается на два:
я/ (х') = |
^ / (х) e'WW)"' dx |
(5.6.9) |
И |
—а |
|
а |
|
|
|
|
|
*#(*/') = |
у = - j g {у) еУяМи>/ dy. |
(5.6.10) |
При этом полагается, что площадь интегрирования явля ется квадратом. Апертуры линз имеют несколько необыч ную форму. Но в случае, когда пределы интегрирования гораздо больше площади, занимаемой полем, форма апер туры линзы не имеет значения, так как можно увеличить область интегрирования вплоть до (—оо, + оо) без изме нения величины интеграла. Для линз небольшого разме ра, когда интенсивность поля на границе апертуры не ма ла, решение зависит от формы апертуры. В этом случае наши результаты будут соответствовать линзам с квадрат ной диафрагмой. Результаты для линз с обычными круг лыми апертурами получены численным решением интег рального уравнения (5.6.7) [48]. Результаты этих вычисле ний рассмотрим в этом разделе несколько позже.
18*
276 |
|
Глава 5 |
|
|
Уравнения |
(5.6.9) |
н (5.6.10) |
имеют одинаковый вид |
|
(при а —у- оо |
они являются преобразованиями |
Фурье). |
||
Поэтому достаточно |
рассмотреть |
решение лишь |
одного |
|
из этих уравнений. Разделение двумерного уравнения (5.6.7) сводит задачу к одномерной. Молено получить уравнение (5.6.9) при рассмотрении задачи о волноводе с цилиндрическими линзами.
Модовые решения дают распределения поля, которые концентрируются около осп линзового волновода. Если апертуры линз достаточно велики, то модовые решения не зависят от размера апертур. Поэтому без ущерба для
точности |
можно расширить пределы интегрирования от |
|
± я до ± |
оо.Следовательно, для линз с большими аперту |
|
рами имеем |
|
|
|
ОО |
|
|
x^^=yW i f(x)eKnM)xx'dx- |
(5.6.11) |
Приближение Френеля, использованное для получения уравнения (5.6.11), остается справедливым, несмотря на бесконечные пределы интегрирования, если рассматри ваются волны с концентрацией поля вблизи оси. Если решение уравнения (5.6.11) распространить па большие расстояния от оптической оси, то оно становится неспра ведливым, поскольку при этом не будут выполняться условия, позволяющие использовать приближение Фре неля.
Решение интегрального уравнения (5.(5 11) может быть получено с помощью таблиц Градштейна и Рыжика [61], где имеется интегральное соотношение
ОО
(р,)е—to2/2)//n (^)= _ l _ j eixve-{x*/2)Ип (х)(1х. (5.6.12)
Функции Нп (х) называются полиномами Эрмита. Они определяются соотношением
П п ( х ) = { - 1)п в“* |
d n |
е- Л.-2 |
(5.6.13) |
|
d x n |
|
|
Линзовые волноводы |
277 |
Первые пять полиномов Эрмита имеют вид |
|
#«>(*) = 1, |
|
111{х) = 2х, |
|
Н2(х) = 4я2- 2 , |
(5.6.14) |
Л 3(х) = 8х3- 1 2 х , |
|
II,к(ж) = 16а;4- 48ж3+ |
12. |
Сравнение выражений (5.6.11) и (5.6.12) показывает, что решением уравнения (5.6.7) является функция
in{x) = АпНп |
х) |
для 7г = 0, 1, 2, ... , оо |
с собственными значениями |
(5.6.15) |
|
|
||
|
Xn= i”. |
(5.6.16) |
Функции (5.6.15) называются полиномами Эрмнта — Гаус са. Они образуют полную систему функций х). Их удобно нормировать таким образом, чтобы
00 |
|
j fi(x)dx = 1. |
(5.6.17) |
—оо |
|
С помощью таблиц Градштейна и Рыжика [61] находим, что
A -- |
1 |
' |
(5.6.18) |
" |
(2Юг!)1/2(Я/)1/4 |
|
Особое значение имеет мода низшего порядка (п =0) Для нее
.-(nxV2kf)
(5.6.19)
М х ) ~ («>•"■ '
Нормальные моды ортогональны друг к другу и при пормировке (5.6.17) образуют ортоиормированиуго систему функций, т. е.
оо |
|
^ /п (#) fm (^0 dx^=- Ьпш. |
(5.6.20) |
— со |
|
1 В классе квадратичпо-пнтегрируемых функций. — Прим, ред,