Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Тепловые потери в материале волновода аналогичны тем, которые имеют место в сплошном диэлектрике. Особенно это справедливо, если материалы оболочки и сердцевины имеют одинаковые потери. В настоящей главе из всех упомянутых нерегулярностей будет рассмотрено влияние неровностей границы раздела сред волновода и кривизны оси волновода.

9.2. ПЛОСКИЙ ВОЛНОВОД С НЕРОВНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Моды плоского волновода были получены в предыду­ щей главе путем решения уравнений поля внутри н вне волновода п дальнейшего определения амплитудных ко­ эффициентов п постоянных распространения с учетом граничных условий. Такой способ скрывает тот факт, что функции поля плоского волновода на самом деле являются решениями уравнений (8.3.2) — (8.3.4) с из­ меняющимся 71. Если бы изменение показателя преломле­ ния рассматривалось как непрерывное и мы были бы в состоянии решить приведенное волновое уравнение (8.3.4) для такого распределения показателя преломления, то не было бы необходимости обращаться к граничным условиям. Можно было бы аппроксимировать распреде­ ление показателя преломления гладкой функцией, решить волновое уравнение (8.3.4), а затем перейти к распределе­ нию показателя преломления с резкой границей. Доста­ точно напомнить, что задача о распространении мод в среде с квадратичным изменением показателя преломле­ ния ранее рассматривалась для приведенного волнового уравнения. Единственными граничными условиями, с которыми мы тогда столкнулись, были условия па бес­ конечности.

Предлагаемая теория плоского волновода с неровной стенкой основана на нахождении решений приведенного волнового уравнения во всем пространстве без учета гра­ ничных условий, кроме условий на бесконечности. Ранее было показано, что любое произвольное распределение поля можно представить в виде суперпозиции мод идеаль­ ного прямолинейного волновода. Таким образом, и поле нерегулярного волновода можно выразить через моды регулярного волновода. Полученное разложение подстав­

ля преломления в волноводе с нерегулярными стенками можно записать в виде

Распределение показателя преломления п0 описывает регулярный плоский волновод:

В случае регулярного волновода т] = 0. Для нерегуляр-

Ф п г. 9.2.1. Плоский волновод с нерегулярной границей раздела сердцевина — оболочка.

ного волновода получаем следующие выражения:

Подобные соотношения справедливы также для тех зна­ чений z, при которых / (z) < 0, h (z) > 0, и для всех других возможных комбинаций. Для применения теории возмущений разность 7г'2 — щ не обязательно должна быть величиной малого порядка. Достаточно, чтобы об­ ласть, в пределах которой р отличается от нуля, была очень узкой.

При выводе этого уравнения использовалось то обстоя­ тельство, что моды E vy и Е у (р) удовлетворяют волновому уравнению для регулярного плоского волновода. Пред­ полагалось также, что поле нерегулярного волновода име­ ет только три составляющие: Н х, IIх и Е,г Составляющая Еу уже определялась в (8.5.16), а составляющие магнит­ ного поля можно получить с помощью (8.3.2) и (8.3.3). Задача ставится следующим образом. Мода ТЕ низшего порядка из регулярной части волновода падает на его нере­ гулярную часть. Нужно определить, как мощность, пере­ носимая падающей модой ТЕ регулярного волновода, пре­ образуется в другие волноводные моды и излучается.

Уравнение (9.2.4) содержит производные только отно­ сительно координаты z. Однако это уравнение зависит еще от координаты х через зависимость от х нормальных мод и 1]. Для получения системы связанных дифференциаль­ ных уравнений умножим обе части уравнения (9.2.4) на

где р — целое число, р0 — магнитная проницаемость, и проинтегрируем по всему поперечному сечению волновода. Используя соотношение ортогональности (8.5.13), получим