в(9.2.26) включает распространяющиеся моды излучения
изатухающие моды излучения. Так как последние мощ ности не переносят, то можно ограничить диапазон инте
грирования распространяющимися модами излучения. Сделаем замену переменной. Из формулы (8.4.6) получим
ф = — jj-dp. |
|
(9.3.13) |
Интегрирование производится от |
(3 = 0 до |
р = п2к0. |
Из предыдущего видно, что коэффициент д(~Цр) |
получается |
нз <7(+)(р) изменением постоянной |
распространения р, |
которая входит в коэффициенты Фурье, на —р. Таким
образом, можно |
объединить два интеграла в (9.2.26) |
в одни, расширяя |
пределы интегрирования от —п2к0 до |
п2к0. Относительные потерн мощности, вызванные только излучением, запишутся в виде
П2&0 |
|
^ Г = J [ Ы 2+ М 21 ^ Р - |
(9.3.14) |
—712^0 |
|
В индексах «+» и «—» больше нет необходимости, и поэто му они опущены. Суммирование в (9.2.26) распространялось на четные и нечетные моды под знаком интеграла.
В частном случае при ф = 0 имеют место только коэф фициенты разложения qe для четных мод. Используя фор мулы (9.3.5) и (9.3.6), получим
АР __a2 (/if— raj)2 A-;) cos2 x0d0
|
|
Pi |
|
|
|
я(Ро^о-Нг-) |
|
|
\ |
То / |
|
|
|
719^0 |
|
р sin2 Г -g- cos2 Gd0 |
|
- |
i |
Г2 (р2 cos2 od0+ о2 sin2 ado) dp, |
|
где |
—П2к0 |
|
|
Г = |
0 - (Po - Р). |
|
|
Для малых значений L интегрировать затруднительно. Однако, если L много больше длины волны излучения, можно получить хорошее приближение. Согласно (8.4.16),
Нерегулярные диэлектрические волноводы |
449 |
для больших L
1
б (Г) « л Г (9.3.17)
т. е. фактически под интегралом стоит квадрат дельтафункции. Однако квадрат дельта-функции ведет себя подоб но дельта-функции. Это позволяет вынести множители при дельта-функции из-под интеграла, так как интегрирование дельта-функции производится по бесконечно малому ин тервалу. Результирующий интеграл имеет вид
|
"2^0 sin2 Г -Д- |
“ |
sin2 Г ~y |
лЬ |
(9.3.18) |
|
Г2 |
j |
dT |
|
|
|
|
Г2 |
|
|
- U2&Q
Переход здесь к бесконечным пределам интегрирования ие является существенным, так как основной вклад дает интегрирование только в непосредственной окрестности
Г = 0.
Относительные потери мощности, вызванные периоди ческим изменением толщины плоского волновода, в конеч ном счете определяются выражением
АР |
2aL - L ■ а2 {п\ —п\)г !4р0 cos2 x0ri0 соз2 Орс10 |
(9.3.19) |
Р |
( M o -I- |
) (Ре cos2aed0+ а§ sin2 a0d0) |
|
|
|
где |
po= /i*2Aos- ( p o - 0 ) 2, |
(9.3.20) |
|
|
°о = УГ |
(Ро—О)2, |
(9.3.21) |
а — амплитудш.пй коэффициент потерь.
Существует очень интересное различие между потерями мощности для одной направляемой моды (9.3.10) и поте рями мощности для континуума мод излучения. Потери, вызванные направляемой модой, пропорциональны L2, а потери для непрерывного спектра мод излучения про порциональны L. Данный расчет обоих видов потерь спра ведлив до тех пор, пока ДР/Р 1.
Позднее мы исследуем связь падающей моды снаправля емыми модами более подробно. Потери на излучение можно объяснить следующим образом. Излучение, вызванное
искажением стенки, покидает волновод и исчезает в про странстве. Ниже в этом разделе будет рассчитана структу ра поля излучения в дальней зоне. При потере малой части мощности падающая мода практически ие изменяется и ее амплитуда уменьшается незначительно. Преобразованная в излучение мощность больше не направляется волново дом, а излучается в пространство. Это не имеет места для случая связи падающей моды с направляемой, поскольку переданная направляемой моде мощность снова взаимодей ствует с мощностью падающей моды. Однако в случае излучения такое взаимодействие очень слабое. Этот результат позволяет расширить диапазон применения теории возмущений. Используя формулу (9.3.19) неодно кратно к уменьшенному значению мощности падающей моды, получим на конце волновода длиной D мощность
p = p 0e - 2 a D ' |
(9.3.22) |
Коэффициент затухания а определяется из формулы (9.3.19). Выражение (9.3.22) справедливо для малых значений 2аХ, где X — длина волны, и точность его увеличивается с ро стом угла, под которым излучение покидает волновод.
Из анализа структуры поля в дальней зоне получаем угол излучения [100]. Для коэффициента разложения в предположении (9.3.3) из формул (9.2.38), (9.3.5) п (9.3.0)
находим следующее выражение:
9е+)(Р. L ) — — («1 — |
п \ ) X |
• т, L |
|
арк% cos я0Ф) cos аФ)еШЬ/ 2 |
X |
81,1 Г т |
'[/"яр (р 0Ф) |
(р2 cos2 orf0 + а2si n2 ad0) |
, (9.3.23) |
|
|
где Г определяется формулой (9.3.16). Составляющая электрического поля излучения получается из (8.5.16) в виде
со |
|
£ „ = j ?<+’ (Р, Ь )£ г/(р, z)dp. |
(9.3.24) |
о |
|
Выражения (9.3.23) и (9.3.24) описывают поле излучения плоского волновода с синусоидальным изменением его толщины в точке пространства с координатами х, z. Излу-
Лерегцлярп ые Ни.ментр теснив вол поводы |
451 |
чеппе вызывается нерегулярным участком длиной L пло ского волновода. Нас интересует только поле в дальней зоне, поэтому можно считать, что
Поле моды излучения Е у (р) вне слоя волновода опреде ляется формулами (8.4.4), (8.4.9), (8.4.10) и (8.4.18).
Объединение этих выражений приводит к следующему результату:
р V 2сор0Р ^cos ad0 cos р ( | х | —dQ)—
Я„(Р) = |
— ^-sinadosnip d- T — <4)1 )J |
V |
.-iflz. (9.3.2G) |
|
яр (р2 cos2 od0-j- a2 sin2 ad0) |
Окончательно выражение для составляющей электриче ского поля излучения получается из формул (9.3.23), (9.3.24) и (9.3.2(1) в виде
гг_ оА-д У 2 ш р 0Р ('1Г — « !) cosy-orfo v,
|
— |
|
- |
-= |
х |
|
|
,rL'2p2 cos adо |^соз ad0 cos p (| x |—d0)—^ sin ad0sin p (| x | — d0) j |
|
X |
J0 |
|
|
P (p2 cos2 arf0-|-o2sin2 ad0) |
X |
|
|
|
|
sin Г A |
|
|
|
(9.3.27) |
|
|
X — гг— |
dp. |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
Интеграл в этом выражении достаточно сложен и не при ходится рассчитывать на получение общего решения. Одна ко можно получить его приближенное значение методом стационарной фазы [9] и определить, таким образом, поле в дальней зоне. Этот полезный приближенный метод вычис ления интегралов, имеющих быстро осциллирующие функ ции в подынтегральных выражениях, был рассмотрен в разд. 2.3. Предполагается, что х и z становятся больши ми по сравнению с L. Это заставляет функции, содержа щие х и z в аргументах, осциллировать намного быстрее функций с L и dQв аргументах. Главный вклад в интеграл
