ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 186
Скачиваний: 0
452 |
Глава i) |
имеем в области, где аргументы быстро осциллирующих функций принимают стационарные значения. Таким обра зом, нужно проанализировать выражения вида
|
Р* + |
РZ |
= / (р). |
(9.3.28) |
Используя |
формулу (8.4.6), |
получим |
|
|
|
df |
|
р |
(9.3.29) |
|
- + = £ ----п г |
|||
|
dp |
|
р |
|
и |
ri2/ |
|
|
|
|
|
пЩ , |
(9.3.30) |
|
|
dpi — |
|
р“з Z- |
|
Требование |
стационарности |
фазы dj/dp = |
0 приводит |
|
к условию |
|
|
|
|
|
J js - = 4 = tg a .. |
(9.3.31) |
||
|
Ps |
* |
|
|
Разлагая / (р) в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки, получаем
СО
j e -i(px+PO ф ~ g-*(Pe*+ P sz) х
О
оо
X j e i(nnho/2Ps)-(p-os)2 ^ (р — р 3) = "
— СО
= (1 + 0 J + |
e- i(V+M). (9.3.32) |
П 2^о ~у |
^ |
Для оценки интеграла была использована формула (2.3.23). В (9.3.27) необходимо было вычислить лишь интеграл (9.3.32). Разложим sin и cos по экспоненциальным функ циям. В разложении необходимо рассмотреть только ту его часть, которая содержит функции вида (9.3.28). Экспоненциальные функции с аргументами (pz — рх) дают незначительные вклады при х я z больше нуля. Множи тели при экспоненциальных функциях можно рас сматривать как постоянные в точке р = ps и их можно вынести из-под интеграла. Окоичательное интегрирование
Нерегулярные диэлектрические |
волноводы |
453 |
||||
выполнено в (9.3.32). Таким |
|
образом, |
имеем |
|
||
[я (1 г) k0Ps У Ps У 2шрqP {ill— nl) X |
|
|
||||
X cos Kpdocos as d0etPsCioe,rsL/2] |
|
^ |
|
|||
[ 2/г3 У n ]/~ ^ Po^o ~r |
j X |
|
|
|
||
X (pscos asd0-\-iossin asdQ)j |
|
|
|
|||
■ г |
L |
-inzkoix sin a s+zcos a s) |
|
|||
sm I s |
-s- |
(9.3.33) |
||||
X ----- ----------------------- |
|
|
-y = |
------------- , |
||
1 s |
|
|
у |
z |
|
|
где |
n2/c0since* |
|
|
(9.3.34) |
||
ps= |
|
|
||||
и |
n2/cocosa*, |
|
|
(9.3.35) |
||
P* = |
|
|
||||
а Г* получается из (9.3.16) заменой p на (3*. Выражение для составляющей поля в дальней зопе указывает па не сколько интересных особенностей. Видно, что поле рас пространяется примерно так же, как плоская волна под углом as, под которым поле приходит в точку х, z из источника в области нерегулярного участка х). Для поля в дальней зоне источник ограниченной протяженно сти подобен точечному источнику, расположенному в на чале координат. Последний множитель выражения (9.3.33) представляет собой цилиндрическую волну. Это становится более очевидным, если ввести в соответствии с (9.3.31)
и |
a:= |
?-sinas |
(9.3.36) |
|
z= |
rcosa*. |
(9.3.37) |
||
|
||||
Тогда получается соотношение |
|
|||
г |
-—inzhotx sin Gts+z cos a s) |
„____ „-inzhor |
||
/ P |
s ----------zrp---------- = V n 2k0e— — . (9.3.38) |
|||
|
Vz |
|
V r |
|
Появление здесь вместо сферической волны цилиндриче ской связано с двумерной геометрией волновода. Наиболее
*) Из этого примера видно, что суперпозпцпя стоячих воли излучения в интегральном разложении дает распространяющуюся волну.
454 Глава 9
важным множителем в формуле (9.3.33) является
• г |
L |
si» Г8 |
-5- |
G= |
(9.3.39) |
*S
Известно, что on является приближением дельта-функцпи для возрастающих значений L. Чтобы величина G/л была хорошей аппроксимацией дельта-функции, необходимо, чтобы L было много больше длины волны К. Это условие не противоречит условию (9.3.25), при котором было полу чено поле в дальней зоне. Множитель (9.3.39) определяет диаграмму направленности излучения участка плоского вол новода с синусоидальным возмущением стенки. Главный ле
песток атой |
диаграммы становится уже с увеличением L. |
||
Направление |
главного |
лепестка в пространство задается |
|
формулой |
Г, = |
0 —(р0_ р ’,) = 0. |
(9.3.40) |
Поэтому основное излучение происходит только в направ лении, определяемом из формулы (9.3.35):
соза, = -^ = ^ -. |
(9.3.41) |
"2*0 |
|
Излучение направлено перпендикулярно поверхности вол новода при 0 = ро п по касательной к его поверхности при 0 = Ро — »2^о- Другими словами, излучение перпендику лярно поверхности при ps = Он приближается к касатель ному с увеличением |3S. При ps ~ п2к0 излучение главного лепестка параллельно поверхности волновода. Большие значения постоянных распространения мод излучения не возможны. При ps > п2к0 получаем направляемые моды. Данное рассмотрение достаточно ясно показывает, каким образом поле излучения становится все более направлен ным вперед и как его направление достигает своего пре дела — направления, параллельного оси волновода, кото рое сливается с направляемой модой. При рассмотрении направления излучения лепестка диаграммы направлен ности и изменения этого направления предполагалось, что можно непрерывно перестраивать механическую частоту 0. Точность приближения в формуле (9.3.22) возрастает при увеличении угла a s, определенного в (9.3.41).
Читатель может удивиться, что обсуждению плоского волновода с синусоидальными искажениями стенки отве-
456 Глава 9
которое всегда можно представить в виде интеграла Фурье. Если спектр функции искажения стенки известен, можно вычислить потери на излучение спомощью формулы (9.3.42). Обычно спектр мощности функции искажения стенки не из вестен, поэтохму необходимо изучить некоторые модели, чтобы попять и оценить ожидаемые потери. Вместо изу чения моделей с различными «спектрами мощности» мы в следующем разделе воспользуехмся статистическим под ходом.
С помощью теории возмущений было показано, что потери на излучение, испытываемые направляемой модой, можно вычислить даже для достаточно длинных участков волноводов. Теперь покажем, что аналогичный подход можно использовать для изучения взаимодействия между направляемыми модами. Нельзя, конечно, непосредственно распространить формулу для потерь (9.3.10) на (9.3.22). Потери по формуле (9.3.10) не зависят линейно от L, поэто му пз нее нельзя определить потери на единицу длины. Физические соображения, использованные для получения соотношения (9.3.22) пз (9.3.19), неприменимы в дан ном случае к направляемым модам, поскольку мощность, переходящая от падающей моды к паразитной моде, остает ся в волноводе и продолжает распространяться, взаимо действуя с падающей модой. Существуют определенные закономерности связи направляемых мод, вызванной стро го синусоидальным искажением стенки, которые можно использовать для получения решения, справедливого за пределами применимости теории возмущений. Выше мы видели [см. формулу (9.3.7)], что при синусоидальном иска жении стенки эффективно связаны только две направляе мые моды. Поэтому пренебрежем влиянием всех других направляемых мод п поля излучения и будем считать, что взаимодействуют только две направляемые моды, связан ные синусоидальным искажением стенки. Обозначая ампли тудные коэффициенты этих двух мод через с0и щ, из урав нения (9.2.6) получим
д2ер |
2 ifo - ? g - = - c 0F00- c iF10 |
(9.3.44) |
9z2
и
(9,3.45)
Нерегулярные диэлектрические волноводы |
457 |
Эта система уравнений применима только в особом случае синусоидально изменяющейся функции искажения стенки. Здесь диагональные члены F00 и Fn изменяются синусои дально в зависимости от z. Они представляют собой сину соидально изменяющиеся поправки к постоянной распро странения для регулярного волновода, стенка которого имеет среднее положение. Так как рассматривается незна чительное отклонение стенки, то этими диагональными членами можно пренебречь. Предположим, что обе моды распространяются в положительном иаправленип осп z. В отсутствие связи коэффициенты с0и Cj являются постоян ными. Для слабой связи, которая рассматривается в дан ном случае, с0 и щ изменяются на длине волны очень незначительно. Поэтому можно пренебречь вторыми про
изводными коэффициентов |
с0 н с, по сравнению с много |
|||
большими произведениями |
первых |
производных на 2 р. |
||
Пренебрегая |
указанными |
малыми членами, |
получим |
|
следующую |
упрощенную |
систему |
уравнений |
[сравните |
с уравнениями связанных волн (2.7.15) и (2.7.16)]: |
||||
|
дс0 |
= —XCj |
|
(9.3.46) |
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
(9.3.47) |
Коэффициенты связи в (9.3.46) и (9.3.47) можно определить из формулы (9.2.7). Однако проще воспользоваться фор мулами (9.2.34), (9.3.8) и (9.3.9) при L = z. Учитывая, что коэффициент с0 равен единице в формуле (9.2.34), путем дифференцирования по z п сравнения с (9.3.47), получим
a k f i COS K Q d g COS X jd 0 |
. (9.3.48) |
|
M o + ^r) ( M o + -?r
Члены типа cos xd0 можно исключить с помощью формулы (8.6.16). Коэффициент связи является вещественной вели чиной. Коэффициент связи для соотношения (9.3.46) полу чается заменой с0 на cLв (9.2.34). Как видно из формулы (9.3.48), коэффициент х инвариантен относительно пере становки индексов 0 и 1. Изменение в знаке в (9.3.46) можно получить, рассматривая коэффициенты Фурье