Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

содержащих по одной вертикальной линии, что соответствует (N—2) свободным частицам, и одна группа из двух линий, сое­

Для группы из двух линий (частиц)

i

Для группы из трех частиц

\y\y

О Л А А /

+диаграммы с четырьмя и большим числом линий взаимодей­ ствия.

Формально майеровские диаграммы можно получить из вышеприведенных диаграмм стягиванием вертикальных линий в точки. Если при этом между вертикальными линиями имеется

168

несколько линий взаимодействия, то они сольются в одну ли­ нию. Например, можно проследить такое соответствие:

ПиЛ

л г и

Л П и

пил пил пил

Различие между квантовомеханическими и классическими

ный эффект от этих взаимодействий. Из определения квантово­ механических групповых сумм видно, что начиная с эти

суммы имеют бесконечное число членов. Это также отличает групповые суммы, введенные здесь, от соответствующих груп­ повых сумм в теории Майера.

С помощью групповых сумм S;(q*, Р; q'', р') (г, /, «:... = /)

разложение (15.18) для функции распространения N частиц GJV(qJV, Р; ПЛ", р') можно символически записать в виде

Здесь суммирование распространено по всем возможным рас­

формулу (15.7)]:

Оно формально совпадает с классическим представлением ZN в теории Майера. Отличие состоит в том, что групповые инте­ гралы, определенные как

169

полученное выражение по / от 1 до оо. Тогда слева получится статистическая сумма для большого канонического ансамбля,

а справа — разложение функции exp |( ^00 zlVbi}. Отсюда термо­ динамический потенциал получаем в виде:

Суммирование диаграмм для кулоновской системы частиц

Для системы заряженных частиц отдельные групповые ин­ тегралы расходятся, поэтому для получения конечных резуль­ татов необходимо, вообще говоря, просуммировать весь ряд (15.25), что в общем случае неосуществимо. Возможно, однако, из каждого группового интеграла 6; ( /= 1, 2, ...) выделить определенные частные интегралы, число которых бесконечно, и вычислить их сумму в явном виде, получив при этом конечное выражение.

Для осуществления этой идеи полезны следующие сообра­ жения: поскольку ряд теории возмущений представляет собой разложение по константе связи е2, то члены каждого частного ряда, выделенного из общего ряда, должны располагаться по возрастающим степеням е2. При этом наибольший вклад в тер­ модинамический потенциал Q дают частные ряды, члены кото­ рых содержат наинизшие степени е2. Диаграммный метод су­ щественно упрощает процедуру построения таких частных ря­ дов. Из каждой групповой суммы можно выделить диаграмму с наименьшим числом линий взаимодействия и просуммиро­ вать все такие диаграммы.

Рассмотрим графики для групповых сумм Si и выделим в каждой из них диаграммы с наименьшим числом линий взаи­ модействия, что соответствует выделению частных групповых

170

теграле 62 член, линейный по е2. Этот член в электрически ней­ тральной среде обращается в нуль. Отметим, что условие квази­

одна из вертикальных линий имеет лишь один узел), также не дает вклада в Q. По этой причине в групповой сумме Бц к диа­

(15.28)

Множитель (—1)' в формуле (15.27) учитывает знакопеременность ряда теории возмущений, а (/—1) ! — число способов построения кольца (число различных перестановок вертикаль­ ных линий); коэффициент 1/2 возникает вследствие необходи­ мости интегрировать по всем ориентациям кольца, так что в любой точке кольца правое и левое направления эквивалент­ ны. Подставляя формулу (15.27) в выражение (15.26), получаем

171