Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

= р£о^>1. Первое из этих неравенств более сильное, поэтому

мерно равно 10-1. Таким образом, когда число одноэлектрон­ ных ионов сравнимо с числом электронов, член в AQ, обуслов­ ленный сдвигом уровня, более существен, чем остальные по­ правки к дебаевскому члену. Поэтому вместо выражения (14.10) можно написать:

(14.12)

Это выражение следует дополнить условием химического рав­ новесия

причем / < 1; / — потенциал ионизации. Функция f достаточно громоздка и не будем выписывать ее здесь [11]. В случае водородной плазмы (Z=l)

/ ~ ^ H D+ y ( e 2PxD)2,

где

х2, = 8ле2Рде.

159

§ 15. МЕТОД КВАНТОВЫХ ГРУППОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ МОНТРОЛЛА И УОРДА И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ

Интересный, хотя и несколько сложный, подход в термоди­ намике системы кулоновских частиц был предложен Монтроллом и Уордом, которые обобщили метод групповых интегра­ лов Майера на квантовый случай [12]. Метод не позволяет по­ лучить термодинамические функции сильно неидеальной систе­ мы, поскольку он базируется на теории возмущений. Однако с его помощью можно, вообще говоря, продвинуться при вы­ числении термодинамического потенциала в область больших плотностей плазмы. Квантовомеханическое рассмотрение позволяет преодолеть трудности классической теории, связан­ ные с малыми расстояниями между частицами. Кроме того, ес­ ли плотность частиц не слишком мала, имеет смысл вводить в

термодинамические функции поправки, связанные с вырожде­ нием системы, т. е. с отклонением от статистики Больцмана.

изучать эту область термодинамических условий, то параметр вырождения п%Ае< 1 и эффекты вырождения приводят к не­

большим поправкам.

Рассмотрим систему кулоновских частиц в объеме V при температуре (Н в состоянии термодинамического равновесия. Термодинамические свойства системы N частиц можно вычис­ лить, зная ее статистическую сумму (для канонического ан­ самбля) :

Z„ = 2 f^ (q * O e x p {- p tf}¥ J q ^ q " = Spexp(-p//) (15.1)

{"} V

или статистическую сумму системы с переменным числом частиц, соответствующую большому каноническому ансамблю:

Здесь dqN = dqidq2 ■■■ dqN\ dqi^dXidyidZi. Суммирование про­ водится по всем наборам квантовых чисел {n} = ni, п2, ...

Функции 'Кп(ч^) образуют полную ортонормированную систе­ му, симметризованную соответствующим образом. Гамиль­ тониан

лшЛ

KKN

160

t . e. знание функции Грина определяет все термодинамиче­ ские свойства системы.

Величина GN(qNP; qN, 0) представляет собой амплитуду вероятности для системы частиц, находившихся в данных точ­ ках пространства qN при бесконечной температуре, возвра­ титься в те же точки пространства после медленного охлажде­ ния системы до температуры р-1. Таким образом, статистиче­

6 З ак . 635

Зная решение уравнения (15.8), казалось бы, можно по формуле (15.7) подсчитать статистическую сумму и построить таким образом термодинамику системы. Однако в общем слу­ чае решение этого уравнения аналитически в замкнутом виде невозможно. Поэтому для решения конкретных задач исполь­ зуются различные приближенные методы.

Точно уравнение (15.8) решается лишь для идеальной си­ стемы. Предположим для простоты, что система невзаимодей­ ствующих частиц подчинена статистике Больцмана и удовлет­ воряет граничному условию для GK

2 А * ( Р - р ') 1

где фактор ЛП учитывает число возможных перестановок из N одинаковых частиц. Полагая qAr = qftr' и Р' = 0, легко получить из формул (15.7) и (15.9) статистическую сумму

\ < i < N

Это хорошо известное выражение для статистической сум­ мы системы, представляющей собой идеальный газ.

Спиновые состояния системы невзаимодействующих элек­ тронов можно учесть, записав функцию Грина, антисиммет­ ричную по координатам qiV' и qX т. е.

Это выражение эквивалентно детерминанту Слэтера, по­ строенному из одночастичных волновых функций системы.

Рассматриваемый формализм по существу ничем не отли­ чается от формализма функций Грина, который обсуждался в шестой главе. Однако математический язык изложения яв­

162