ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
Однако в этом случае пользуются иногда понятием эффективной температуры, равной средней энергии, приходящейся на две сте пени свободы частицы. В ударной волне все частицы набирают одинаковую скорость и, следовательно, эффективная температу ра возрастает с их массой.
В заключение приведем определение о п т и ч е с к и |
т о н к о |
го и о п т и ч е с к и п л о т н о г о плазменных слоев. |
Плазмен |
ный слой является оптически тонким, если оптическая толщина слоя t мала, т. е.
где I — средняя длина свободного пробега фотона в плазме; R [ — толщина плазменного слоя. В случае обратного неравенст ва плазма является оптически плотной. Отметим, что сущест вует некоторая определенная связь между оптической толщиной плазмы и степенью ее термодинамической неидеальности.
§ 2. СТЕПЕНЬ «УПОРЯДОЧЕННОСТИ» ПЛАЗМЫ
Вдостаточно большом объеме V плазма электронейтральна.
Впротивном случае она неустойчива. Условие электронейтраль ности имеет вид
2 ^ = |
0, |
(2.1) |
( |
и плотность |
i-й компоненты |
где Z, и fij — соответственно заряд |
||
плазмы. В малых объемах плазмы |
(порядка го3) |
условие элект |
ронейтральности нарушается. Точнее, характерный размер элек тронейтральности плазмы определяется радиусом экраниро
вания. |
Такой характерной |
длиной |
в |
разреженной плазме яв |
ляется |
р а д и у с Д е б а я |
/о> г0 |
(см. |
ниже). Поэтому обычно |
говорят не о нейтральности плазмы, а о ее к в а з и н е й т р а л ь ности.
До сих пор мы обсуждали плазму как систему точечных за ряженных и нейтральных частиц. В реальной плазме всегда имеется взаимодействие между частицами, которое усложняет само понятие частицы. Пусть в некоторой точке объема, содер жащего плазму (лучше сказать, области), имеется неоднород ность в распределении заряда, например избыток положитель ного заряда. Тогда электроны, которые весьма подвижны, будут стремиться попасть в эту область для восстановления электро нейтральности. В результате положительный заряд экранируется электронным облаком. Медленно движущийся ион с электрон
ным облаком можно |
рассматривать как новую части |
цу— к в а з и ч а сти цу, |
взаимодействие которой с остальными |
частицами ослаблено. Характер экранирования и его эффект зависят от состояния плазмы — ее температуры и плотности.
Оценим эффект экранирования в случае системы медленных частиц. Характерную длину экранирования можно оценить, рас сматривая реакцию системы электронов на статический положи
13
тельный заряд q. Пусть этот заряд находится в начале коорди нат. Тогда можно написать уравнение Пуассона для электро статического потенциала ф(г), действующего на заряженные частицы вдали от начала координат и обусловленного наличием заряда q, а также изменением плотности плазмы в окрестности этого заряда:
V 2<P(г) = — 4т/б (г) + 4яе6и (г), |
(2.2) |
где 6п (г)— изменение плотности электронов, вызванное |
внесе |
нием точечного заряда q; 6 (г) — дельта-функция. |
|
Рассмотрим два случая:
1) реакцию системы, представляющей собой квазиклассическую разреженную плазму, которую в дальнейшем будем назы вать д е б а е в с к о й ;
2) реакцию вырожденной плотной плазмы, для которой мал
параметр rs: |
|
|
Г* = г0/йо € 1• |
(2.3) |
|
Поскольку в первом случае |
параметр Т11СЛ<С 1 |
[см. условие |
(1.3)], то можно написать |
|
|
и (г) — п0 ехр (— ец>/кТ) — n0 (1 — ey/kT). |
(2.4) |
|
Тогда |
|
|
6н (г)= |
п0е(р/кТ. |
(2.5) |
Во втором случае параметр г|кв также мал [см. условие (1.14)], тогда, записывая плотность электронов в приближении Тома са — Ферми, имеем:
п (г) = (1/3л2) {(2m/h2) [eF-f еср(г)]}’/г = п0 + 8п (г), |
(2.6) |
где по — равновесное значение плотности электронов.
Разлагая выражение (2.6) |
по малому параметру tikb и огра |
|
ничиваясь первыми двумя членами, получим |
|
|
8п (г) = |
(3/2) n0eq>/eF. |
(2.7) |
Подставив формулы (2.5) и (2.7) в уравнение Пуассона (2.2), получим уравнение
|
(V 2 — я2) ср (г) = — 4nq8 (г), |
|
|
(2.8) |
|
где параметр х2 соответственно |
для дебаевской |
и |
квантовой |
||
плазм имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
Хкл — 4ле?п0ГкТ; |
ХкВ= бле2 n0/eF. |
|
(2.9) |
|
Решение |
же уравнения (2.8) дает выражение |
для |
потенциала |
||
экранирования |
|
|
|
(2.10) |
|
|
Ф (г) = (q/r) ехр (—хг). |
|
|
||
Величина |
lD= 1/х называется |
д е б а е в с к о й |
длиной , или |
||
д е б а е в с к и м р а д и у с о м э к р а н и р о в а н и я . |
Аналогичную |
||||
14
величину для квантовой плазмы lF можно назвать д л и н о й э к р а н и р о в а н и я Ферми.
Отметим, что в электронном газе, плотность которого близка к значению, характерному для металлов, потенциальная энергия на частицу е2/г0 сравнима с кинетической энергией на частицу, так что lF~ r Q. Следовательно, экранирование очень эффективно в представляющей физический интерес квантовой плазме.
Для простоты выкладок выше рассмотрена реакция системы электронов на положительный заряд q. Обобщение задачи на случай реакции многокомпонентной плазмы не представляет ни какого труда. Так, для многокомпонентной дебаевской плазмы
*кл = (4яe2/kT) ]£] ntZ l |
(2. 11) |
I |
|
Для практических расчетов удобно пользоваться следующей простой формулой:
где Т — температура, °К; tii — плотность, см-3.
Предыдущее рассмотрение может вызвать ряд естественных вопросов. Почему, например, была рассмотрена лишь полностью вырожденная плазма при Т = 0 во втором случае? Во-первых, обобщение на конечные температуры в приближении Томаса — Ферми не представляет большого труда. Во-вторых, если инте ресоваться низкотемпературной вырожденной плазмой, когда %Т/еР<С 1, то это сделать еще легче. Но для низкотемпературной плазмы уже приближение Т= 0 является достаточно хорошим в таких оценках. Физически это можно объяснить тем, что при тем пературах, соответствующих нескольким десятым электронвольта (1 эв~ 11 600°К ), возбуждается лишь малая доля элект ронов *.
Далее, имеет ли смысл решать уравнение Пауссона без ли неаризации, приводящей к линейному уравнению (2.8)? Кстати, такие работы без линеаризации с численным решением нели нейного уравнения Пуассона иногда появляются в печати. Мож но утверждать, что такие работы вряд ли имеют физический смысл. Дело в том, что уравнение для потенциала ср (г) есть уравнение для среднего значения потенциала. Нелинейность же уравнения для <р(г) означает, что в левой части его проводится усреднение ср(г), а в правой — функции от <р(г). Поскольку среднее от функции отнюдь не равно функции от среднего, то указанные выше работы неверны, если при этом нет специаль ного доказательства малой роли флуктуаций.
* Отметим, что температура вырождения для электронов в металлах по рядка нескольких электронвольт.
15
Наконец, хотелось бы предостеречь также от довольно рас пространенной ошибки, заключающейся в том, что в некоторых работах как по термодинамике, так и по кинетике плазмы по тенциал ф(г) рассматривается как потенциал парного взаимо
действия. Это принципиально неверно. В одной |
из следующих |
|||
глав будет доказана ошибочность такого представления. |
|
|||
Эффект экранирования часто называют поляризацией заря |
||||
дов. Подчеркнем, что |
приближение Томаса — Ферми не |
точно. |
||
Оно справедливо, когда неоднородности задачи |
мало |
сказы |
||
ваются на расстояниях |
порядка |
|
|
|
ГоДругими словами, |
приведен |
|
|
|
ное вычисление для |
квантовой |
|
|
|
плазмы справедливо, если |
часть |
|
|
|
потенциала, связанная |
с |
собст |
|
|
венным действием заряда q, мед- |
|
|
||
/ г
г\ ч.
\ч^ /
0<V<VT
|
v= 0 |
|
|
|
Рис. 2. Экранирование положительно |
Рис. 3. Динамическое экранирование |
|||
го заряда |
в дебаевской плазме, дви |
положительного заряда при |
скорости |
|
жущегося |
со скоростью, меньшей ско- |
движения, превышающей |
скорость |
|
' |
|
рости звука. |
звука в плазме. |
|
ленно меняется в пространстве. Если заряд покоится, то поля ризация сферически симметрична. При рассмотрении экраниро вания прямолинейно и равномерно движущегося заряда со ско ростью у< с, где с — скорость звука в плазме (vT~ c , где vT— тепловая скорость частицы), качественно картина остается прежней, но меняется форма поляризационного облака, которое движется вместе с зарядом (рис. 2). Форма поверхностей рав ных плотностей представляет собой сплющенные в направлении движения заряда эллипсоиды вращения с соотношением осей
1 :1 /1 / (vT/v)2—1 (v<vT). При v > v T характер поляризации резко меняется: появляется возбуждение продольных волн, т. е. объемных колебаний плазмы. Эффект напоминает эффект Вави
лова— Черенкова, когда скорость электрона |
превышает фазо |
вую скорость света в среде. Отличие состоит |
в возбуждении |
продольных, а не поперечных колебаний, как это имеет место в эффекте Вавилова — Черенкова.
Поляризация при v > v T знакопеременна и обладает в конусе периодической структурой (рис. 3). Если перейти к системе ко
16
ординат, связанной с зарядом, то окажется, что экранирование в этом случае как бы ослабляется:
кэф = (vT/vf. (2.12)
Последние соотношения легко получить из уравнений, описы вающих дебаевскую плазму в гидродинамическом приближении. Подробнее эти вопросы изложены в работе [2].
Эффект экранирования движущегося заряда, только что рас смотренный для дебаевской плазмы, можно в отличие от стати ческого назвать д и н а м и ч е с к и м э к р а н и р о в а н и е м . Подобное экранирование движущегося заряда должно сущест вовать и в квантовой плазме. Для описания этого экранирова ния необходимо рассмотреть также временную задачу с самосо гласованным полем. Предположим, что введенный в плазму заряд q движется с некоторой скоростью V. Плотность заряда, создаваемая им, равна
qne(r, t) = <76 (г — W),
если предположить, что в момент t = 0 заряд |
находится в нача |
ле координат. Можно ожидать, что внешний |
заряд q будет по |
ляризовать электроны в некоторой окрестности. При этом флуктуация плотности электронов Ьп будет зависеть от вре мени. Тогда вместо уравнения (2.2) можно написать:
Дф (г, f) = — 4л [96 (г —vf) — е8п (r< t)].
Выполнив преобразование Фурье по координатам и времени, получим
Ф (k, to) = [q■2л8 (to— kv) — ebn (к, to)).
Задача сводится, таким образом, к определению поляризаци онной плотности заряда e6n(k, to), которая является мерой ди намического экранирования в электронном газе.
Отметим, что рассмотрение вопросов динамики и кинетики плазмы не является целью этой книги. Кинетические и динами ческие аспекты теории плазмы будут затрагиваться лишь в той мере, насколько это необходимо для предстоящего решения и понимания термодинамических задач.
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|
1. |
Веденов А. А. Термодинамика плазмы. — В сб.: |
Вопросы теории плазмы. |
2. |
Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 1. М„ Госатомиздат, 1963, с. 87. |
|
Власов А. А. Теория многих частиц. М„ Гостехиздат, 1950. |
||
3. |
Ключников Н. И., Тригер С. А. «Ж. эксперим. |
и теор. физ.», 1967, т. 52, |
|
с. 276. |
|