ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 233
Скачиваний: 0
300 |
Глава G |
один из них. Интеграл по х имеет вид
Тя = Г e - |
^ |
,DS)e-l№/2z)(*' |
x)2dTz=: [ / „ , (jgo'VjL . у |
||
_*L |
|
|
|
|
\ / ‘2 z -\- ik w f} |
v. „ |
! |
. 'Них'* |
О |
Г |
{кщх'уь '1 |
x “ I’ l - ‘ s q q s y j “ P[ - |
ы .и ,г)г J • |
||||
0 ,
о..г.з)
Этот интеграл легко берется с помощью таблиц, если пред ставить экспоненту в виде —(ах -|- Ь)* -[- с и ввести новую переменную интегрирования и = ах + Ъ,
Полное поле на произвольном расстоянии ъ может быть записано в виде
|
Zinwfi |
, |
-tliz _ |
- |
. |
2Ьг'2 |
-1 |
|
■ф<у. у': 2): |
M2s-H/(wjj) А е |
ехр |
- |
4 |
4na+ (*u»S)B J |
' |
||
|
|
X ехр [~ - |
|
(/гш0г')2 "I |
|
(6.2.4) |
||
|
|
|
4*а+ (Аш8)2 J * |
|
||||
|
|
|
|
'3. |
|
|
(6.2.5) |
|
Первый экспоненциальный множитель характеризует фазу плоской волпьт, второй — кривизну фазового фронта, а последний »гпожитель определяет распределение интен сивности в поперечном сечении.
Введем параметр ширины пучка для произвольного z как расстояние (к поперечном направлении), на котором амплитуда поля уменьшается в е раз по сравнению с макси мальным значением. Квадрат половины ширины пучка
определяется |
следующим образом: |
|
||
Подставляя |
к — 2яД, |
можно |
записать это |
выражение |
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
ша(г)= |
и;;[1 + |
( - ^ - ) 2] . |
(G.2.7) |
Напомним, что пучок в точке ъ = 0 имеет плоский фазо вый фронт и половину ширины, равную w0. От этой точки он распространяется в направлении роста z, увеличиваясь по ширине. Если взять дифракционный интеграл для определения поля влево от точки ъ = 0, то результат будет тот же самый. Равенство (6.2.7) справедливо как для
Гауссовы |
пучки |
301 |
положительных, так и для |
отрицательных |
значений z |
п характеризует ширину пучка во всем пространстве. Видно, что точка z — 0, в которой гауссов пучок имеет плоский фронт, является также точкой, в которой он имеет наименьшее значение w0. Минимум полуширины пучка w0 может быть любым. Однако расширение поля за предела ми наиболее узкой его области зависит от минимальной ши рины пучка.Можно определить половину угла расхождения
пучка в точках, удаленных от плоскости z = |
0, с помощью |
||
выражения |
|
|
|
0 = l i m - ^ - . |
(6.2.8) |
||
Половина угла расхождения определяется формулой |
|||
0 |
X |
(6.2.9) |
|
ЛШд |
|||
|
|
||
Эта формула для полуширины гауссова светового пучка очень сходна с соответствующим выражением (2.4.11) для расширения пучка, получаемого от равномерно освещен ной круглой апертуры. Однако гауссов пучок расширяется несколько медленнее, чем пучок, получаемый в случае равномерно освещенной апертуры.
Гауссов пучок в дайной точке пространства не опреде ляется полностью только шириной. Чтобы описать пучок полностью, необходимо знать второй параметр — радиус кривизны его волнового фронта. Мы получим его из выра жения кривизны фазового фронта (6.2.4). Радиус кривизны поля может быть определен с помощью фиг. 6.2.1.
Фаза волны постоянна на сферической поверхности. Фазовый сдвиг между криволинейной поверхностью и пло скостью, касающейся этой поверхности в точке г' = 0, определяется уравнением
kd = |
2kzr'2 |
( 6. 2. 10) |
4га + |
Расстояние d показано па фиг. 6.2.1. Правая часть урав нения определяется из выражения (6.2.4). В соответствии с фиг. 6.2.1 для параксиальной области имеем соотноше ние
r '3- l- i?2= (/?-(-cZ)2 |
(0.2.11) |
302 |
Глава 6 |
или с некоторым приближением
(6.2.12)
Используя формулу (6.2.10), получаем выражение для радиуса кривизны гауссова пучка
(6.2.13)
Ширина пучка и радиус кривизны фазового фронта полностью определяют гауссов пучок в данной точно на оси. Выражение (6.2.13) справедливо как для поло жительных, так и для отрицательных значений z. Измене ние знака R (z), которое имеет место при перемене знака
d
Ф и г. 6.2.1. Сравнение фронтов сферической и плоской воли. Фазовый сдвиг равен !;d.
z, означает изменение кривизны фазового фронта на обрат ное, так как при этом мы проходим область сужения пучка.
Несмотря па то что функции (6.2.7) и (6.2.13) непрерыв ны по z, нет оснований считать, что они точно описывают гауссов пучок в области z = 0, так как френелевское приближение дифракционного интеграла несправедливо для поля в ближней зоне, т. е. вблизи z = 0. Однако уди вительно то, что обе формулы справедливы и в точке ъ — 0. Ширина пучка становится равной w (0) = ш0, а радиус кривизны принимает значение R (0) = оо. Это означает, что эти формулы справедливы для всех значений z, несмот ря на ограничения, накладываемые на дифракционный интеграл, из которого они были получены. В следующем
Гауссовы пучки |
303 |
разделе будет показано, что (6.2.4) является приближен ным решением волнового уравнения. На общее решение
волнового уравнения |
нс распространяется |
ограничение, |
связанное с ближним |
полем, которое накладывается на |
|
дифракционный интеграл, справедливый во |
френелевском |
|
приближении, поэтому можпо быть уверспным, что вы ражения (6.2.4), (6.2.7) и (6.2.13) справедливы для всех значений z.
Решение (6.2.4) можпо записать в более простой форме с помощью выражений для ширины пучка и радиуса кри визны фазовых фронтов. Преобразуем комплексный мно
житель |
перед экспоненциальной |
функцией: |
|
||
, |
„ ■= |
-----Ц - |
= |
e* arete№"§>. |
(6.2.14) |
X (2z-\- ihwfi) |
. 2z |
w |
(z) |
' |
|
’ ~ 1~кЩ
Используя выражения (6.2.6), (6.2.13) и (6.2.14), можно записать (6.2.4) в следующем виде:
Ф (х , ;/, z) |
w0 |
А exp | |
— i |~kz + |
nr* |
|
|
|
w(z) |
“ |
l |
" L'"" 1 Mi(z) |
|
|
|
— arclg |
|
|
J } е-НЛФ)]2. |
(6.2.15) |
|
Это выражение не только проще по виду, по оно также непосредственно дает значение фазового сдвига поля в направлении оси z. В сужении (т. е. в наиболее узком месте пучка) в точке z = 0 фаза поля такая же, как и у плоской волны. По мере увеличения z фаза волны сдви
гается относительно фазы плоской |
волны и закон ее изме |
нения определяется функцией 1/7? (z) и арктангенсом. |
|
Однако в дальней области при z |
оо кривизна фронта |
поля 1/7? (z) обращается в нуль, а значение функции arctg приближается к величине; п/2 и фаза поля снова при ближается к фазе плоской волны. Следуя работе Когельннка [67], можпо ввести комплексные параметры пучка
j _ _ |
J___ . |
X |
(6.2.16) |
|
q |
R 1 |
яш2 (z) |
||
|
Р =
304 |
Глава 6 |
С учетом этих обозначений волновое поле можно запи сать в следующем виде:
гр(лг, у, z) = A exp [ - f (/J+ - ^ - r a) ] c-«*. (6.2.IS)
Чтобы получить параметр q в несколько иной форме, которая будет более удобной при последующем рассмотре вших, разделим выражение (6.2.7) па (6.2.13):
R (z) |
\ лш0 / |
(6.2.19) |
|
Из (6.2.16) получим'
(6.2.20)
С учетом формул (6.2.13) и (6.2.19) будем иметь оконча тельно
Qf = z+ i nwl |
(6. 2. 21) |
Начало отсчета z = 0 находится в наиболее узкой части пучка. Таким образом, мы нашли весьма простое выра жение для параметра q.
6.3. ДВОЙСТВЕННАЯ ПРИРОДА ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ
Попытаемся вывести закон распространения гауссова пучка в свободном пространстве с помощью волнового уравнения. В качестве исходного возьмем уравнение вида (2.2.2):
V4|,-f кЦ = 0. |
(6.3.1) |
|
Решение будем искать |
в форме |
|
а|) = |
и (х, у, z) e~ihz, |
(6.3.2) |
т. е. нас интересуют решения, слабо отличающиеся от плоской волны. Быстрое изменение функции по z отра жено в (6.3.2) экспоненциальным множителем. При этом можно считать, что функция и в зависимости от z меняется медленно по сравнению с быстрым изменением экспонен циального множителя. Применяя оператор V2 к функции
Гауссовы пучки |
305 |
(6.3.2), получаем
Наше предположение относительно зависимости функции и от z дает возможность пренебречь второй производной функции и по z, сохранив первую производную и член к2и. Таким образом, получаем уравнение в частных произ водных для и из приведенного волнового уравнения
[68]
= |
(6.3.4) |
Это уравнение для параксиальной области можно получить также путем подстановки выражения (6.3.2) в волновое уравнение (3.6.9). Однако из-за другого выбора знаков в (3.5.13) функция Гамильтона (3.5.17) описывает волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z, поэтому в формулах (6.3.2) и (6.3.4) нужно взять к с про тивоположным знаком.
Легко показать, что гауссов пучок, который был получен в предыдущем разделе, является решением диф ференциального уравнения в частных производных или, с учетом приближений по этапам от (6.3.1) до (6.3.4), решением скалярного волнового уравнения. Чтобы дока зать это, представим выражение (6.2.18) в форме (6.3.2),
откуда получим |
|
ы = /1 е х р [ - ; ( p + iL ,- 2)] , |
(6.3.5) |
где Р и q являются функциями z. Нетрудно определить производные, которые входят в уравнение (6.3.4). Под ставив выражение (6.3.5) в (6.3.4), получим
2Ч р '+ 7 ) + (т Г (1- ?') = 0 - |
(6-3‘6) |
Штрих означает производную по z. Каждый из двух членов должен независимо друг от друга обращаться в нуль, поскольку левая часть равна нулю при всех зна чениях z и г. В результате имеем два уравнения
q'= 1 |
(6.3.7) |
20-0S7
306 Глава G
и |
|
7J' = — - . |
(6.3.8) |
q |
v |
Из формулы (6.2.21) следует, что равонстпо (G.3.7) выпол няется. С помощью формул (6.2.7), (G.2.13), (6.2.16), (6.2.17) и (6.2.19) можно убедиться, что равенство (6.3.8) также удовлетворяется.
Таким образом, мы доказали, что поле (6.2.4), которое было получено с помощью приближения Френеля для дифракционного интеграла Кирхгофа — Гюйгенса, дей ствительно является приближенным решением приведен ного волнового уравнения. Приближение, необходимое для получения уравнения (G.3.4) из (G.3.1), оказывается вполне допустимым, поэтому следует ожидать, что гауссов пучок (6.2.15) является приемлемым приближением при всех значениях z.
Рассмотренное здесь гауссово распределение поля очень сходно с модой низшего порядка в линзовом волно воде, с которой мы встретились ранее в гл. 5. В гл. 5 также было выяснено, что моды более высокого порядка линзо
вых |
волноводов есть произведения гауссовой функции |
|
на |
полиномы Эрмита. Для изучения |
распростране |
ния |
мод высокого порядка линзового |
волновода в сво |
бодном пространстве произведем подстановку пробного решения
“(*’ У'*)=/ (vMi) еМ |
[i+iM+(D(z)]} |
|
(6.3.9) |
в дифференциальное уравнение |
(6.3.4). Параметры w, Р |
и q являются функциями z н определяются в (6.2.7), (6.2.16)
и (6.2.17). Уравнение (6.3.4) |
может |
быть преобразовано |
|
к следующему виду: |
|
|
|
f - 2 1 |
4 x f f + 2 t o ^ . f + |
|
|
+ |
i _ 2a !/i 7 + 2rt!, ^ |
i - 2 t o |
* . s| . = 0. (0.3.10) |
При упрощении этого уравнения было использовано равенство (6.3.6). Штрихи и точки обозначают производ-