Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Г л а в а т р е т ь я

ВВЕДЕНИЕ В ДИАГРАММНУЮ ТЕХНИКУ

§ 6. МЕТОД ГРУППОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ МАЙЕРА

Настоящая глава может служить подготовительной к из­ ложению диаграммной техники в задаче многих тел, которая кратко будет обсуждена в дальнейшем в приложении к плазме.

с короткодействующим взаимодействием приводит при наличии малого параметра (в данном случае для достаточно разрежен­ ных систем) к вириальному разложению для термодинамиче­ ских функций. Метод можно обобщить на случай кулоновской системы частиц, для которой, как уже было показано раньше, вириальное разложение, записанное в обычном виде, не имеет смысла.

Конфигурационный интеграл ZN(|3, V) для однородной клас­

В одной из предыдущих глав уже обсуждалась необходи­ мость введения конечного радиуса взаимодействия на малых расстояниях в случае классической системы частиц. Поэтому будем считать, что на малых расстояниях частицы не являются точечными, а имеют конечный размер а (например, представ­ ляют собой малые твердые сферы), а при г>а взаимодействие отсутствует. Тогда очевидно, что /ij = 0 при |г*—г3-|> а . Это усло­ вие позволяет перемножить выражения под знаком произведе­ ния в интеграле (6.2) и выполнить тем самым разложение кон­ фигурационного интеграла ZN по степеням плотности частиц.

50

лены все диаграммы с N пронумерованными вершинами, начи­ ная с изолированных вершин и кончая полной диаграммой, для которой все вершины связаны N(N—1)/2 линиями. Тогда дан­ ный член в выражении (6.2) представляет собой произведение интегралов, каждый из которых соответствует связной части со­ ответствующего графика. Например, вершине соответствует ин­ теграл

v

жения о короткодействующем характере взаимодействия. Для кулоновской системы диаграммная техника, изложенная выше, не годится и требует модификации. Именно предположение о короткодействии позволяет построить графически в изложен­

стемы от диаграммы Gjv, обладающий следующими свойства­

диненным друг с другом связным частям Сг диаграммы GN (та­ кие связные части графиков независимы). Возвращаясь к пред­ ставлению конфигурационного интеграла Z n в виде разложе­ ния (6.2), нетрудно показать, что если представить стоящее под знаком интеграла произведение в виде ряда, то

где суммирование проводится по всем пронумерованным связ­ ным и несвязным диаграммам, причем вклад, соответствующий графику Gjv, равен:

52

Выражение (6.7) содержит в произведении все пары вершин (j, i), соединенные линией в диаграмме GN.

Если ввести обобщенную термодинамическую функцию

б о л ь ш и м к о н ф и г у р а ц и о н н ы м и н т е г р а л о м (боль­ шой канонической суммой состояний в отличие от канонической суммы состояний Гиббса ZN), то вычисление ZN(р, V) сведется к некоторой стандартной процедуре вычисления контурных инте­ гралов в комплексной плоскости. При этом большой конфигура­

где в произведение входят все функции fij, соответствующие линиям в связной диаграмме Q, а суммирование проводится по всем пронумерованным связным диаграммам с / вершинами. Например, первые три групповых интеграла следующие:

к“ w 5f(ria) dridr2=Т 1 4тЧ(r) dr;

О

Ь3 — | (/31/21 ~Ь /32/31 + /32/21 “t- /32/31/21) dr1dr2dra.

53

Построим функцию

Тогда очевидно, что большой конфигурационный интеграл с точностью до множителя V3 соответствует только что введен­ ной функции 1+.Р(л:), если иметь в виду, что ZN(P, У)-»-1 при

N-+0.

Отметим также, что функцию V%($, V, Z) можно рассмат­ ривать как производящую для величин /), т. е. как функцию }(х). Если это так, то на основании равенства (6.10) можно написать

Поскольку пока рассматривается система частиц с короткодей­ ствующим взаимодействием типа твердых сфер радиусом а, то

тонно возрастать при движении точки z в положительном на­ правлении действительной полуоси. Поскольку при возраста­

54