ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 204
Скачиваний: 0
Используя ранее описанные правила подсчета диаграмм, найдем, что диаграмме (15.43) соответствует величина
РАО' (I) |
1 |
(15.44) |
|
2 (2яЬ)3 |
|||
V |
|
где
U (Р) = I Ф( I Ч I . 6. Р) ехР (ipq) dq.
Определим теперь О (р) |
из |
условия |
равенства подынтеграль |
|
ных выражений |
(15.43) |
и (15.44), тогда |
||
|
4я^ V |
ngw |
(15.45) |
|
0 ( р) = |
^ H i + sn<,"> |
|||
|
Р2 |
|
||
Таким образом, |
приходим к выводу, |
что кольцевая диаграмма, |
||
соответствующая выражению (15.29), и эффективная двухча стичная диаграмма (15.43) дают эквивалентные вклады в тер модинамический потенциал.
Попытаемся теперь заменить диаграмму, изображенную на
рис. 19, б, |
эффективной двухчастичной диаграммой с одной |
||||
волнистой |
линией и двумя |
пунктирными. |
Введем обозначение |
||
[см. формулы (15.33)]: |
|
-5(к, ,кг) . , |
|
||
|
РАЙ" (1) |
|
|
||
|
|
Р |
apidpi |
(15.46) |
|
|
4я (2яЙ)е |
2 j |
I(1+ЕП<,«‘)) (1+Еп£*>) |
||
|
|
||||
|
|
|
|
||
Аналогично предыдущему имеем
AQ" = f ДО" © dl.
о
Введем следующую эффективную двухчастичную Грина
\ j \ f \ J
\Ь^>Ч'Лр'> ZZZZ
функцию
(15.47)
Этой диаграмме соответствует величина |
|
||||
Р*3(Е) |
|
1 |
Г U (Pi) |
U(РА p(Kt’K‘) pfpidp^pt. |
|
V |
|
4 (2яй,)в |
4л |
4л |
|
|
|
|
к, ,К, |
|
|
Из сравнения этого выражения с |
формулой (15.46), |
однако, |
|||
следует, что |
|
|
|
(«1,К2) |
|
£/(Pi)tf(P*) |
4я-4п |
|
.к,) |
(15.48) |
|
2 2 |
X |
р |
|||
|
Р Г Р г |
к, ,к , |
|
|
|
|
к,,к, |
|
|
||
178
т. е. слева мультипликативная величина по переменным Pi и р2,
а справа нет. Поэтому в |
общем случае заменить диаграмму |
|||
рис. 19,6 диаграммой (15.47) нельзя. |
в правой части |
ограни |
||
Однако если |
в суммах |
по /С| и к2 |
||
читься нулевыми |
членами |
(ki = /c2 = 0), |
то возникает |
мульти |
пликативное выражение и
f/(Pi)t/(p2) =
откуда
4я |
|
4я |
PI |
£П<°> |
Pi 1 + |Пр |
|
|
|
|
|
ц (р) = |
. ----1---- |
|
(15.49) |
|
|
|
|
W |
р* 1+П<°> |
|
|
|
Заметим, |
что при /с = 0 формула |
(15.45) также |
сводится к |
||||
этому |
выражению. |
Следовательно, |
нулевые члены |
рядов |
|||
(15.43) |
и |
(15.48) |
можно |
описать диаграммами |
(15.43) и |
||
(15.47), |
в которых |
потенциал (пунктир) один и тот |
же. |
Выра |
|||
жение для последнего при больших и малых импульсах можно получить просто. Так, при малых р
^ Алеа2 1а§ |
|
4я£ |
(15.50) |
Пр(0) — у?Ip1-, у? |
О (р ) — |
р- + gx2 |
|
1<а<М |
|
|
|
т. е. эффективный потенциал О (р) |
принимает |
дебаевский вид. |
|
В координатном представлении |
|
|
|
(' |
exp (— i pq) dp _ |
2я2 J |
p2 + lx2 |
-exp (— )/ lyq)
q
Наоборот, при больших импульсах частиц (малые расстояния)
|
ПР(0 ) - 4а4 |
[Ч 4яe2z $ \* /‘_ |
|
||
|
а = |
|
(15.51) |
||
|
|
Р4 |
.1</<М |
|
|
|
|
4яр% |
|
|
|
|
V ( Р) - |
|
|
|
|
|
|
Р4 + 4а% |
|
|
|
В координатном представлении |
|
|
|||
Y44|; |
------ »_ Г |
P4+ 4a4£ |
dp = — exp ( - |
<&•'■)cos |
(qal'u) ■ |
2я2 J |
q |
|
|||
Для любых расстояний эффективный потенциал можно запи
сать в явном виде, если воспользоваться |
|
аппроксимацией |
|
(15.35): |
|
|
|
оо |
|
|
|
еаеь Г |
Р sjn (pq) |
d |
(15.52) |
Фаь (Я) = ^ |
|
|
|
q j P ^ '+ ^ p0’)
Ранее было показано, что именно «нулевые» члены рас смотренных порядков дают основной вклад в термодинамиче-
179
ский потенциал. В связи с этим можно предположить, что ана логичные члены будут являться основными и для диаграмм более высокого порядка. Тогда основной член для диаграммы с п добавленными к кольцевой линиями взаимодействия можно описать с помощью диаграммы
*г*(% % ?*№ )* |
}/М |
(15.53) |
|
Следовательно, можно сделать вывод, что не будет сделано большой ошибки, если вклад в термодинамический потенциал от кольцевых диаграмм с любым числом добавленных линий взаимодействия свести к суммированию бесконечной последо-
|
|
|
|
а |
а |
а |
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|< /\s \ s k t <• |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
Рис. 20. Диаграммы, |
соответствующие модифицирован |
|
|
|||||||
|
ному |
лестничному |
приближению. |
|
|
|
|
|||
вательности |
диаграмм |
лестничного |
типа, |
показанных |
на |
|||||
рис. 20, где одна «ступенька» не |
совпадает со всеми остальны |
|||||||||
ми. Учитывая, что |
диаграмме |
(15.53) соответствует |
выра |
|||||||
жение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G[n) (сц, q2, |
Р; q,', |
|
Р') |
|
|
|
|
|
|
|
X G(q2, р; х ;, Pi) и (|X i — х; |) |
^ |
G (х„ Р,; x£+I, р.+1) X |
|
|||||||
X G(x<t р,; |
x;+ I, |
Р£+1)] [ 1П<л и ( |х, - |
х; | ) х |
|
|
|||||
X G (хп, Ря; q ;, Р') G (х ;, ря; q'P')j dx'jdx'^dp" , |
(15.54) |
|||||||||
получаем для |
суммы |
«лестницы», изображенной |
на |
рис. |
20: |
|||||
G (4l> q2, Р; |
q ;, q ', |
|
00 |
1)" № |
(qlf q2, Р; |
q,'. q^, Р') • |
||||
Р') = у . ( - |
||||||||||
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
(15.55) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
И®
Тогда групповой интеграл |
|
|
||
Ъг = |
I |
° ^4l’ Ча’ |
4l’ |
Чг’ °) * Ь * Ь = |
= |
|
f °2Л>(4i» Чг. Р; Чь Чг. 0)dq1dq2. |
||
V п ^ 2 |
|
V |
|
|
Подставляя сюда выражение (15.54) |
и делая замену |
|||
|
X/ — х: = §,•; |
xt + |
х‘. = 2кг, |
|
после интегрирования |
по кь к2, . . |
кп и Яь Чг. • ■ Чп получим |
||
X G (| х— §„ |Р —Pi + |
PJ [1<:^ n_i ^ |
— 5i+i| Рг |
P<+i)| X |
||||||||
|
|
|
X I |
|
П |
U $ l)dP,dln\. |
|
(15-56) |
|||
|
|
|
[2<1<п |
|
|
J |
|
|
|||
Введем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G(6i, |
Pi; |
bri-1. |
P«+i) = |
G(glf |
(V, 5„ + 1, Pn+1) - 2 |
( - !)" X |
|||||
|
p |
p. |
|
|
|
|
|
rc*=2 |
|
|
|
X |
- - |
J |
J |
Г |
П |
G(h, P/; §f+1, |
Pl+1)] X |
||||
f |
j - |
||||||||||
P„+l РЛ+1 |
p„+1 к |
|
|
|
|
J |
|||||
X [ |
П |
U (i/) IG (i„, |
P„; i„+1, $n+1)dln~l d$n~l. |
(15.57) |
|||||||
|
12<i<n |
J |
|
|
|
|
|
|
|
||
Нетрудно заметить, что правая часть этого выражения яв ляется итерационным решением интегрального уравнения Бло ха для двух частиц:
G(§1. Р; §„+!> P„+i) =G (5l Рь 5n+1, P„+ i)-
- |
j’ JG fo, Pi; §*. Рг) U (?г) G (§2. Рг! 5n+i, Pn+1) dp2d |2- (15.58) |
|
»n+iv |
Полагая в функции (15.57) §n+i = 5i, Р«-ы= Pi—Р и сравнивая результат с выражением (15.56), получаем
6>— Г ( - W - Г
-G(Sx, Pi; L P i - P ) ] « * i . |
(15.59) |
Решение уравнения (15.58) можно представить в виде
G (г, Р; г', Р') = Ц ^ (г') exp [ - (Р - р') £ п] (г), (15.60) I"}
181