Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

приводит к описанию коллективных продольных плазменных ко­ лебаний с характерной частотой юр (ленгмюровской частотой). Однако из уравнения (5.8) следует также, что уравнение для пк описывает не только ленгмюровские колебания. Нетрудно по­ казать, что если выбрать коэффициенты а к в выражении (5.3) так, чтобы выполнялось дисперсионное соотношение

/'

то можно записать

(5.14)

При этом для части флуктуаций плотности, вызывающих хаоти­ ческое движение частиц, получим

Отметим, что для малых к дисперсионное соотношение (5.13) выглядит совсем просто:

Итак, приближение хаотических фаз позволяет в явном виде разделить флуктуации плотности пк на две части — qк и Цк» связанные соответственно с коллективными и индивидуальными движениями частиц в плазме. Подобное описание приводит к экранированию заряженных частиц в плазме. В частности, если рассматривать дебаевскую плазму, то получается экранирова­ ние с характерной длиной lD, которое приводит в термодинамике к дебаевской поправке к свободной энергии идеального газа. В этом нетрудно убедиться читателю. Рассмотрим качественно эффекты, связанные с динамическим экранированием; дебаев­ ское экранирование войдет в полученные результаты в качестве предельного случая (как статическое экранирование).

Исследуем вклад в распределение плотности, вносимый s-й частицей [5]. Имея в виду выражение (5.14), можно написать

где использована дисперсионная формула (5.15); vs— скорость выделенной частицы. Если vs<.vT~c, где с — скорость звука, то, использовав распределение (5.16) в уравнении Пуассона, полу­ чим обычное выражение для дебаевского потенциала ср.

36

Представим теперь, что частица s (электрон) движется по

окружности радиусом а с постоянной скоростью v0^> ]/" < п 2> = г ==иг в плоскости (х, у). Тогда, выделяя в выражении (5.16) 6-функцию, получим

Решая уравнение Пуассона с плотностью заряда (5.17), найдем потенциал, действующий на электрон в точке, где он находится. Не будем проводить здесь нетрудных, но громоздких выкладок. В результате оказывается, что основной член в разложении по­ лученного выражения по степеням vT/v0 для любого фиксиро­ ванного момента времени t имеет вид

в плазме электрона. Действительно, такое же значение потен­ циала на малых расстояниях получилось бы при разложении потенциала вида ехр(—х\г)/г, где xi —kvtIvo. Имея в виду, что для вычисления поправки к энергии необходимо знать по­

Представим себе, что рассматриваемый электрон — это свя­ занный электрон атома, находящийся на достаточно далекой орбите. Пусть электрон движется вокруг ядра с зарядом Ze. Этот заряд также поляризует плазму. Для нахождения эффек­ та, обусловленного зарядом Ze, находящимся в начале коорди­ нат, можно написать обычное уравнение Пуассона:

Оба эффекта, как от электрона, так и от ядра, следует рас­ сматривать совместно. Добавляя в правую часть уравнения (5.20) плотность заряда, обусловленную поляризацией плазмы электроном, и плотность заряда самого электрона, имеем

Точное граничное условие в нуле в рассматриваемой клас­ сической модели неизвестно. Пренебрегая размером «атома», потребуем, чтобы на малых расстояниях за вычетом собствен­ ной энергии частиц значение ф было конечным и пропорциональ­

37

ным разности (Z—1). Тогда частное решение уравнения (5.21) со вторым членом в правой части дает

Поэтому добавка к энергии «атома» с зарядом Z— 1 имеет вид

Умножая (5.23) на плотность «атомов» па и учитывая, что

VT/V0~ kT/Е0 ~ a0/($e2Z2),

«атомов» представляет собой атомы водорода, эффект отсут­ ствует. Для системы «атомов» типа Неи (однократно ионизо­ ванный гелий) поправка уже отлична от нуля.

Приведенное рассмотрение демонстрирует один из приме­ ров, когда простое качественное описание плазмы с помощью флуктуаций плотности приводит к интересным эффектам. Не будем спорить с теми, кто скажет, что пример рассмотрен не совсем корректно. В одной из следующих глав член типа (5.24) будет получен строго с явным численным коэффициентом на ос­ нове диаграммной техники.

Рассмотрим флуктуации плотности в электронном газе с по­ мощью статистической механики. Вычислим среднюю ампли­ туду флуктуаций фурье-компонент плотности электронного газа «к . Используемые здесь рассуждения являются альтерна­ тивным подходом к проблеме экранирования. При этом будем

38

Разобьем конфигурационное пространство, занимаемое си­ стемой, на ячейки достаточно малого объема е. При этом раз­ мер ячейки должен быть таким, чтобы внутри нее не происхо­ дило существенных изменений физических свойств. С другой стороны, ячейки должны быть достаточно большими, чтобы статистическое рассмотрение не потеряло смысла, т. е. в объе­ ме е должно содержаться по крайней мере несколько частиц. Тогда состояние системы можно описать с помощью чисел ча­ стиц в каждой ячейке N u N2, ..., N{. Как хорошо известно из статистической механики, можно написать:

можно пренебречь взаимодействием частиц внутри элементар­ ного объема. Применяя формулу Стирлинга к выражению (5.28), получаем

W(Nlt Nt............. N„ . . . ) -

~ exp jN In yV- 2 N, In Nt - Щ NtNjU(| гг - Г/ |)j . (5.29)

Пусть No — среднее число электронов в ячейке. Будем рассмат­ ривать малые флуктуации бN{ около этого среднего значения. Тогда

Подставим выражение (5.30) в формулу (5.29) и разложим ар­ гумент экспоненты в ряд по степеням бN/N, оставив члены вто­ рого порядка. Поскольку, как обычно, рассматривается элект­ ронный газ на фоне положительного, равномерно распределен­

ного заряда, то для электростатической энергии можно написать, выражение

Учитывая, что 26iVi = 0, и опуская константы, получаем

W(Nlt

39