Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Г л а в а в т о р а я

ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА.

ЗАРЯЖЕННАЯ КОМПОНЕНТА

§ 3. ПОЧТИ ИДЕАЛЬНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ПЛАЗМА (ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ]

Задача вычисления термодинамических функций может быть решена точно лишь для полностью идеальной плазмы, когда можно пренебречь взаимодействием частиц в системе. Тогда плазму можно рассматривать как смесь идеальных газов: элек­ тронов, ионов и нейтральных частиц. При этом свободная энер­ гия полной системы аддитивно складывается из соответствую­ щих значений свободной энергии для отдельных компонент плазмы. Система хорошо описывается элементарной кинетиче­ ской теорией газов.

При достаточно высоких температурах и низких давлениях (разреженный газ) система проявляет обычные свойства клас­ сического газа: теплоемкость Cv не зависит от температуры, в случае газа фермионов (частиц с полуцелым спином) спиновая восприимчивость обратно пропорциональна температуре, т. е. подчиняется закону Кюри и т. д. При увеличении давления и понижении температуры до известных пределов (см. первую глйву) плазма остается в состоянии, близком к идеальному, од­ нако относительная роль потенциальной энергии возрастает и плазма становится почти идеальной или слабо неидеальной.

Если взаимодействие еще несильное и выполняется крите­

возможно с заданной точностью. При этом неидеальность плаз­ мы можно учесть в виде поправок к термодинамическим функ­ циям идеального газа. Согласно § 1, неидеальность частично ионизованной плазмы начинает проявляться раньше по заря­ женной компоненте, чем по нейтральной (при пропорциональ­ ном увеличении плотности) из-за дальнодействующего характера кулоновских сил. Если плазма слабо неидеальна, то свободную энергию по-прежнему можно считать аддитивной и исследовать заряженную и нейтральную компоненты как две статистически независимые подсистемы.

Рассмотрим сначала подсистему заряженных частиц в де­ баевском приближении. При рассмотрении дебаевской плазмы, определенной в § 1, будем учитывать лишь первую поправку в термодинамических функциях по малому параметру т], которую

18

получим путем простых рассуждений. В дальнейшем найдем и следующие члены разложения по параметру ц, но это уже не столь простая задача.

Итак, разность введенного в § 1 потенциала <р (г) и куло­ новского потенциала для частицы с зарядом Ze на малых рас­ стояниях (заряд находится в начале координат)

Высшие члены разложения по малой величине кг исчезают при /■-*-0. Таким образом, электростатическое взаимодействие соз­ дает в точке, где находится частица, добавочный отрицательный потенциал, равный —Zex. Если умножить эту величину на за­ ряд частицы и просуммировать по всем частицам в единице объема, то в результате получим

(1/2 появляется ввиду того, что каждую пару взаимодействую­ щих частиц следует учитывать один раз). Полученная плот­ ность электростатической энергии Екул такова, как если бы все частицы притягивались друг к другу на расстоянии 1в ==к~'. Отметим, что знак Екул отрицателен, так как каждая частица создает вокруг себя облако зарядов противоположного знака. Величина к2 определяется формулой (2.11), тогда

где е — внутренняя энергия системы. Тогда для свободной энер­ гии системы в единице объема получим

(3.5)

где F ид •— свободная энергия идеального газа в единичном

объеме. За нижний предел принято значение р=1/%Г = 0, что физически соответствует бесконечному отношению кинетической энергии на частицу к потенциальной энергии на частицу, т. е. случаю идеального газа. Для полной свободной энергии системы объема V имеем

19

где Ni — число частиц данного сорта в объеме V. Зная свобод­ ную энергию F, т. е. термодинамическую функцию системы в переменных Т, V, N, легко получить любое термодинамическое соотношение. Так, для уравнения состояния имеем [8]

и Cv, которые читатель может всегда получить, рассматривая это как легкое упражнение.

Поправка к свободной энергии, учитывающая кулоновское взаимодействие, была впервые, правда несколько иным спосо­ бом, получена в теории электролитов Дебаем и Хюккелем и

тельно в целях экономии времени и места. В дальнейшем ис­ пользуем получение дебаевской поправки разными методами в качестве «пробного камня» для каждого нового подхода в тер­ модинамике плазмы.

* Дебаевская поправка имеет смысл, если она мала по срав­ нению с основным членом термодинамической функции, т. е. если Fd= —х3/(12яр) <СЕИД. Эта поправка мала при малой плот­ ности заряженных частиц п, которую формально можно рас­ сматривать как малый параметр задачи. Если это так, то не является ли дебаевская поправка обычной поправкой, вводимой в термодинамике разреженного газа через вириальное разложе­ ние? Не определяется ли она в уравнении состояния просто вторым вириальным коэффициентом В(Р) в разложении для давления по степеням п?

Для системы частиц с кулоновским взаимодействием это не так. Общее выражение для В(р) в случае центральных сил имеет вид [6]

20

кает соблазнительная мысль: нельзя ли рассмотреть вириальное разложение не для кулоновского, а для дебаевского потенциала ф(г) ~ (е/г)ехр(—кг), который является коротко­ действующим? Иными словами, нельзя ли рассматривать деба­ евский потенциал как потенциал, описывающий парное взаимо­ действие экранированных частиц в плазме? Если это так, то можно попробовать подставить ф(г) в выражение (3.10) и вы­ числить интеграл. Для простоты продемонстрируем это вычисле­ ние в случае однокомпонентной плазмы (система электронов) с плотностью n = N/V. Рассмотрим поправку к давлению, обус­ ловленную вторым вириальным коэффициентом:

где х = фА 4яе2пр. Сделаем в подынтегральном выражении инте­ грала I замену переменных: y.r= t. Тогда

необходимо учесть члены, включая квадратичные по п. Даль­ нейшее разложение нельзя делать, так как второй вириальный коэффициент не может вносить в АРее члены более высокой степени по плотности. Можно легко убедиться с помощью про­ стого вычисления, что члены порядка а-2 при сложении выра­

21