Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 207

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где Е п и ¥„(/■)— соответственно собственные значения и соб­ ственные функции уравнения Шредингера

Дг % (г) +

[Еп - их>2 (| г |)]

¥ п (г) = 0;

т* = OTim2/ (mi + m2) — приведенная масса.

Используя формулу

(15.60), приходим к следующему окончательному выражению для AQ:

 

\ < а , Ь < М

0

 

|{п}

X ехр (-Р£„)

(г) - 2

« Г (г) exp ( -

(3£„) ^

(г) J dr, (15.61)

 

{"}

 

 

I

где иаь (г) — кулоновский

потенциал; ^

“(г)

и Е ° — собствен­

ные функции и собственные значения для свободного движе­ ния. Выражение (15.61) написано для многокомпонентной си­ стемы, содержащей М сортов частиц, и является уже знако­ мым из предыдущих глав (см. формулу Бэта — Уленбека).

Спектр уровней Еп состоит из дискретного спектра отрица­ тельных значений и непрерывного спектра положительных энергий. Для первых оставим обозначение Еп, вторые переобозначим Ек. Тогда

 

,

 

 

 

 

!

 

 

 

 

V

—

2]

ПаПь %° Ь Р f ^

J U * b W И ди « Р — Лнепр).

 

 

\ < а , Ъ < М -

 

 

6

 

 

 

 

где выделены дискретная

и

непрерывная

части.

Вычисление

этого выражения

сводится

к

нахождению

решения

уравнения

Шредингера

и последующему

суммированию

и интегрирова­

нию. При этом в качестве

м(| г|) можно

для

получения при­

ближенного

решения

использовать

аппроксимацию (15.52).

В такой

постановке задачи

возможным

точным

решением

является лишь численное решение. Однако в изучаемой обла­

сти термодинамических параметров плазмы для

учета

непре­

рывного спектра можно

воспользоваться

квазиклассическим

приближением. Поскольку

задача

сферически

симметрична,

'l'k(r) = Xk,i(r)Y,.m(0, Ф),

 

 

где шаровые функции

У;.™ описывают угловую

часть,

а для

радиальной волновой функции имеем

 

 

 

 

*-•' w “ ~ т

г

si" ( т Ь

( х ),*х

+ т

 

(15.62)

 

 

 

 

 

 

Р, (г) = л / 2т* (Е — йм (г) —

182

Тогда вклад непрерывного

спектра

в термодинамический по­

тенциал имеет вид

 

 

-

РA Q JV = ----2

W b ^ l b

иаь (г) X

 

1 < а ,Ь < М

О

х

r'Rl.i (г) ехР(— Р£ к) — 2

r2Rl, Iехр (— р£к)| dr.

 

1кГ/

к, I

)

Сумму по к можно заменить интегралом, введя плотность со­ стояний:

dpi (х) dE dx.

Используя волновые функции (15.62), получаем

J Uab(Г) £ r2Rk,, (Г) ехр ( - P£k) dr =

^

(21 X 1) X

к, I

е2

 

 

X j ехр (— р£) dE

 

 

2т* j ' w

d x ]

x

 

Рассмотрим первый интеграл в квадратных скобках. По­ скольку [см. выражения (15.62)] dplldE = m*lpi, то, учитывая правила нормировки квазиклассических волновых функций, получаем

С2 j [dpt (x)ldE] dx = (c2/2) [dx/p, (x)] = 1.

2т*

При этом, как обычно, квадрат синуса заменяем его средним значением 1/2. Тогда получаем

---- х- 2

плЛайР I’ dl (2т*/лП) 2

(2/ +

1) j uaft (г) X

1 < а ,Ь < М

О

 

I

 

 

 

X ехр (— р£) dEdr/Pi (г,

Ё).

(15.63)

Далее,

 

 

 

 

 

 

V ( 2/ +

 

1) — 1

 

 

 

 

 

Pi (г, Е)

 

 

V

(g- u)

.

__________________

о

'

 

г

 

 

183

Интегрируя и подставляя результат в выражение (15.63), по­ лучаем

— 4

Р‘/2 $]

папьf dl f r2uab (r) dr f e.xp(—fiE)\^E — uab (r) dE.

 

K a , b < M

о JQ

При интегрировании по E необходимо учесть условие дви­ жения в классически доступной области: Е —йаь(г)> 0. Следо­ вательно, в случае ион-ионного взаимодействия

— pAQf/V = — 4 \ f n р5/зnanb f dl f r2uab (r) dr X

 

 

о

b

 

X j J exp (—p£) I

E — uab(r) dE — 1 j = — 2л$пап„ X

l

00

—

 

(15.64)

X f

f uab(r) r2dr {exp [— §uab Wl — 1 }•

'o

b

 

 

 

Для взаимодействия электрон — электрон

получается

анало­

гичное выражение, а электроп-иопное взаимодействие дает сле­ дующий вклад в AQ„:

- рДСС/1' = 4 \ rn Р папеj dl f r2uae (r) dr х

о b

X {j exp^_ V E ~ “ae(r) dE — 1

1 oo

= — 2n$nane j* dl j y= r exp [— Puae (г)] X

оb '

x (Г [3/2; —

(r)] — 1) uae(r) r2 dr,

(15.65)

где Г[3/2; —fW7nf.(r)] — неполная гамма-функция. Следователь­ но, суммарный вклад в AQ определяется выражением

■рдон/1/ = - Ф/V)Г 2

ДПн

2 2 Д&Н* + АЯене\ (15.66)

 

,ab

 

[ 1 < а , Ь < М

 

К а < М

Формула (15.64) совпадает с известным классическим ре­ зультатом, если положить потенциал йаъ{г) равным дебаевско­ му потенциалу. При этом под знаком интеграла будет стоять классическая бинарная функция корреляции (см. § 4):

КаЬ (г) = ехр {— феае„/г) ехр (—хг)),

где х — обратная дебаевская длина. В формуле (15.65) вместо этого классического выражения (при котором в случае г-Х)

184

сильно расходится

интеграл

на нижнем пределе)

стоит

функция

 

 

 

 

Кае(г) = exp

exp (— кг)J -y L - Г J -|-;

ехр (—кг) .

 

 

 

 

(15.67)

При г—уО она хотя и стремится

к бесконечности,

но значитель­

но слабее (как /—‘А).

Эта особенность является интегрируемой,

а выражение (15.65)

конечным.

Функция Кае(г)

имеет

смысл

бинарной функции корреляции для разноименно заряженных частиц в рассматриваемом приближении.

Отрицательные собственные значения Еп и собственные функции ЧМО, необходимые для определения вклада в тер­ модинамический потенциал от дискретного спектра, можно найти, решая уравнение Шредингера с потенциалом (15.52) численно. Для дебаевского потенциала такое вычисление про­ делано в работе [1]. Вклад в термодинамический потенциал от верхних уровней можно учесть квазиклассически, как в § 14.

Совместно с вкладом (15.65)

получим полный

 

вклад в AQ

от квазиклассической части статистической суммы:

 

 

 

 

— PAQ“ /F = — 2лрпа пе f d\

jf° r2uae (r) dr [(2/j/ л

) X

 

 

 

o

 

I'o

 

 

 

 

 

x exp (— $iiae) Г (3/2;

—fuae +

?£„„) — 1 ] +

 

 

+ J r *u ae (r) dr [exp (— P«J ]

— 1 j ,

 

 

(15.68)

 

 

 

 

 

I

 

 

 

где r0— корень уравнения

ЕПо—мае(го)=0. При

2mee2lh 2y^> 1

и п<по сдвигом уровней Еп от внутриплазменного поля

(экра­

нировкой зарядов, в частности) можно пренебречь

и

остав­

шуюся

часть статистической

суммы вычислить,

считая Еп и

v»(r)

кулоновскими. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

- рД£&*IV = папе % le V

п2 (ехр | p£n | -

1).

(15.69)

 

 

 

п=\

 

 

 

 

При этом в качестве Еа для

п < п 0 необходимо

 

подставлять

экспериментальные значения

уровней

или же

вычисленные

приближенно. Если отношение амплитуды рассеяния к дебаев­

ской длине (/и) мало, то

подынтегральное

выражение в фор­

муле

(15.68) можно разложить в ряд по

этому

параметру.

Если

при этом удержать члены вплоть до

In (fy.)

и устремить

п0->оо, то из выражений

(15.68) и (15.69)

получим формулу,

совпадающую с результатом работы [7].

Рассмотренный здесь достаточно подробно метод эффектив­ ного лестничного суммирования сложных диаграмм приводит к

185

поправкам к термодинамическому потенциалу дебаевской плазмы. Этого следовало ожидать, поскольку сам метод проде­ монстрирован в области, где характерные безразмерные пара­ метры плазмы малы. Тем не менее приведенные расчеты пока­

зывают один из

способов учета более сложных диаграмм,

вклад которых в плотной плазме наверняка не мал.

К сожалению,

трудно оценить эффективность модифициро­

ванного лестничного суммирования в области, где взаимодейст­ вие является сильным. Более того, необходимо еще выяснить пределы применимости этого способа суммирования сложных диаграмм, что можно проделать, если известен более общий алгоритм суммирования диаграмм всех порядков (объединяю­ щий более широкое топологическое разнообразие диаграмм, чем рассмотренные выше). В этом смысле имеются конкрет­ ные результаты и рекомендации в классической теории элек­ тронного газа. Не будем здесь рассматривать имеющиеся не­ сколько подходов к суммированию довольно широкого класса майеровских диаграмм, сославшись на хорошую работу [10], где рассмотрены основные из этих способов.

Нам представляется, что распространение этих подходов в классике на квантовые диаграммы в сочетании с численными расчетами на ЭВМ является перспективным. По этой причи­ не и рассмотрено здесь большое количество формул, которые,

казалось бы, и не

ведут к

конструктивным результатам и но­

вым решениям.

Не исключено, что

последовательное развитие

строгих методов

в

сочетании с ЭВМ скорее приведет к успеху

в термодинамике

 

плотной

плазмы,

чем многочисленные прав­

доподобные оценки, часто дающие

противоречивые результаты.

§ 16. КВАНТОВЫЕ ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ

Второй вириальный коэффициент полностью ионизованной высокотемпературной плазмы вычислен в работе [2] на основе диаграммной техники. Здесь будет получено соответствующее выражение для термодинамического потенциала системы с по­ мощью бинарной функции корреляции. Пусть термодинамиче­ ские условия таковы, что движение частиц следует описывать квантовомеханически, а статистика частиц является классиче­ ской. Иными словами, будем предполагать отсутствие вырож­ дения:

* А « 1.

(161>

где %е— длина волны электронов; г0— среднее расстояние меж­ ду частицами. При этом для ионов неравенство (16.1) выпол­ няется с большим запасом. Предположим, кроме того, что

температура плазмы достаточно высока,

чтобы выполнялось

условие борцовского приближения

(16.2)

е2//ш <^1.

186

Смотрите также файлы