ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 0
'№ |
I'jiatm 8 |
черты волоконной оптики, а также получить численные результаты, которые оказываются применимыми и к более сложным для анализа цилиндрическим волокнам.
S.2. НАПРАВЛЯЕМЫЕ ВОЛНЫ (МОДЫ) КРУГЛЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН
В этом разделе получим выражения для направляемых мод оптического волокна в оболочке. Оболочка выполняет свою роль полностью, если ее радиус настолько велик, что поле вблизи поверхности раздела между оболочкой и окружающим воздухом практически отсутствует. Таким образом, достаточно предположить, что радиус оболочки
Ф и г . 8.2.1. Декартова и по лярная системы координат.
неограничен: Разница между модами волокна с оболочкой и без нее будет незначительной для любого хорошо выполненного оптического волокна.
Уравнения поля для оптических систем цилиндриче ской геометрии выведены в разд. 1.4. Запишем эти урав нения в цилиндрических координатах т, ф, z. Для этого воспользуемся преобразованием координат. Координата z в направлении оптической оси системы является общей для декартовой н цилиндрической систем координат и нет необходимости преобразовывать ее из одной системы в другую. Соотношение между двумя системами коорди нат в поперечной плоскости показано на фиг. 8.2.1. Из фигуры видно, что между координатами имеют место сле
дующие соотношения: |
г cos ф, |
(8.2.1) |
х = |
||
у = |
г sin ф. |
(8.2.2) |
Преобразование компонент Fx, Fy вектора F из декарто вой системы координат в компоненты Fr, /Д цилиндриче-
Оптические колокиа |
375 |
Волновые уравнения для E Z\\IIZявляются здесь строгими, так как они применяются в областях с однородным пока зателем преломления. Итак, получены все уравнения, необходимые для решения задачи о распространении мод в оптическом волокне с оболочкой. Для z-й компоненты электрического поля решение будем искать в виде
Ez= AF(r) eiv*. |
( 8 |
. 2. 21) |
Множитель, зависящий от координаты z и времени, |
||
gi(a>t—pz) |
(8 |
.2.22) |
умножается па все компоненты поля и поэтому опущен здесь п далее во всех выражениях. Постоянная v в формуле (8.2.21) может быть как положительным, так п отрицатель ным числом, но обязательно целым, чтобы имела место периодичность по ф с периодом 2л.
Подстановка выражения (8.2.21) в (8.2.19) приводит к дифференциальному уравнению для F (г)
(8.2.23)
которое является хорошо изученным уравнением Бесселя [11]. Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, то должны иметь место два линейно независимых решения. Существует несколько способов выбора двух независимых решений (8.2.23). Можно использовать функ цию Бесселя J v (кг) п функцию Неймана N v (кг). Эти функции для очень больших действительных значений их аргумента ведут себя подобно косинусам и синусам. Функция Бесселя J v остается конечной в начале коорди
нат, |
тогда |
как функция Неймана N v имеет особенность |
|
при /• = |
0. |
Другой набор линейно независимых решений |
|
состоит |
из |
функций Ханкеля первого и второго рода |
|
/Д 1’ |
(к?-) и Щ ’ (кг). Эти функции имеют особенность при |
||
г = |
0. Для больших действительных значений аргумента |
||
#vn представляет бегущую волну (экспоненту), которую при выборе времеппой зависимости (8.2.22) рассматри вают как волну, распространяющуюся в направлении уменьшения г. Функция Ханкеля второго рода /Д2>
вэтом случае представляет волну, распространяющуюся
внаправлении увеличения г, т. е. от оси структуры.
3 7 li Глава S
Представляют интерес также функции Ханкеля для мни
мых значений |
х |
|
(8.2.24) |
|
|
|
х |
— iy. |
|
В этом |
случае Н(Р (iyr) становится |
пропорциональной |
||
e~vr для |
больших значений |
аргумента, |
а IIрр (iyr) пропор |
|
циональна е^т. |
Очевидно, |
что только |
функция II()1(iyr) |
|
с экспоненциальным спаданием является с физической точки зрения подходящей для описания направляемых мод вне сердцевины волокна. Функция //(?’ (iyr) должна быть отброшена, поскольку она экспоненциально растет с ростом г и поэтому не может правильно описывать рас пределение поля волны, которое концентрируется у сердце вины волокна.
Все четыре рассмотренные функции н любая их линей ная комбинация известны как цилиндрические функций. Если специально не выделять какую-либо из них, то реше ние (8.2.23) можно записать как Z (хг). Обозначения, используемые здесь для функций Неймана, такие же, как у Яике и Эмде [11] и Градштейиа и Рыжика 101]. Другие авторы иногда используют для функции Неймана символ Y v. Функцию Ханкеля с мнимым аргументом часто обозначают новым символом. Она пропорциональна так называемой модифицированной функции Ханкеля K v. Различные обозначения цилиндрических функций могут внести путаницу, поэтому более разумно использовать одинаковые символы для одинаковых функций, ясно указывая нх аргументы, вместо того чтобы менять симво лы, используемые для самих функций. Каждая из четы рех функций может быть выражена как линейная комби нация двух других функций. Свойства этих функций изложены в ряде книг, например [8, 11, 61].
Для описания поведения поля во внутренних и внеш них областях волокна требуются различные функции. Существование физической направляемой волны накла дывает на эти функции, являющиеся решениями (8.2.23), ограничения, которые состоят в том, что внутри сердцеви ны при г = 0 они должны оставаться конечными, а вне сердцевины при г оо описывать спадающее поле.
Имея теперь набор всех необходимых величин, можно записать формулы для электромагнитного поля оптического