Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

360 Глава 7

Произведениями noi на а2, Ъ2и аЪ мы пренебрегли, предпо­ ложив, что оии значительно меньше, чем члены в (7.5.8)

и (7.5.9).

Поскольку а — величина положительная, то поло­ жительное значение Ъ означает, что при увеличении г в среде увеличиваются потери. Предположим, что величина

шается при удалении от оси. Энергия, возникшая вблизи осп, уходит от нее и поглощается.

Поведение мнимой части показателя преломления (увеличивается или уменьшается она с ростом величины г) полностью зависит от знака Ъ, так как величина а должна быть положительной, чтобы имела место направ­ ленность моды. Поведение действительной части показа­ теля преломления зависит от того, больше а2 чем Ъ2 или меньше. Среда обладает нормальными волноведущими свойствами (Re п уменьшается с ростом г), если а2 > Ь2, и аномальными свойствами (Re/г возрастает с увеличе­ нием г), если а 2 < Ь 2 . Направляемая мода существует во всех случаях как при нормальном, так и при ано­ мальном поведении действительной части показателя преломления, а также в случае среды, для которой мнимая часть увеличивается или уменьшается с ростом г. Этот неожиданный результат, однако, не дает одно­ значного ответа о стабильности модьт. Он говорит лишь о том, что математические модовые решения существуют во всех четырех случаях.

Для того чтобы решить вопрос о стабильности моды, исследуем поведение моды низшего порядка (р = q — 0) при ее смещении с оптической оси. Соответствующий расчет уже был проведен в разд. 7.4. Необходимо только рассмотреть вопрос о справедливости уравнения (7.4.9) при комплексных значениях п0 и щ.

Вновь мы пренебрегли произведениями малой величины Пщ па малые величины а и Ъ. Синус и косинус принимают следующие комплексные значения:

cos yz= cos —— z ch ——z — i sin —— z sh — z (7.5.12)

II

sin vz=sin ——z ch —— z—1—£ cos —— z sh —— z. (7.5.13)

Для абсолютной величины функции F (х , у, z), опреде­ ляемой формулой (7.4.9), получаем

F(x, у, z)\ = Ae-<-a}lo/mx^+iP)e-lnoiho+^nor^z х

Устойчивость или неустойчивость смещенной моды опре­ деляется множителем ехр (—bz/n0r). При положительных Ъ экспоненциальный множитель уменьшается с ростом z, так что распределение поля принимает следующее устойчивое значение:

| F (х, у, z) |= 4 e-(aW £2e—(яйо/2)(хЧ-У2) х

Из этой формулы видно, что для положительных Ъвнеосе­ вое поле движется вдоль оси и уменьшается или растет в зависимости от того, является ли величина lnQik0 + + b/nor)] положительной или отрицательной. Положи­ тельные значения Ъ и, следовательно, устойчивое распро­ странение мод получаются в среде, усиление которой уменьшается с ростом г или потери в которой увеличивают­ ся с ростом г.

В противном случае величина Ъотрицательная и множи­ тель ехр (—bz/nlr) увеличивается с ростом z. Распределе­ ние поля в этом нестабильном случае весьма сложное. Очевидно, однако, что поле простирается все дальше и дальше от оси. Это видно из третьей экспоненты в выра-

3G2 Глава. 7

жешш (7.5.14), которая стремится противодействовать первой экспоненте с ее зависимостью от —г2, заставляю­ щей моду оставаться сконцентрированной вблизи оси структуры. Хотя направляемая мода и возможна при £ 0, но достаточно бесконечно малого смещения, чтобы появилась возможность ее полного расплывания. Как упо­ миналось во вводной части этого раздела, подобное расплы­ вание слабо зависит от констант, в частности от Ъ. Почти стабильная мода все же полезна для практических целей. В принципе, однако, моды с отрицательными b являются неустойчивымп.

Такое поведение стабильных и нестабильных мод не ограничивается квадратичной средой с комплексным показателем преломления. Можно показать, что в прин­ ципе такое же поведение имеет место в слоистой среде, в частности в рассматриваемой в следующей главе. Ав­ тором был проведен численный анализ уравнения с ком­ плексными собственными значениями для слоистого диэлектрического волновода. Было показано, что фор­ мальное модовое решение для него также имеет место во всех четырех случаях распределения показателя преломления. Существование стабильных и нестабильных направляемых мод в диэлектрических волноводах с ком­ плексным показателем преломления является характер­ ным, таким образом, не только для квадратичной среды. Это было продемонстрировано для слоистых диэлектрических волноводов.

Возвращаясь к модам квадратичной среды, рассмотрим процесс затухания или усиления мод для случая комплекс­ ного показателя преломления. Постоянную распростра­ нения (7.3.23) можно разложить иа действительную и мнимую части:

Произведениями noi н а а и б снова пренебрегаем. Затуха­ ние или усиление определяется мнимой частью (Зр?. Модц

Вопрос о том, что именно имеет место для данной моды — поглощение или усиление, зависит от трех факторов:

тельная; с ростом модовых чисел она растет по абсолютной величине. Это означает, что устойчивые моды в квадра­ тичной среде с потерями испытывают тем большее зату­ хание, чем выше порядок моды. Такое поведение является типичным для нормальной направляющей среды. Оно обусловливает стабильность мод. Если произвольное смещенное относительно оси распределение поля разло­ жить в ряд по нормальным модам, то наиболее быстро при увеличении z затухают высшие члены разложения и на достаточно большом расстоянии вдоль волновода остается лишь мода низшего порядка. Любое произволь­ ное распределение поля переходит в моду низшего по­ рядка, что и проявляется при рассмотрении разложенного в ряд поля.

Рассмотрим далее случай b > 0 при noi < 0. Среда такого рода приводит к усилению на оси, но оно умень­ шается с ростом г и при достаточно большом г усиление переходит в поглощение. Усиление или затухание мод в этом случае зависит от соотношения между n0ik 0и Ь(р +

Может оказаться, что усиление на оси будет недостаточ­ ным для роста каких-либо мод. Мода низшего порядка возрастает при достаточно большом осевом усилении.

и переходит в затухание при достаточно больших зна­ чениях р + q -j- 1. Снова оказывается, что любое произ­ вольное распределение поля в конце концов приводит к моде низшего порядка, что проявляется при рассмот­ рении разложения поля в ряд.

с возрастанием порядка моды. При достаточно больших

объясняет, почему распределение поля при b < 0 является неустойчивым. Действительно, рассмотрим разложение в ряд произвольного входного поля. Но мере продвижения поля вдоль волновода моды высокого порядка в разло­ жении растут быстрее и становятся доминирующими. Сходимость ряда является неустойчивой и поэтому не удивительно, что имеет место полное разрушение поля входного пучка, который первоначально был смещен лишь на малую величину от оси структуры.

Следует заметить, что квадратичная среда с неограни­ ченно возрастающим усилением по мере роста г не имеет физического смысла. В любой физически реальной среде возможен рост усиления лишь на начальном участке возрастания г. Поэтому усиление мод высокого порядка не может неограниченно увеличиваться с ростом модового числа. В конечном счете у мод высокого порядка усиле­ ние должно постепенно уменьшаться и даже переходить в затухание. Разложения произвольных полей в ряд не расходятся в реальных случаях. Однако, если даже разложения поля сходятся в физически реальной среде, все же может происходить значительное искажение поля при увеличении усиления с ростом модовых чисел по крайней мере для мод низкого порядка. Таким образом, наше рассмотрение стабильных и нестабильных направ­ ляющих сред дает некоторое представление о том, что можно ожидать на практике,

7 .6 . Л И Н З О В Ы Е С В О Й С Т В А К В А Д Р А Т И Ч Н О Й С Р Е Д Ы

Закончим главу о квадратичной среде рассмотрением ее линзовых свойств [76]. Для упрощения допустим, что луч света входит в квадратичную среду и выходит из нее с небольшим дополнительным отклонением по углу. Это допущение оправдано следующей аргумента­ цией. Показатель преломления в реальной квадратичной среде изменяется весьма незначительно. Если поместить участок квадратичной среды в однородную среду, пока­ затель преломления которой согласован с показателем квадратичной среды на оси, то можно ожидать достаточно хорошего согласования показателей преломления во всех точках поверхности раздела между этими двумя средами. Таким образом, преломление при прохождении границы раздела однородной и квадратичной сред является очень слабым и им можно пренебречь. Если же не согласовать показатели, то будет иметь место преломление лучей, проходящих через границу раздела сред. Подобные эффекты аналогичны преломлению на границе раздела двух однородных сред. Известно, что входящие из одной однородной среды в другую лучи из точечного источника распространяются во второй среде так, как будто источ­ ник излучения находится ближе или дальше своего дей­ ствительного местоположения. Для простоты изложения пренебрежем этими тривиальными эффектами преломления.

Легко убедиться, что квадратичная среда должна обладать свойством формирования' изображения. Рас­ смотрим разложение (7.4.2) произвольного поля в точке z = 0 в ряд по модам (7.3.20). По мере проникновения поля в среду его форма меняется, поскольку меняются относительные фазы различных членов разложения. Фаза членов ряда дается выражением (7.3.23)

где у определяется формулой {ТАЛ). Для произвольных значений z фазы мод различны, так что суперпозиция отдельных мод разложения всегда приводит к измене­ нию формы поля. Однако вдоль оси структуры имеются точки, где выполняется соотношение