Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

причем «1 =п-к. Поскольку величина лк комплексна, ее удобно

где гк = г_к', фк = —ф—к* Отметим, что независимой здесь являет* ся только половина величины лкНетрудно видеть, что

где л — средняя плотность электронов.

Найдем теперь элемент объема в пространстве Гк и фк, рас­ сматривая N{ как непрерывную переменную и предполагая, что в выражении (5.32) 8Ni = l. Тогда это выражение можно умно­ жить на элемент объема в ^-пространстве (dNь dN2, ..., dNit...), который также равен единице. Элемент объема в пространстве Гк >фк получим с помощью якобиана J при преобразовании от iVj-пространства:

Вероятность WJ есть произведение функций, каждая из кото­ рых зависит от единственного значения к. Физически это озна­ чает, что в рассмотренном приближении статистические флук­

40

или

распределению частиц в системе. В обратном предельном слу­ чае (62<Cx2), получим

Забавно, что этот результат можно себе представить с по­ мощью следующей аналогии. Пусть по достаточно большой пло­ щади в разных направлениях движутся автомобили, причем их движение довольно хаотично. Конечно, водители стараются из­ бежать столкновений. Милиционеры также стараются коррели­ ровать движение. Но увы! Аварии случаются! Пусть число этих аварий и есть флуктуация плотности автомобилей на площади. Рассмотрим два случая. Пусть погода настолько плоха (туман), что водитель может видеть соседнюю машину лишь на малом расстоянии %~а, где а — размер автомобиля. Тогда, поскольку

к у л о н о в с к и е с и л ы п р и в о д я т к с и л ь н о м у с н и ­

ж е н и ю ф л у к т у а ц и й .

Поскольку вклады отдельных компонент Фурье, как это было отмечено выше, независимы, можно написать среднюю кулонов­

При &<Сх <ык> = 1/(2р). Если вспомнить, что в случае длинных волн компоненты «к ведут себя почти коллективно и колеблются гармонически, то предыдущий результат легко понять физически на основе закона о равнораспределении энер­ гии по степеням свободы, согласно которому средняя потен­ циальная энергия гармонического осциллятора равна 1/(2р).

При /г» х

Предыдущее рассмотрение показывает, что на малых рас­ стояниях приближение индивидуальных частиц приводит к пра­ вильным результатам, тогда как на больших расстояниях необ­ ходимо учитывать упорядочение, связанное с кулоновскими си­

41

лами. В случае термодинамического равновесия энергия распре­ делена между движением отдельных частиц, а каждое из кол­ лективных нормальных колебаний обладает средней энергией

~ р - 1= и \

Подчеркнем в заключение, что приближение, в котором Ni считается непрерывной величиной, справедливо, строго говоря, лишь для малых значений волнового числа k:

переменных).

Рассмотрим однокомпонентную систему кулоновских частиц,

которых выступают компоненты Фурье от плотности частиц п(г). Разложим и(т) в ряд Фурье*:

и (г) = 2>(k) exp(ikry).

Для простоты, как и раньше, положим объем системы равным единице.

Если это так, то второй член в правой части уравнения (5.43). бесконечен. Однако не нужно забывать о наличии компенсирую­ щего равномерно распределенного заряда, который для k = 0 приводит к тому, что этот член следует опустить. Физически это

стеме большее число степеней свободы. Это, правда, не совсем так, поскольку новые переменные не являются независимыми, а связаны между собой соотношением (5.2). Это обстоятельство можно учесть, вводя в подынтегральное выражение произведе­ ние соответствующих б-функций. Тогда

Штрих означает, что в суммах и произведениях необходимо учитывать не все векторы к, а лишь те, которые лежат на полу­ сфере, так как п ск и п£ не являются независимыми перемен­

ными. Функция D(... nk...) играет роль якобиана для перехода

43

При этом использовано известное интегральное представление для 6-функции:

оо

6 (х) = j exp (2лт.ш) day.

Можно явно проинтегрировать выражение (5.48) по dr, если

разложить экспоненту, стоящую под интегралом в ряд по Ограничившись тремя членами разложения

Выражение для D0 распадается на произведение простых инте­ гралов. В качестве упражнения можно посоветовать читателю доказать, что

Тогда

ZN = ехр j— -^ - v (0 ) + -|- ^jTjnv

44