Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

волновода далеко от отсечки, но, как можно показать прямой подстановкой его в (8.6.2), оно также приближенно удовлетворяет уравнении/ 8.6.2) для нечетных ТЕ-мод при V Э- 1. Снова получаем значения для четных мод

Ф и г. 8.6.1. Зависимость хй от нормированного частотного парамет­ ра V для ТЕ-моды низшего порядка плоского волновода (сплошная линия). Приближенному решению соответствуют пунктирные линии.

в случае четных v и для нечетных мод при нечетных v. По­ стоянная распространения (3 находится из формулы (8.3.11)

На фиг. 8.6.1 сравниваются приближенные значения nd для четной ТЕ-моды низшего порядка, полученные из

Уравиение (8.6.31) применимо к ТЕ-модам, если положить е = 1. Несмотря иато что это уравнение проще исходного уравнения собственных значений (8.2.70), оно требует применения приближенных методов для получения зависи­ мости уа от У. Однако уравнение (8.6.31) облегчает вычисление У — Ус как функции уа и графическое реше­ ние становится простым. Для ТЕ- и ТМ-мод при решении уравнения (8.6.31) Ус берется из (8.2.92).

Для ТЕ-мод плоского и круглого волноводов можно выразить ха и уа (или xd и yd) в виде функций от У и нет необходимости задавать значения е = п\1п\. Для всех других мод необходимо знать е и У, чтобы получить решения для ха и уа. Однако во многих интересных для практики случаях отношение п ^ п г близко к единице и хорошее приближение получается, если в уравнении (8.2.70) положить е = 1. Это приближение особенно полезно для оптических волноводов в оболочке, показатель преломления сердцевины которых близок к показателю преломления оболочки, т. е. (п(/п2) — 1 < 0,01. Для важных случаев этого типа можно аппроксимировать (8.2.70) , полагая е = 1 и сразу же получая два уравнения собственных значений с помощью (8.2.56)—(8.2.59):

С помощью формулы (8.2.64) условия отсечки (8.2.95) для случая щ ж п2 упрощаются:

а условие отсечки (8.2.94) остается неизменным:

Приближенные уравнения собственных значений (8.6.32) и (8.6.33) намного удобнее для получения решения, чем исходное уравнение (8.2.70). Выше были получены при­ ближения около отсечкн (8.6.26), (8.6.30) и (8.6.31). Но можно еще получить очень полезные приближения для области вдали от отсечки. Снова используем метод, впервые примененный Снайдером [90, 92]. Начнем с НЕмод, предположив, что V ^ 1 и уа 1. Тогда с помо­ щью формулы (8.2.54) можно записать

Далее запишем производную (8.6.39) по V. После диффе­ ренцирования получаем приближенное равенство уа = V и исключаем функции Бесселя из уравнения с помощью равенства (8.6.39) . Тогда находим

Решение этого дифференциального уравнения дает иско­

Зиачепие (ха) <» является корнем уравнения (8.6.36). Корни функций Бесселя табулированы и представлены в [8, 11].

Решение для v = 1 осуществляется или путем предель­ ного перехода при v -> 1 в (8.6,41), или путем интегриро.

вания (8.6.40), что дает

Аналогичная процедура позволяет получить приближен­ ное решение уравнения (8.6.33):

Это уравнение справедливо для всех положительных значений v. Постоянная (ка) со получается из формулы (8.6.37) как корень функции Бесселя.

Ф н г. 8.6.3. Зависимость у. а от V для моды ИЕ,, круглого опти­

ческого волокна. Пунктирной н штрих-пунктирной линиями пред­ ставлены приближенные решения.

Фиг. 8.6.3 иллюстрирует точность приближения (8.6.42) для основной моды НЕИ. Сплошной кривой представлено точное решение (8.6.32), а пунктирной —

кривой представлены значения ха, полученные из фор­ мулы (8.6.30) с помощью (8.6.4). Даже при V — 1,75,

т. е. в той точке, где, согласно обоим приближениям, происходит наибольшее отклонение от точной кривой, отклонение не превышает 7%. Для многих целей оба приближения обеспечивают достаточную точность реше­ ний уравнения собственных значений.

Для области вдали от отсечки в случае малой разности показателей преломления nL— п2можно привести простые приближенные выражения для компонент электромагнит­ ного поля мод круглого волновода. Эти выражения полу­ чены Снайдером [90, 92]. Предположим, что волновод рабо­ тает в режиме, далеком от отсечки, т. е. можно считать

При получении этих уравнений использовалось прибли­ жение (8.2.54). Используя функциональное соотношение

[И, 61]

/ ; (ха)= —-^■Jv(xa)-\-Jv. l (ха) =

—i ^ J v{xa) — Jv+1(иа) (8.6.46)

иприближения, упомянутые ранее, получим следующее приближение для (8.2.46):

Верхний знак справедлив для НЕ-мод, а нижний — для ЕН-мод. Показатель преломления взят при 7г, « п2.

Снова, используя формулу (8.6.46), из (8.2.25) — (8.2.30)

с помощью (8.6.47) получим для г ^ а 1)

7/г= + ^ п | / - g - ^ /v(xr)e<v+=

М н ож ител ь ex p [t (coi — pz)] оп ущ ен .