ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 224
Скачиваний: 0
Л иивовые вол поводы |
265 |
В наиболее интересном случае, когда Ra быстро умень шается с ростом н, в частности, когда п настолько велпко, что значениями ст, для которых R a дает заметный вклад, можно пренебречь по сравнению с п, имеем приближенное выражение
со |
|
°"~272sfn2 0 2 ^0 cos 00. |
(5.5.36) |
Пределы суммирования произвольны, пока они велики, потому что R a близко к нулю при больших значениях о.
При отсутствии корреляции имеем
Ra = s*50o. |
(5.5.37) |
В таком предельном случае выражение (5.5.35) сводится к (5.5.6), а (5.5.36) - к (5.5.7).
Истинная форма коэффициента корреляции зависит от конструктивных особенностей волновода. Чтобы полу чить конкретные выводы из нашей теории, необходимо использовать математические модели. В частности, наибо лее простой коэффициент корреляции равен
770 = s2e-W n. |
(5.5.38) |
Множитель s определяет среднеквадратичное значение сме щения линз. Множитель R, стоящий в показателе экспо ненты, имеет физический смысл интервала корреляции. Величина R определяет экспоненциальное уменьшение Ra с ростом значений | а |. Если коэффициент корреляции уменьшается быстро с ростом ст, то интервал корреляции между линзами лгал. Если спад функции происходит мед ленно, мы говорим о большом интервале корреляции. Можно определить велпчину
D = RL |
(5.5.39) |
как корреляционную длину. Коэффициент |
корреляции, |
а также величины s и R описывают статистику разброса линз. Подстановка выражения (5.5.38) в (5.5.36) дает следующее значение среднеквадратичного смещения луча:
|
|
|
1/2 |
О |
L У » |
s |
(5.5.40) |
|
|
1 /2 / sin 0 |
cli-g- — cos 0 |
|
26G |
Гласа 5 |
|
Для |
конфокального расположения линз |
(cos 9 = 0 , |
sin 0 |
= 1, L = 2/) это выражение упрощается к виду |
|
|
on = V2iis (lh i - ) 1/2- |
(5-5.41) |
В случае, когда интервал корреляции обращается в нуль (В = 0), (5.5.41) превращается в (5.5.9). Видно, что увели чение интервала корреляции улучшает характеристики
линзового волновода за счет уменьшения среднеквадра тичного отклонения луча. В пределе при В —у оо получаем идеальный линзовый волновод с пп = 0. Степень улучше ния при увеличении В до полностью коррелированных смещений линз показана на фиг. 5.5.4. Для больших зна
чений В кривая спадает как 1/УВ. В конфокальном линзовом волноводе, статистика которого описывается коэффициентом корреляции (5.5.38), отклонение пучка в 5 раз меньше, чем в конфокальном волноводе с полностью некоррелированными линзами (для одинаковых значений s), если корреляция между линзовыми смещениями охва-
Липаовые волноводы |
2 0 7 |
тыпает интервал примерно в 25 линз. Проведенное рас смотрение выявило некоторые общие свойства коррели рованных смещений литтз. Истинные детали процесса, связанные с отклонением луча, вызванным случайным смещением линз, зависят от различных обстоятельств в каждом отдельном случае. Получение соответствующего коэффициента корреляции для реального линзового вол новода представляет собой трудную задачу.
Важной чертой волновода со случайным смещением линз является рост отклонения пучка пропорционально корню квадратному из числа линз. Если линзы оказыва ются смещенными систематически в соответствии с сину соидальной функцией, то смещение пучка может быть гораздо более сильным и расти прямо пропорционально числу линз [52]. Чтобы убедиться в этом, предположим, что линзы располагаются по следующему закону:
5'v=H sinv\|b
Подстановка этого выражения в (5.4.15) при приводит к соотношению
|
/ |
г|)—0 |
ч|> 4- 0 \ . , |
|
ф + 0 |
|
AL |
cos f п — 2----1--Ч^— ) sin (п — 2) |
1 2' |
||||
|
|
|
ф+ 0 |
|
|
|
Р» = 2/ sin 0 |
|
|
|
|
|
|
/ |
ф--- 0 |
, |
тр —0 |
\ . , 0ч |
-ф— 0 |
|
cos |
- Ц ----- '• |
— |
j sin (п — 2) |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
ф — 0
(5.5.42)
= г2 = 0
(5.5.43)
Пока ф отличается от 0, отклонение пучка рп не слиш ком существенно. Однако, если ф = 0, ситуация изменя ется радикально. В этом случае выражение (5.5.43) пере ходит в
(п — 2) |
AL |
cos 0 sin (п — 2) 0 |
] . (5.5.44) |
2/ sin |
0 |
(n — 2) sin 0 |
|
Амплитуда колебания луча растет линейно с числом линз п. Это показывает, что при синусоидальном смещении линз происходит более сильное отклонение пучка от оси, чем при случайном смещении линз. Так, например, для случая конфокального волновода имеем
зх |
(5.5.45) |
р „= — (п — 2) A cos n~Y . |
208 |
Глава 5 |
Используя те |
же числа, которые фигурировали ранее |
в этой главе при обсуждении случайного смещепия линз, находим, что если при п = 10 000 ограничить смещение луча ио более чем 3 мм, то можно допустить максимальное
смещение линз только на |
|
А ^ 3-10-4 мм = 0,3 мкм. |
(5.5.46) |
Это действительно очень маленькая величина, равная примерно половине длины волны красного света.
Смещение линз по синусоидальному закону с таким же периодом, как период структуры (ф = 0), не всегда реализуется. Необходимо помнить, однако, что произ вольное смещение линз всегда может быть выражено в виде ряда Фурье н что фурьс-компопспта с периодом ф = 0 обычно отлична от нуля. Ограничение (5.5.46) может быть, следовательно, интерпретировано как ограничение па фурье-амплитуду критнческой фурье-компоненты.
Последнее замечание может вызвать у читателя недо умение, поскольку оно вроде бы противоречит предыду щему. Мы нашли, что случайное смещение линз приводит к росту амплитуды раскачки луча пропорционально корню квадратному из л. Сейчас же мы как будто бы утверждаем, что луч растет пропорционально п за счет синусоидальной фурье-компоненты смещения линз. Кажу щееся несоответствие исчезнет, если исследовать зависи мость амплитуд фурьс-компоиент случайных функций от их длины. Можно показать, что амплитуды фурьекомпопент случайных функций уменьшаются обратно про
порционально корню квадратному |
из |
длины функций |
(в данном случае числа линз), так |
что |
зависимость р„ |
(или среднеквадратичной величины) от корпя квадрат ного из п также вытекает из фурье-аиализа.
В этом разделе были выяснены общие свойства слу чайных процессов. Мы вновь встретимся с ними, когда будем обсуждать потери на рассеяние в диэлектрических волноводах.
Было показано, что световые лучи внутри линзового волновода распространяются по колеблющимся траек ториям. Всякое желательное или нежелательное отклоне ние оси волновода от идеальной прямолинейности вынуж дает световой луч осциллировать. Этот процесс напоминает
Линзовые волноводы |
269 |
движение гармонического осциллятора под действием внешних сил. Колебания светового луча не опасны, когда их амплитуда остается значительно меньше радиуса линзы. Но если амплитуда колебаний возрастает так, что луч может выходить за линзу, то это приводит к потерям. Было бы весьма желательно изобрести такой линзовый волновод, который бы сам гасил колебания луча по мере распространения его по волноводу. Колебание луча в та ком волноводе соответствовало бы затухающему гармо ническому осциллятору.
Нетрудно построить математическую модель (к сожа лению, неверную, но правдоподобную) линзового волно вода, в котором лучи совершали бы затухающие колеба ния [24]. Используя тонкие линзы, обладающие формой, показанной на фиг. 4.5.11, которые описываются форму лой (4.2.4), можно получить колеблющиеся траектории лучей с затухающими амплитудами. Однако рассмотрение теоремы Лиувилля в разд. 3.7 показало, что формулой такой линзы (4.2.4) можно пользоваться только тогда, когда световой луч проходит через тонкую линзу прп нормальном или близком к нему падении. Поэтому вместо формулы (4.2.4) нужно использовать (4.2.3). Лучи, полу ченные с помощью точной формулы тонкой линзы, уже не имеют колеблющихся траекторий с затухающими амп литудами, а ведут себя подобно лучам, рассмотренным в разд. 5.3.
Питатель может подумать, что трудности конструиро вания линзового волновода с затухающими колебаниями луча связаны с отсутствием изобретательности. Теорема Лиувилля утверждает, что всякие попытки изобрести пассивный волновод с подавлением колебаний луча бес полезны. Предположим, что мы имеем устройство, подав ляющее раскачку лучей. Точки в фазовом пространстве, соответствующие связке лучей, заполняют определенный объем. Напомним, что координатами фазового простран ства являются положение и наклон лучей. Если «подави тель» колебаний луча работает, то будет иметь место тен денция к уменьшению амплитуды колебаний всех лучей. Это должно привести к сокращению объема в фазовом пространстве, что противоречит теореме Лиувилля, т. е. «подавитель» колебаний луча действует как ослабитель
270 |
1'мкш 5 |
лучевых осцилляций и, следовательно, невозможен. Таким образом, теорема Лиувилля позволяет строить лишь устройства, у которых наклон лучей соответствует луче вой амплитуде. Такое устройство может быть реализова но, например, путем постепенного увеличения оптической силы линз вдоль оси волновода и уменьшения расстояния между линзами таким образом, чтобы их фокусы все вре мя оставались совпадающими. Однако уменьшение ампли туды лучей за счет изменения их наклона оказывается малым, поскольку невозможно неограниченно увеличи вать оптическую силу лпиз. С некоторого момента необ ходимо вернуться к линзам с малой оптической силой. Но как только луч выйдет из волновода, линзы которого имеют большую оптическую силу, амплитуда его увели чится из-за уменьшения наклона и в результате не получится никакого выигрыша. Аналога затухающего гармонического осциллятора для световых лучей не суще ствует. Можно уменьшить амплитуду лучей за счет потерь мощности, передаваемой пучком. Однако подавление лучевых колебаний за счет потерь мощпостн пучка, по-ви димому, но очень выгодно х).
Единственное практическое решение проблемы осцил лирующих лучей возможно с помощью активного устрой ства, изменяющего направление луча [56]. Такое устрой ство должно быть чувствительно к положению отдельного луча п заставлять линзы или призмы изменять свое поло жение таким образом, чтобы световой пучок двигался обратно к оси. Оно не нарушает теорему Лиувилля, так как/не действует на связку лучей с целью уменьшения ее объема в фазовом пространстве, а влияет на каждый отдельный луч, фазовый пространственный объем которого равняется пулю.
5.6.НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ЛИНЗОВОГО ВОЛНОВОДА
Впредыдущих разделах мы видели, что линзовые вол новоды обладают способностью направлять световые лучи. Однако известно, что лучевая оптика дает лишь прибли-
*) Демпфирование раскачки пучка с помощью диафрагм рас смотрено в работе [37*].— Прим. ред.
JJ низовые иилпшюНы |
271 |
женпоо описание распространения света, поэтому необ ходимо подтвердить справедливость полученных ранее результатов более строго. Мы увидим, что анализ с пози ций волновой оптики эти результаты подтверждает. Дополнительно к информации о траекториях лучей мы получим также сведения, относящиеся к распределению поля и потерям световых пучков. Рассмотрение будет относиться к случаю волновода с правильно установлен ными линзами. Исследование случая хаотических смеще ний линз методами волновой оптики является гораздо более сложным. Результаты, полученные с помощью лучевой оптики, показали важность правильной расста новки линз.
Исследование линзового волновода с позиций волновой оптики базируется на скалярной волновой теории. Такое приближение является достаточным для выявления наи более существенных явлений. Так, с его помощью можно показать, что в линзовом волноводе могут распростра няться нормальные моды, а распределения полей более общего вида могут быть представлены как суперпозиции нормальных мод.
Для определения нормальных мод в линзовом волно воде воспользуемся тем обстоятельством, что распределе ние поля на каждой линзе повторяется с точностью до фазового множителя. Такое определение нормальной моды отличается от того, которое применяется в теории цилинд рических металлических волноводов [2, 58]. В этой тео рии типы волн имеют одно и то же распределение поля в любом сечеипи волновода (с точностью до фазового множителя). Такое различие можно объяснить следую щим образом. Цилиндрический металлический волно вод является структурой, инвариантной по отношению к произвольному смещению вдоль осп. При смещении металлического волновода на произвольную величину по оси 2 мы не обнаружим какого-либо изменения струк туры, т. е. система инвариантна относительно произволь ных смещений в направлении оси 2. Линзовый же волно вод имеет существенно отличные свойства. Произвольное смещение волновода вдоль его оси изменяет внешний вид волновода относительно неподвижного наблюдателя. Лишь при смещении волновода па величины, кратные расстоя-