Используем расстояние порядка одной длины волны (х = = Х/п0) для тонки, в которой сравниваются п2 и 7i“. Для упрощения положим у = 0. Таким образом, имеем
R = J l ^ X 2 = |
2 n ^ - . |
(7.3.26) |
2я0п^ |
«ДО-5 |
v |
' |
Сравиение с выражением (7.3.24) приводит к
Этот оценочный расчет показывает, что Q2 является величиной того же порядка, что и R. Так как R должно быть много меньше единицы (чтобы можно было применять волиовое уравнение), требуется, чтобы Q 1. Согласие между (7.3.22) и (7.3.23) является, сле довательно, хорошим для мод низшего порядка, т. е. пока применим скалярный волновой подход. Однако любопытен тот факт, что модовое решение Эрмйта — Гаусса (7.3.20) с фазовой постоянной (7.3.22) является точным решением скалярного волнового уравнения. При ближенный же характер рассматриваемой теории связан с вопросом применимости скалярного волнового уравнения.
7.4. ВНЕОСЕВЫЕ ПУЧКИ В КВАДРАТИЧНОЙ СРЕДЕ
В разд. 3.6 в общем виде было показано, что центр интенсивности светового поля движется в соответствии с законами лучевой (геометрической) оптики в квадратич ной среде. Доказательство было проведено в параксиаль ном приближении. В настоящем разделе прямым вычисле нием покажем, что гауссов пучок может распространяться в квадратичной среде и вне оси. Максимум распределе ния поля движется подобно световому лучу. Ширина распределения поля меняется периодически с периодом, равным половине длины периода колебаний луча.
Предположим, что при z = 0 в квадратичной среде имеет место следующее распределение поля:
F{x, у, 0) = i4e-t(*-fi)W*-(«//»)* |
(7.4.1) |
Зависимый от у множитель соответствует моде низшего порядка. Множитель, зависимый от х, показывает, что распределение поля сдвинуто на величину £ вдоль оси
Распространение света в квадратичных средах |
351 |
х. [Здесь £ имеет иное значение, |
чем в (7.3.8).] |
Дополни |
тельно введена произвольная |
полуширина |
W |
пучка |
в направлении оси х. Первоначальное распределение
поля |
при z = 0 |
может быть |
разложено |
в |
бесконечный |
ряд |
с помощью |
мод |
(7.3.20) |
квадратичной |
среды: |
|
|
|
со |
|
|
|
|
F(x, у, |
z )= Д; Ср\\11>0(х, у, |
ъ). |
(7.4.2) |
|
|
|
7J=0 |
|
|
|
Разложение (7.4.2) дает поле во всех точках вдоль оси z, если только определены коэффициенты разложения при z = 0. Используя ортогональность мод, получим
СО |
со |
|
Ср = j |
dx j dyF(x, у, 0)ф*и (х, у, 0). |
(7.4.3) |
В случае когда п0 и щ в (7.3.3) являются комплексными величинами, ф* означает не комплексно-сопряженное поле, а только изменение знака в экспоненте exp [i (at —
— j3z)L [Сравни с последующим рассмотрением формулы (10.2.13).] Определение Ср основано на ортогональности функций Эрмита — Гаусса, которые являются чисто мате матическими выражениями, справедливыми даже при комплексных параметрах, если только ехр (— ж2/ш2) 0 при х —v оо. Интегралы могут быть взяты с помощью таблиц интегралов Градштейна и Рыжика [61]:
„ _ У я Л |
wW |
/ w2— W2 \Р /2 |
|
|
р ~ 2> ’^ У р \ У w2-f- W2- I wi + W1 j |
Х |
|
|
|
X Н Р ( ■ У 2ш1 |
) e -E V ^ +и'*). |
(7.4.4) |
|
|
P \ y w ^ - W i > |
к |
' |
Распределение |
поля |
в некоторой |
произвольной |
|
точке |
квадратичной среды может быть теперь выражено урав нением
F (х, у, z ) = y ™ A , в-б*/(«*+и«) х
4 |
' Уш^+w 2 |
|
|
X e ~ (-x2I ~y2)/w2 • e - i (nofeo - Утц/по)? ^ |
|
х s Ш у/: •И'2 |
т м ^ - д х |
|
|
ai V n i / n g Z |
р=0
х / / '( у Й ? | г ) } - |
<7' « > |
Постоянная распространения f3iJ0 здесь взята в виде (7.3.23). Бесконечный ряд можно оценить с помощью одной из производящих функций полиномов Эрмита [73]. В соответствии с этим получим
1<{х, у, z): WA
1 / W2 cos yz — iw2si n yz
X e - ( x 2+V2)/w2e ~ i(n0/io-V/2)2 x
|
W2 \ |
„ |
, |
U)2 |
j |
Ггагб [ ( 1 Ш2 ) |
а;2 ч - ш2 + 1 у 2 I2] |
X exp I ----- |
IV2 cos yz — iw2 sin yz |
(7.4.6) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
4 = ] / 7 ± - . |
|
(7.4.7) |
|
1 |
V |
-n0 |
|
|
Выражение (7.4.6) является приближенным решением приведенного волнового уравиеиия. Оно удовлетворяет уравнению (7.3.1) (в параксиальном приближении), даже если /г0 и щ комплексные величины. Упростим дальнейшее
рассмотрение, исследуя это |
уравнение |
в |
двух част |
ных случаях. Сначала рассмотрим случай, |
когда полуши |
рина смещенного иачальпого |
распределения |
поля рав |
на полуширине моды структуры |
|
|
W *= |
W. |
|
(7.4.8) |
При таком условии выражение (7.4.6) можно представить как
(х — I COS Yz)2 -!- 1/2 |
6 1 ф (2 ) X |
|
X e~''(noho-v)z, |
(7.4.9) |
где |
|
Ф(z) = -^2 ( 2^ s in yz —Y E2sin2yz) . |
(7.4.10) |
Выражение (7.4.9) показывает, что распределение поля вне оси имеет форму моды структуры и перемещается в квадратичной среде без существенных искажений. Центр распределения поля следует по траектории луча в соот ветствии с выражением (7.2.8):
Распространение света в квадратичных средах |
353 |
Наклоненные фазовые фронты внеосевого поля описывают
ся |
фазовой функцией |
(7.4.10). |
не |
Далее рассмотрим осевое поле, ширина которого |
соответствует модам |
структуры. Полагая |
I = 0,
получим из выражения (7.4.6)
F (x, у, z) = A Y~W T , . e - u 4 w * e - l x / W ( z № e m z ) х
W (z)
х e-i(7i0fco-v)2.
Квадрат полуширины пучка в направлении х определяет ся как
W2(а)= -2^ г К ^ 4+ + ( W* ~ wi) cos 2yz], |
(7.4.14) |
а фазовый фронт — как |
|
|
Ф(2) = у { a rc tg [(-^ -)atg v z ]—YZ+ |
|
|
Wi —wi |
x2 sin |
(7.4.15) |
|
W 2 W 2 W 2 ( Z)
Выражение (7.4.14) показывает, что ширина распределения поля меняется периодически с периодом, равным поло вине длине периода колебаний луча.
Результат (7.4.14) может быть также получен из рас смотрения гауссовых пучков в линзовом волноводе. В разд. 6.4 была исследована ширина гауссова пучка, перемещающегося в линзовом волноводе. Чтобы можно было сравнить выражения (6.4.36) и (7.4.14), необходимо ввести пучок в линзовый волновод так, чтобы радиус кривизны фазового фронта был бесконечным, так как предполагалось, что луч в квадратичной среде при z = 0 имеет плоский фазовый фронт. Записав — w0 = W, положив £ - э - 0 и / - > - о о и используя формулы (7.2.4), (7.2.6) и (7.3.21), нетрудно (6.4.36) преобразовать к форме
(7.4.14).
Наше решение (7.4.6) является приближенным. Моды квадратичной среды являются точными решениями волно вого уравнения, но само волновое уравнение лишь прибли женно описывает электромагнитное поле. Чтобы просум-
354 Глава 7
мнровать ряды в (7.4.5), необходимо использовать прибли жение (7.3.23) для постоянной распространения. Это приближение эквивалентно параксиальному приближению лучевой оптики, поскольку решение (7.4.9) описывает такое распределение поля, при котором центр интенсив ности движется подобно параксиальному лучу.
Было показано, что, согласно параксиальному прибли жению, гауссов пучок движется через квадратичную среду без искажения поля. Пучок имеет траекторию, колеблющуюся относительно оптической оси, но сам остается хорошо коллимированным. Его ширина может изменяться периодически, если она не совпадает с шириной мод структуры, однако никакого разрушения поля пучка не происходит. Маркатили [65] показал, что подобная стабильность гауссовых пучков имеет место только в среде с показателем преломления, определяемым формулой (7.3.3). Любые члены высшего порядка в разложении показателя преломления по степеням х и у вызывают распадение пучка, подобное описанному в разд. 5.8. Распадение пучка па несколько отчетливых максимумов может произойти лишь в волноводе значительной длины. И это обстоятельство не зависит от степени аберрации среды. Такое распадение пучка должно происходить в диэлектрической среде, диэлектрическая проницаемость которой не соответствует строго параболическому закону. Сходство между непрерывной диэлектрической средой и линзовыми волноводами не ограничивается только квадратичной средой. Тот факт, что гауссовы пучки не сохраняют свою форму в среде, отличающейся от квадра тичной, означает на практике, что их невозможно переда вать без искажений на сколь угодно большие расстояния. Ни одна среда не может быть абсолютно квадратичной. Наше обсуждение распространения световых пучков в идеальных линзовых волноводах и в идеальной квадра тичной среде является, следовательно, лишь идеализацией, которая, конечно, не встречается в реальных волноводах. Однако знание идеального случая весьма полезно. Хорошо передающая среда является в некотором смысле доста точным приближением к идеальной, так что можно ожидать, что поведение гауссовых пучков будет следовать нашим предсказаниям по крайней мере на некотором конечном
Распространение света в квадратичных средах |
355 |
участке пути. На очень больших расстояниях поведение пучка существенно отличается от идеального случая. Что происходит в реальной ситуации, было показано
вразд. 5.8.
7.5.КВАДРАТИЧНАЯ СРЕДА С ПОТЕРЯМИ ИЛИ УСИЛЕНИЕМ
Впредыдущих разделах были рассмотрены колебания
вквадратичной среде, которая не вносила ни затухания, ни усиления. Такое предположение, естественно, является идеализацией. Ни в одной волноведущей среде не суще ствует точной квадратичной зависимости ее диэлектри ческой проницаемости от радиуса; не существует и диэлек трического материала, в котором полностью отсутствовало бы затухание волн. Большинство диэлектриков имеет относительно высокие потери в оптическом диапазоне. Потери в 100—1000 дБ/км не так уже необычны. В разд. 2.6 было показано [формулы (2.6.18) и (2.6.10)], что диэлектри ческую среду с потерями можно описать комплексной диэлектрической проницаемостью.
Важно также рассмотреть диэлектрические среды не только с затуханием, но и с усилением. Активный материал
влазерах может быть описан как диэлектрическая среда, усиливающая, а не поглощающая. Усиление также может быть описано с помощью комплексной диэлектри ческой проницаемости. Проявляет ли среда усиливающие или поглощающие свойства, определяется знаком мнимой части показателя преломления.
Внастоящем разделе будут исследованы моды в квад ратичной среде с комплексной диэлектрической прони цаемостью. При рассмотрении среды с квадратичной зависимостью действительной части диэлектрической про ницаемости от радиуса было установлено, что направлен ность волн осуществляется благодаря тому, что дей ствительная часть показателя преломления максимальна на оптической оси и уменьшается по мере удаления от нее. Такой механизм направленности настолько хорошо изве стен, что кажется неожиданной возможность получения направляемых мод в среде с постоянным значением дей ствительной части показателя преломления. Однако, даже
