Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Напомним, что неравенство (16.2) позволяет вычислять инте­ ресующие нас величины по теории возмущений. При классиче­ ском описании бинарной функции корреляции разноименных по знаку зарядов возникают трудности, связанные с расходи­ мостью этой функции на малых расстояниях. Эта расходимость обусловлена «термодинамически выгодным» падением разно­ именных зарядов друг на друга. Если не вводить модели с силами отталкивания малого радиуса действия, то положение может быть исправлено лишь с помощью учета квантовых эф­

фектов.

В случае однородной системы можно рассматривать корре­ ляционные функции как функции от относительной координаты г двух частиц, причем бинарная функция корреляции может быть представлена в виде суммы двух членов

где Ккв (г) можно назвать к в а н т о в о й к о р р е л я ц и о н н о й фу нк ц и е й .

Отметим, что квантовая природа частиц проявляется лишь

(З^е-С/в). На столь малых расстояниях экранирование несуще­ ственно, и Кип (г) можно сравнительно легко вычислить, ис­ пользуя известное решение чисто кулоновской задачи двух тел.

падению частицы на центр в задаче двух тел *, поэтому учет квантовомеханической корреляции частиц на малых расстоя­ ниях должен устранить расходимость бинарной функции К (г).

тел с кулоновским взаимодействием. Выделяя движение цент­ ра масс (плоская волна) и интегрируя по суммарному импуль-

* Это обстоятельство является прямым следствием принципа неопреде­ ленностей.

187

су, получаем

где фк (г) описывает движение частицы с приведенной массой т* — те в поле неподвижного кулоновского центра; ек — энер­ гия этого относительного движения. Функции фк (г) для непре­ рывного спектра имеют вид [6]

то связанными состояниями можно пренебречь (для одноимен­ ных зарядов они вообще отсутствуют). Поскольку k велико, выражение (16.7) можно разложить в ряд и ограничиться пер­ вым приближением по к~1, считая kr произвольным. Тогда

(16.9)

Так как с необходимой точностью

(16.10)

188

где

ле (16.11) компенсирует расходимость, характерную для клас­

В случае тождественных частиц (электронов) корреляционная функция должна учитывать обменные эффекты, присущие только квантовомеханической системе. Это означает, что волно­ вые функции фк(гь г2), входящие в формулу (16.5), должны быть антисимметричными, как и для всякой системы фермио­ нов. Поэтому при суммировании по спиновым переменным сле­

189

Первые три члена в правой части совпадают с подынтеграль­ ным выражением в формуле (16.10) и приводят к полученному уже выше выражению для квантовой поправки к бинарной функции корреляции Кпъ{г), остальные члены характеризуют обменное взаимодействие.

После интегрирования по k получаем окончательное выра­ жение

r/%

Первый член описывает обменную корреляцию двух одинако­ вых частиц в идеальном газе, а второй — обменные поправки, учитывающие взаимодействие. При r^> &эти члены экспонен­ циально малы, а при г-^О оба они конечны и вносят существен­ ный вклад в функцию корреляции.

Зная корреляционную функцию, можно вычислить любую термодинамическую величину и получить уравнение состояния системы (см. § 4). Представим термодинамический потенциал П слабо неидеальной плазмы в виде

среднее от гамильтониана взаимодействия, записанное в выра­

190

то нетрудно видеть, что

у < £ в з > = - f - J у (K,i (г) + к ее (г) - 2к е1(Г)}, (16.20)

причем выражение в фигурных скобках, согласно сказанному выше, равно

Второй член можно назвать чисто обменной поправкой, не за­ висящей от заряда, а последний член содержит рассматривае­ мые в этом параграфе квантовые эффекты. Подставляя в фор­ мулу (16.22) явные выражения для бинарных корреляционных

(16.25)

191