ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 229
Скачиваний: 0
278 |
Глава 5 |
Их значения быстро уменьшаются с ростом х по экспонен циальному закону. Полуширина интервала существенных значений экспоненциальной функции определяется пара метром
(5.6.21)
При х = w' поле, описываемое выражением (5.6.19), уменьшается в е раз по сравнению с его максимальным
--з
Фи г. 5.6.2. Графическое представление первых трех функций
Эрмита — Гаусса.
значением при х — 0. Параметр и/ пе определяет наимень шую ширину пучка. Он задает ширину пучка на линзах. Пучок наиболее плотно концентрируется вокруг оси посередине между линзами. Мы вернемся к обсуждению формы распределения поля между линзами в главе, посвя щенной гауссовым пучкам.
На фиг. 5.6.2 показаны три первые функции /п. Моды В линзовом волноводе с очень большими апертурами полу-
Лнизовые волноводы |
279 |
чаются из формул (5.6.8), (5.6.15) и (5.6.18):
Собственные значения вытекают из (5.6.16)
Х и т — % п%т — I |
(5.6.23) |
Важно иметь в виду, что полученное решение относится к случаю конфокального линзового волновода. Общее решение представлено в разд. 6.3 формулой (6.3.20).
После нахождения решения задачи о модах в конфо кальных линзовых волноводах с очень большими аперту рами линз рассмотрим случай, когда апертуры невелики и имеют прямоугольную форму. Интегральное уравне ние (5.6.9) может быть решено с помощью вытянутых сфе роидальных функций, которые подробно исследованы
вработах Слепяна и Поллака [62], Ландау и Поллака [63],
атакже Слепяна и Зониенблика [41] (см. также разд. 4.6). Эти авторы исследовали функции, являющиеся решениями интегрального уравнения (5.6.9). Для того что быувидеть эквивалентность этого интегрального уравнения урав нению (29) на стр. 58 в статье [62], необходимо рас смотреть следующие соотношения между использованными там и здесь обозначениями:
Фп (с, t) = /п (я'), co?72Q = х, f = х',
Т = 2а, с = я a?/Xf.
Собственное значение х„ связано с параметром Хп, исполь зуемым в [62], соотношением
xn = i" ]/ Хп. |
(5.6.24) |
Не следует путать параметр Хп с длиной волны X. Пара метр Хп подробно табулирован в [41]. Условие нормиров ки (5.6.17) сохраняется. Однако дополнительно к условию ортогональности (5.6.20) существует еще одно условие ортогональности модовых функций /„ на отрезке от —а
280 Глава 5
до + а [ср. (4.6.12) в разд. 4.6]
а |
|
^ f n(x)f m(x)dx = Xn8nm. |
(5.6.25) |
—а
Двойная ортогональность на бесконечности и на конечном отрезке является наиболее замечательным свойством мод конфокального линзового волновода с квадратными апер турами.
Мощность, проходящая через апертуру линзы, про порциональна величине
а |
а |
|
Р = j dx |
j dij | i|)nm (x, !/)|2. |
(5.6.26) |
—a - a
Поле первой опорной плоскости (фиг. 5.6.1) преобразуется следующим образом:
фпт ^лтфптп- |
(5.6.27) |
Это соотношение следует из интегрального уравнения (5.6.7). Мощность Р 2, проходящая через опорную плос кость 2, связана с мощностью Р и проходящей через опор ную плоскость 1, соотношением
P2 = |*nm|2Pi. |
(5.6.28) |
С помощью уравнений (5.6.23) и (5.6.24) можно найти связь между Pi и Р г через параметр
Р 2 = XnXmPi- |
(5.6.29) |
Параметр Хп описывает потери в липзовом волноводе. Свойства Хп уже подробно исследованы в разд. 4.6, где было показано, что параметр Хп для заданных значений
[ср. (4.6.15)]
|
с= ге-ц- |
|
(5.6.30) |
|
близок к |
единице для п < |
2с/п и |
быстро |
уменьшается |
с ростом |
п при п > 2с/я. |
Поэтому |
потерн |
нормальных |
мод малы при малых номерах, по весьма быстро растут для мод, номера которых больше 2с1л. На фиг. 5.6.3 доказана зависимость Хп от п для с = 10, полученная
Линзовые волноводы |
281 |
из таблиц [41]. Зависимость величины XQ для моды низшего порядка от параметра с показана на фиг. 5.6.4.
Ф и г. 5.6.3. Графическое представление зависимости собственных значении Хп от порядка моды для с = 10. На осп п показана точка
2с/л.
Ф п г. 5.6.А. Собственное зпачснне моды низшего порядка как функции с.
Потери энергии мод обусловлены дифракцией. Поле рас пространяется, переходя от одпой линзы к другой. Неко торая часть его перехватывается апертурой следующей
282 Глава 5
линзы, и таким образом поддерживается поток электро магнитной энергии вдоль линзового волновода. Если апер туры линз достаточно велики, то потери мощности из-за дифракции очень малы. Из фиг. 5.6.4 видно, что дифрак ционные потери для моды низшего порядка становятся малыми при с > 4.
Связь между интегральным уравнением (5.6.9) и урав нением (4.6.13) может быть установлена следующим обра зом. Из уравнения (5.6.9) находим / (.т) и подставляем в подынтегральное выражение того же самого уравнения. Таким образом, получаем
аа
у:-п!п (х') = ~ [ /„(;х") j e w w *+*r>dxdx\ (5.6.31)
—о —а
В результате интегрирования по х имеем
(5.0.32)
- а
Функции /„ (х) обладают следующим свойством:
in (-* ) = (—1)7п (я). |
(5.6.33) |
Это означает, что они являются четными или нечетными
взависимости от того, четное или нечетное п. В справед ливости этого свойства можно убедиться, если вспомнить, что при а —*■ оо данная волновая функция при конечных значениях а должна непрерывно стремиться к значению, определяемому выражением (5.6.15). Свойство четности или нечетности сохраняется в процессе предельного пере хода, т. е. функции (5.6.15) обладают свойством (5.6.33), что можно увидеть из (5.6.13) или (5.6.14). Используя уравнение (5.6.33), можно выражение (5.6.32) переписать
вследующем виде:
a gjjj __ ___ д;7^
( - 1 ) " * $ ы * ') = J |
n\ xl 'L x l |
fn{x")dx". |
(5.6.34) |
— а
Так как кп и Хп связапы соотношением (5.6.24), то функ ции / п действительно удовлетворяют уравнению (4.6.13),
Линзовые волноводы |
283 |
что подтверждает тем самым их идентичность функциям фп из разд. 4.6.
Таким образом, мы достаточно полно описали моды конфокального линзового волновода с квадратными апер турами. Моды конфокального линзового волновода с круг лыми апертурами выражаются через гиперсфероидальные
Ф п г. 5.6.5. Сравнение потерь для первых трех мод линзового волновода с круглыми апертурами с потерями для моды низшего порядка волновода с квадратной апертурой [48].
функции [120]. Потери для такого волновода рассчитаны Фоксом и Ли [48]. Их расчеты выполнялись применитель но к лазерным резонаторам. Однако в разд. 5.3 мы виде ли, что существует тесная связь между лазерными резо наторами и линзовыми волноводами. В обоих случаях дифракционные потери идентичны. В разд. 6.6 мы снова вернемся к аналогии между л и н з о в ы м и волноводами и лазеоными резонаторами. На фиг. 5.6.5 показаны поте-
284 |
Глава 5 |
ри для первых трех мод конфокального линзового волно вода с круглыми апертурами. Пунктирной линией пред ставлены потери мощности для моды низшего порядка линзового волновода с квадратной апертурой. При сравнении необходимо иметь в виду, что величина а, вхо дящая в параметр с, является радиусом апертуры для случая линзового волновода с круглыми апертурами, а в случае квадратных апертур а есть полуширина сторо ны квадрата [см. формулу (5.6.30)]. Поэтому для тех же значений с площадь линзы с квадратной апертурой не сколько больше. Дифракционные потери для линз с квад ратными апертурами будут соответственно меньше.
5. 7. Т Р А Е К Т О Р И Я В О Л Н Ы В К О Н Ф О К А Л Ь Н О М
ЛИ Н З О В О М В О Л Н О В О Д Е
Впредыдущем разделе мы нашли нормальные моды линзового волновода. Однако еще не было показано, что результаты лучевого рассмотренпя могут быть получены из волновой теории. Установив, что траектории геометрооптпческпх лучей соответствуют траекториям распростра нения световых волн в линзовом волноводе, можно с боль шим основанием использовать методы лучевой оптнки. Несомненно, что при изучении линзовых волноводов методы лучевой оптики являются существенно более простыми, чем методы волновой оптики, поэтому желатель но там, где это возможно, использовать методы лучевой оптики.
Рассмотрим путь светового пучка в линзовом волно воде с бесконечными апертурами, полагая, что поле про ходит через линзы на некотором расстоянии относительно оси. Начнем с предположения, что поле на первой опор ной плоскости (фиг. 5.6.1) описывается выражением
ф1= |
^ 1(а:)|Г1(а:), |
(5.7.1) |
где |
|
|
F, (х) = |
— ! _ е-(я/г«)(*+б)* |
(5.7.2) |
a
*, Ы = 1 г ^ е"(я/2Ш'8- |
(5-7,3) |