Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Линзы предполагались хаотически смещенными по закону случайных чисел. В каждом эксперименте начальное положение луча находилось на осп волновода и далее он проходил через линзы. Если отклонение луча прини­ мало значение, большее чем радиус линзы, то далее этот

а

Ф и г . 5.5.1. Интегральная вероятность положения луча IV,, для

различных значений отношения я/ст„ (а — радиус линзы, ап — среднеквадратичное отклонение луча) [53].

луч не рассматривался. В каждом случае бралось новое распределение линз. Таким образом, оказалось возможным вычислить вероятность нахождения луча на 100-й линзе с радиусом, меньшим заданного радиуса г. Эта вероят­ ность показана на фиг. 5.5.1. Па этой фигуре изображено несколько кривых, соответствующих разным значениям а/ап. Величина о„, согласно формуле (5.5.9), указывает степень разброса положений линз. Горизонтальная ось графика нормирована относительно стп. Пунктирная кри­ вая соответствует а/оп = 1,77, но она была получена при прохождении луча через 1000 линз вместо 100. Две кривые, соответствующие одинаковым значениям а!-т„, достаточно близки. Это говорит о том, что нормированные кривые вероятности не очень сильно зависят от числа линз.

Из фиг. 5.5.1 видно, что вероятность Wn существенно зависит от отношения радиуса линзы к средиеквадратич-

2(50 Глава 5

Это интегральное уравнение может быть использовано для определения функции Vn (Л) по известной функции И’п (г). Результат численного решения этого интеграль­ ного уравнения показан на фпг. 5.5.2. Представленные здесь кривые получены с использованием фупкцин Wn (?•), графики которой изображены па фиг. 5.5.1 [53].

а

Ф н г. 5.5.2. Интегральная вероятность амплитуды колебания пуч­ ка для различных значения отношения а/оп [53].

Видно, что Ттп (Л) намного меньше зависит от отноше­ ния а/оп, чем П'п. Действительно, для вероятностей Vn (Л), больших чем 0,8 (или 80%), функция Vn (опХ) очень мало отличается от соответствующей функции для неограниченно большой линзы. Поэтому можно исполь­ зовать функцию, которая является результатом подста­ новки выражения (5.5.12) в (5.5.21):

УП(Л) = 1 — g—-42/2чд дЛя а/ап->-оо. (5.5.28)

Таким образом, строго доказано положение, что интег­ ральная вероятность Vn (Л) амплитуды луча менее чув­ ствительна к наличию линзовых апертур, чем вероят­ ность Wn (г) положения луча.

При проектировании линзовых волноводов для связи необходимо выполнить требование, чтобы световой пучок достигал конца волновода с большой вероятностью. С точки зрения волновой оптики ire реально предполагать, что весь пучок теряется, если лучи пучка частично выхо­ дят за линзы. Распределение поля в лпнзовом волноводе имеет некоторую ширину, так что часть поля остается внутри волновода, даже если световой луч геометрической оптики попадает па край лппзы. Однако можно ожидать больших потерь при передаче световой волны, если луче­ вая оптика предсказывает, что световой луч не достигнет конца линзового волновода.

Рассмотрим требования к линзовым волноводам, вы­ полнение которых обеспечивает прохождение светового луча с 99%-ной вероятностью. Возьмем в качестве при­ мера опять конфокальный линзовый волповод (L = 2/). Требование достижения лучом последней линзы волновода с амплитудой А, меньшей чем а, при 99%-ной вероятно­ сти ведет к условию А — а — Зоп. При А!ап = 3, соглас­ но формуле (5.5.28), Vn (И) равняется 0,989. Величина ап связана с среднеквадратичным смещением линз s посред­ ством формулы (5.5.9). Отношение s/a, таким образом, однозначно определено требованием пропускания луча с 99%-ной вероятностью. Для рассматриваемого конфо­ кального линзового волновода получаем следующие зна­ чения допустимого отношения среднеквадратичной вели­ чины смещения линз к их радиусу:

До сих пор предполагалось, что смещения линз некоррелированы друг с другом. Это допущение является слишком строгим для многих практических ситуаций.

чайные отклонения от прямой расположения ближай­ ших линз не являются произвольными. Из-за жестко­

сти трубы смещения соседних линз коррелировали. Если одна линза отклоняется в определенном направлении от своего поминального положения, то соседние линзы будут с большой вероятностью смещаться в том же направ­ лении из-за жесткости трубы. На эти коррелированные отклонения от прямой случайным образом накладываются некоррелированные отклонения от номинального поло­ жения, обусловленные установкой каждой отдельной лин­ зы внутри трубы. Такие более или менее коррелированные отклонения от идеальной установки линз можно статисти­ чески описать с помощью коэффициента корреляции.

Рассмотрим среднее по ансамблю произведение смеще­ ний двух линз

При отсутствии корреляции 7?V,Lобращается в нуль при v ф р. Если, однако, существует зависимость между отклонениями линзы v и линзы р от их номинального

стремится к нулю при v — и —>- оо, то можно заключить, что имеют место систематические смещения линз. Для истинно случайных процессов следует ожидать, что Oripuv — u —>- оо. Наконец, естественно допустить, что коэффициент корреляции зависит от р -- v — р. Про­

цессы, для которых такое предположение справедливо, называются стационарными случайными процессами [54, 55]. Для стационарного случайного процесса можно запи­ сать

от самих значений.

После такого отступления, касающегося коэффициента корреляции, можно рассчитать вариаис положения луча для случая, когда между смещениями линз имеет место корреляция [52]. Вернемся к уравнению (5.5.3) и предста­

вим его с помощью коэффициента корреляции в следую­ щем виде:

в сумму косинусов. Введем новые индексы суммиро­ вания а = v — ц и р = v. Область суммирования по

Ф и г. 5.5.3. Диаграмма, показывающая переход от старых индек­ сов суммирования v, р к новым сг, р.

индексам v и р представляет собой квадрат, который изображен па фиг. 5.5.3 пунктирной линией. Следует помнить, что все индексы суммирования могут принимать только положительные значения. Этот факт не отражен на рисунке. Сплошные линии, обозначенные через а и р, ограничивают области в пространстве v, д, где и пли р принимают постоянные значения. Из большого числа параллельных линий, па которых а и р могут принимать целые значения, изображена лишь одна пара. Чертеж позволяет определить область изменения новых индек­ сов суммирования. Переход к этим новым индексам