Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

При этом можно написать

РАРее = ----—(ярз)1/г е3/!4 , -----— (е2Р)3 п21п (е2|3х) +

части характеризует дебаевскую поправку к давлению.

Обратим внимание на то обстоятельство, что буквенное вы­ ражение для дебаевской поправки при таком рассмотрении по­ лучается правильным, но численный коэффициент не верен [сравним с выражением (3.7)]. Это доказывает сделанное в § 2 утверждение, что дебаевский потенциал нельзя трактовать как потенциал парного взаимодействия экранированных заряжен­ ных частиц, а плазму нельзя рассматривать как эффективную систему квазичастиц (ион+ электронное облако) с короткодей­ ствующими силами взаимодействия.

Однако такое простое вычисление дает для следующих чле­ нов разложения по плотности (логарифмического и квадратиче­ ского) правильные выражения не только буквенные, но и с пра­ вильными численными коэффициентами. Это будет показано в дальнейшем при более строгом подходе к вычислению поправок к дебаевскому члену. Можно сделать вывод, что дебаевский член не описывается вторым вириальным коэффициентом ни для ку­ лоновского, ни для эффективного парного взаимодействия за­ экранированных частиц в плазме. Учет кулоновского взаимо­ действия в рамках теории Дебая — Хюккеля отражает коллек­ тивное взаимодействие многих кулоновских частиц в плазме в 'приближении самосогласованного поля.

§ 4. СВЯЗЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ПЛАЗМЕ

Рассмотрим классическую систему заряженных частиц, для простоты электронов *, в состоянии термодинамического равно­ весия при температуре Т в большом объеме V. Установим сна­ чала функциональную связь между свободной энергией системы и бинарной функцией корреляции Kz{r\, г2).

Как известно, функция корреляции s частиц в классике оп­ ределяется как интеграл от распределения Гиббса по неполно­ му объему фазового пространства. Так, для системы N частиц

* Каждый раз, когда мы говорим о системе электронов, предполагаем устойчивость системы, т. е. рассматриваем систему электронов на фоне рав* иомерно распределенного положительного заряда.

22

В частности, бинарная корреляционная функция определяет ве­ роятность найти частицу 2 в точке г2, если частица 1 находится в точке Гь

Функции корреляции нормированы, как обычно, на конфи­ гурационный интеграл системы ZN. В случае центральных сил и в отсутствие внешнего поля /С2(Гь г2) зависит лишь от разности координат двух частиц:

Введем внешний термодинамический параметр системы А, который умножается на константу взаимодействия и меняется от 0 до 1. Это очень удобный прием, часто используемый в тер­ модинамике. Случай 1=1 отвечает реальному взаимодействию. При А=0 взаимодействие отсутствует и система является тер­ модинамически идеальной. Тогда вместо выражения (4.2) имеем

а взаимодействие описывается функцией мг-к=АИг к- Для про­ стоты выкладок положим объем систему У = 1, а затем восста­ новим его в окончательном результате из размерных соображе­ ний. Продифференцируем выражение для свободной энергии классической системы

Последнее равенство достаточно очевидно, так как при вычисле­ нии интеграла в числителе можно выделить парное взаимодействне, а две частицы можно выбрать из числа N частиц

(N—l ) N / 2 ^ N2/2 способами.

23

Интегрируя выражение (4.6) по К в пределах от 0 до 1 и вспоминая о конечном объеме системы, получим

О

где г — относительная координата двух частиц. Обобщение на случай многокомпонентной системы не представляет труда. В результате получим

расписать в явном виде лишь в простых случаях. Во многих задачах удобнее пользоваться выражением для бинарной функ­ ции корреляции, о характере которой можно судить, в частно­ сти, анализируя экспериментальные данные. Зная свободную энергию F, можно написать и функциональное выражение для давления, т. е. уравнение состояния. Можно предложить сделать это в качестве упражнения читателю после обсуждения выра­ жения для бинарной функции корреляции Kz{П, г2).

Уравнение состояния можно выразить через K z (t i, г2), исходя и из других соображений. Используем хорошо известную в ме­ ханике теорему вириала, согласно которой

гих частиц); символ < > означает усреднение по каноническо­ му ансамблю.

Теорема вириала определяет отношение средней кинетиче­ ской энергии механической системы к средней потенциальной энергии системы. Эта теорема справедлива как в квантовой, так и в классической механике. Она широко используется, на­ пример, в молекулярной физике при определении межмолеку­ лярных сил и для получения уравнения состояния. Приведем вывод этой важной теоремы.

Рассмотрим одномерное движение классической частицы под действием силы f,:

ib)x = mtxt.

Умножим это уравнение движения на Х{/2:

24

При усреднении этого уравнения по достаточно большому про­ межутку времени т последний член исчезает. Действительно,

\» .2

=[(*М =т — (*М =о] = °>

поскольку Хг±г остается ограниченной величиной (если частица заключена в конечной области пространства), тогда как т мо­ жет быть неограниченно большим. Таким образом,

консервативных сил эту теорему можно записать через среднее значение потенциальной энергии. Если потенциальная энергия системы является однородной функцией координат, т. е.

и (агь аг2, . . ., а » ) = сски (гъ г2, . . . ,ГлД,

где а — произвольное действительное число, а также производ­ ные этой функции непрерывны, то, согласно известной теореме Эйлера:

В этом и состоит утверждение теоремы вириала в классиче­ ской механике. В случае гармонического осциллятора, напри­ мер, для и = — (1/2)хх2 (к = 2) имеем < ы > = < £ кин> . Это единственный в природе случай, когда энергия равномерно рас­

25

где

из теоремы вириала следует:

< 3 ( и а — 2ыг) > = < Е КИН> .

Обобщение этой теоремы на квантовомеханические системы следует, вообще говоря, из принципа соответствия. Ввиду важ­ ности теоремы вириала приведем ее вывод в квантовом случае. Запишем уравнение Шредингера для волновой функции 4я и ее сопряженной величины 4я* для системы N частиц

Подставим сюда величину (и—Е )^* из второго уравнения:

Первый член можно преобразовать к более удобному виду, пользуясь соотношением

26