ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
Интегрируя это выражение по х и получаем |
|
|||
оо№ |
\jr* |
азу |
азу* |
|
|
дх2 dxj |
dxj |
|
|
азу dxt |
! _ d _ |
ay |
||
- 2 i |
дх} |
|
I |
dxj |
Если система ограничена, то член в квадратных скобках при подстановке пределов обращается в нуль. Таким образом
Я2 |
аа m r N = |
Г if* |
ди WdrN |
2т, |
дх2, |
2 J |
■S-i dxj |
Левый член в этом выражении представляет собой математиче ское ожидание для кинетической энергии системы. Справа записан квантовомеханический вириал системы. Если потенци ал и электростатического происхождения, то
j* £ кнн Шгы = — -L j |
drN, |
что является выражением квантовомеханической теоремы вириала. Следовательно, теперь можно написать выражение (4.9).
Тогда, применяя эту теорему к системе N взаимодействую щих частиц, находящихся в объеме V, имеем
< £ к и н > = З В Д . |
(4.10) |
N |
|
Вириал L = 2 f(rK)rK складывается из вириала |
сил взаимо- |
к=1 |
|
действия |
|
1к
и вириала сил давления на частицы системы со стороны стенок сосуда, ограничивающего систему:
|
j P(rj , г) do = 3PV, |
|
|
(4.12) |
||||
где т] — единичный |
вектор |
нормали |
к |
поверхности; Р — давле |
||||
ние; da — элемент поверхности. |
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
ди[к \ |
|
|
2 — N = 3PV + |
/ \ * |
г |
1к |
(4.13) |
||||
2f5 |
|
^ |
|
|
|
дт(к / |
|
|
Среднее по ансамблю Гиббса для любой величины Q, характе |
||||||||
ризующей систему, |
есть |
|
|
|
|
|
|
|
< Q > = |
J Q exp |
Р 2 |
“‘'к) dridr2 • |
• |
• dTN |
|
||
:----------- |
|
“<<cj ------------------------d r i d r n • |
• |
. |
(4.14) |
|||
|
j exp | — P 2 |
• d r N |
|
|||||
27
Видно, что для сил парного взаимодействия
= |
^ | г - |
| ^ |
2(г)^ , |
(4.15) |
где щ к (г) =ы( |ri—г2|). |
Подставляя |
< L > в выражение |
(4.13), |
|
получаем [1, 2] |
|
Гdr |
|
|
Р = np- 1 — |
гК2 (г), |
(4.16) |
||
|
6 |
J |
дг |
|
причем первый член в правой части описывает давление иде альной однокомпонентной системы. Второй член учитывает неидеальность системы. Обобщение на случай многокомпонентной системы тривиально. Отметим, что в приведенном выше выводе нигде не отражена специфика кулоновского взаимодействия между частицами. Поэтому уравнение состояния (4.16) имеет в известной степени общий характер, пока не конкретизирован вид бинарной функции корреляции.
Корреляционная функция Кг(т) для малых расстояний меж ду частйцами задается распределением Больцмана в поле с по
тенциалом w(r): |
|
К2~ ехр(— $и). |
(4.17) |
Однако, если подставить это выражение в формулу (4.7) или (4.16), чтобы найти поправки на неидеальность плазмы к сво бодной энергии или давлению, то получим бесконечно большие величины, что, конечно, бессмысленно. Поскольку для идеаль ного газа Кг(г) = 1, то расходимость, обусловленная функцией /(г)=/С 2(г)—1, описывающей взаимодействие, связана с ее чрезвычайно медленным убыванием на больших расстояниях в
случае кулоновской системы частиц:
f (г) -—■— при г -> оо. |
(4.18) |
г
Природа этой расходимости совершенно та же, что и для описанной выше расходимости выражения для второго вириального коэффициента на больших расстояниях при кулоновском законе парного взаимодействия частиц. Поэтому соотношением (4.18) пользоваться нельзя, а нужно построить такую корреля ционную функцию, которая учитывала бы коллективный харак тер взаимодействия в системе многих кулоновских частиц с си лами дальнодействующего характера.
Отметим, что использование в качестве потенциальной энер гии парного взаимодействия дебаевской функции
uij (г) = (еге;-/г) ег*г |
(4.19) |
28
не дает правильного выхода из положения, хотя взаимодейст вие в этом случае и является короткодействующим. Неправомер ность использования функции f(r) вида
l - $ u u + j - р24 - • • •> |
(4-2°) |
где tin дается формулой (4.19), легко понять, если вспомнить вычисление второго вириального коэффициента с парным де баевским взаимодействием между квазичастицами (см. § 3). Физически это означает, как было отмечено выше, что дебаев ское экранирование не сводится к замене системы кулоновских частиц с дальнодействующими силами системой квазичастиц с короткодействующим дебаевским взаимодействием. В этом лег ко убедиться с помощью простого вычисления. Однако при этом дебаевская поправка, т. е. первый член разложения свободной энергии по параметру ц получается правильной, а для более высоких поправок по плотности таким образом верных выра жений получить не удается. Это говорит об интересном обстоя тельстве: при вычислении бинарной функции корреляции можно пользоваться более грубым приближением, чем при вычислении второго вириального коэффициента. Поэтому при учете функции корреляции трех частиц даже в достаточно грубом приближе нии в относительно плотной плазме можно надеяться, что ре зультаты будут не столь уж плохими; во всяком случае, они могут оказаться лучшими, чем при достаточно разумном учете третьего вириального коэффициента.
Приведем вывод бинарной функции корреляции для почти идеальной классической кулоновской системы, исходя из распре деления Гиббса. Под распределением Гиббса в рассматриваемом случае можно понимать конфигурационное распределение, по скольку мультипликативная часть, связанная с кинетической энергией частиц, сокращается при нормировке. Это вычисление имеет, по-видимому, лишь методический смысл, поскольку би нарная функция корреляции, которая при этом получается, мо жет привести лишь к дебаевской (но не больше) поправке к свободной энергии системы. Итак, конфигурационное распреде ление Гиббса запишем в виде
ехр |
— |
|
|
( - Р 2 “М |
|
W (И, Г2, . . , , Гдг) = _________ J___ tк |
!______ -, (4.21) |
|
j exp i'— Р X |
“ ‘к ) * 1 * 2 |
• • • drA |
где |
|
е,е,- |
(4.22) |
|
Продифференцируем выражение (4.21) по р и проинтегри руем получающееся равенство по drs, drs+\...... drN(s<N). Тогда
29
получим следующую систему уравнений для корреляционных функций («боголюбовские цепочки»):
дК |
UsKs + п J |
Us,s+l Ks+1 drs+1 ~|- |
^ J us+ l, s+2-Ks+2 X |
|||
<Э|3 |
||||||
|
|
к~1 |
|
|
|
|
|
X drs+i drs+2— ( j y j |
Ks |
us+1„s+2 Ksdrsdrs+2 = 0, (4.23) |
|||
где |
|
us = |
2 |
Щк- |
|
(4.24) |
|
|
|
||||
|
|
|
l<l'<K<S |
|
|
|
При выводе для простоты было принято V=l и |
1. |
|||||
Будем искать |
решение системы уравнений |
(4.23) в предпо |
||||
ложении малой корреляции между частицами. Это означает, что в первом приближении в корреляционной функции /(„ комплекса s частиц можно,учитывать лишь парные корреляции. Тогда
Кх- 1 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
^ 2 --- |
|
1 == ^12--- |
1 |
= |
/l2> |
|
(4.25) |
К* |
1 |
== ^123 |
1 |
= |
/l2 "Т /13 “t” fi3> |
||
^4 |
1 = ^1234 |
1 = |
/l2 + |
Аз + |
/23 4' fu + /24 + /з4- |
||
Подставив |
|
выражения |
(4.25) |
в одно из уравнений системы |
|||
(4.23) с s ^ 2 , например при |
s —2, |
получим уравнение для функ |
|||||
ции /С12 (г) = КаЪ(г) : |
|
|
|
|
|
||
+ Uab + 2 j 2 Kdcucbdrc + 12 ncndKac■Ucddrcdrd = 0, (4.26)
C/jj c cd
i^ie сумма берется по различным сортам заряженных |
частиц. |
Ищем решение этого уравнения в виде |
|
еаеЬ |
(4.27) |
К*ь = 2пе2 К*. (I Г„ — г„ |
Тогда для компоненты Фурье функции Каъ(г, р) получаем урав нение
~8 Р) + 4л£пе* [1 + |
g (к, р)]/£а = 0. |
(4.28) |
ар, |
|
|
Решим это уравнение при граничном условии |
|
|
g (к, 0) = |
0, |
(4.29) |
ч
которое соответствует физически предельному случаю идеаль ного газа, так как при бесконечной температуре взаимодейст вием можно пренебречь. В результате получим
g ( k , Р) = — х 2/(/г2 + у.2),
где х определяется выражением (2.11).
30