Справедливость этого соотношения в рассматриваемом случае легко показать. Для этого заметим, что для кинетической энергии незаряженной (идеальной) системы справедливо уравнение
Pi (2/3) Ег.
В этом легко убедиться формально, используя выражение (42.6), соотношение
Ob) = COnst,
а также тождество
dlt/Jdiico = (3/2) h /t.
Следовательно, необходимо определить вклад F2 в давление Р2 и энергию Е2. Потенциальная энергия
£ 110Т= (1/2) j (Ze) рtr-'dr + (1/2) Z j (— e) per~'dr,
что эквивалентно выражению
|
|
Ze1 |
/ |
4Z 2 |
\ V |
1Ф) (0) - |
0>k0)]x=i f d ( k \ |
(42.18) |
|
= — |
\ |
3 л |
J |
|
|
°o |
|
|
|
|
J |
|
Как |
видно из выражений |
(42.7) |
и |
(42.12), |
решения |
Фг(лг) и |
Фе(л:) не зависят от V, |3 и /. в отдельности, а зависят от их |
комбинаций: Кр_а/* |
и р_ | л ~4. Поэтому, |
если Р! и V\ — некото |
рые |
фиксированные |
значения |
температуры |
и объема |
и если |
эти значения связаны с р и V масштабным множителем с, т. е. |
К=с61/1и р= с4Рь то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2= |
к j |
Я2[ф ; (0) - |
Фе’ (0)] и,рд d (к2) = |
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= *с- 4 j |
(сЦ* [ф ; (0) - |
ф ; (0)],,^ .., d (с2Я2), |
|
где |
|
|
|
|
Ze2 |
/ |
4Z2 |
у/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ о |
\ |
Зл |
) |
|
|
|
Дифференцирование Кг по с дает |
|
|
|
|
|
|
АРг N |
|
|
— К2 + — Л 1Ф; (0) - |
Ф; (0)]^.pt.r = |
|
dc )v..P. |
|
|
С |
|
с |
|
|
|
|
|
|
- - |
— F2+ |
— к 1ф ; (0) — Ф; (0)]к.р.1• |
(42.19) |
сс
Тогда с учетом (42.16) получим
'• |
cif2 |
\ |
= z ( A h _ \ ( d v _ \ |
I |
f |
d F i \ ( |
\ = |
\ |
dc |
у i/,,рг |
V dV ,/p \ dc )v, |
|
\ |
J v \ |
dc /p, |
|
|
|
= - 6 - P , + |
4 |
f . |
|
|
|
|
c |
|
pc |
|
|
Комбинируя это выражение с формулами |
(42.18) |
и (42.19), |
PeV = Т (f2 + ■ ? ■ ) - Т |
= Т ^ - |
Е п о г ) + |
Y £ п о т , |
получаем |
|
|
|
что и доказывает утверждение (42.17). Численное интегриро вание уравнений для Фг- и Фе приводит к уравнению состояния, которое мы сейчас вкратце обсудим [9].
Рис. 59. Диаграмма состояний железа при плотно сти 78,5 г/см3 (а) и 7,85 г/см3 (б):
— рассматриваемая модель; — • — — модель Т ома са —Ферми; — — — — идеальная система.
На рис. 59 представлена диаграмма состояний железа. За висимость Р(Р) качественно отличается от соответствующей зависимости по теории Т—Ф; особенно заметно это прояв ляется при низких плотностях. Так, на рис. 59, б явно заметно характерное плато, которое не описывается теорией Т—Ф. Не очень понятно, можно ли придать этому плато какой-либо яс ный физический смысл. Не исключено, что это является про явлением движения ядер, которое не описывается моделью Т—Ф. Настоящие вычисления содержат ряд недостатков. На пример, теория не является последовательной по той же при
чине, что и все теории, использующие нелинеаризованное больцмановское распределение, что подробно пояснялось во второй главе. Это эквивалентно подмене реального взаимодей ствия между двумя заряженными частицами в плазме взаимо действием типа
Wafi ~ q ^ a (г).
Неоднократно отмечалось, что реальное взаимодействие частиц в плазме нельзя рассматривать как парное взаимодей ствие экранированных зарядов или как взаимодействие заряда с заэкранированной частицей. Ошибка, связанная с этим об стоятельством, однако, существенно уменьшается при высоких
температурах. Поэтому, по-видимому, результаты |
Кирквуда |
и Кована могут претендовать на количественный |
смысл, на |
пример для железа, при температурах выше нескольких де сятков электронвольт. Для легких элементов полученные ре зультаты верны количественно при температурах, соответст вующих нескольким электронвольтам. При этих температурах квазиклассическое рассмотрение в рамках теории Т—Ф с по правками представляет собой не худшее приближение.
На этом мы закапчиваем рассмотрение статистической тео рии плазмы, которое не может удовлетворить читателя пол ностью, но которое содержит ряд нужных результатов. Сама статистическая модель нуждается в улучшении, а в комбина ции с квантовомеханическими методами она может служить мощным средством исследования плазмы при высоких и уме ренно высоких давлениях. Такая комбинация, с одной сторо
ны, сильно упрощает |
чисто квантовомеханические расчеты, а |
с другой — улучшает |
модель. Задача состоит в поиске простой |
для вычисления и достаточно строгой модели. Отметим, что даже на существующем этапе развития статистической теории с ее помощью удается получать интересные качественные, а иногда, и количественные результаты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Альтшулер Л. В., Крупников К. К., Леднев Б. Н. и др. «Ж. эксперим. и
теор. физ.», 1958, т. 34, с. 874.
2.Гомбаш П. Статистическая теория атома и ее применение. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1951.
3. |
Гурвич Л. В., Рябова |
В. Г. «Теплофизика высоких |
температур», 1964, |
4. |
т. 2, с. 401. |
эксперим. и теор. физ.», 1960, |
т. 38, с. 1534. |
Калиткин Н. Н. «Ж. |
5.Киржниц Д. А. Полевые методы теории многих частиц. М., Госатомиз-
дат, 1963.
6.Кудрин Л. П., Мазеев М. Я. «Атомная энергия», 1967, т. 22, с. 83.
7.Кудрин Л. П., Мазеев М. Я. «Атомная энергия», 1967, т.22, с. 85.
8.Кудрин Л. П., Дозоров А. А. «Атомная энергия», 1969, т. 27, с. 39.
9.Cowan R., Kirkwood J. J. Chem. Phys., 1958, v. 29, p. 264.
10.Dirak P. Proc. Cambr. Phyl. Soc., 1930, v. 26, p. 376.
11.Frose J. Proc. Cambr. Phyl. Soc., 1957, v. 53, p. 206.
Г л а в а ш е с т н а д ц а т а я
О В О З М О Ж Н Ы Х М О Д Е Л Я Х П Л О Т Н О Й П Л А З М Ы
§ 43. О ТЕРМОДИНАМИКЕ ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ
Под плотной плазмой будем подразумевать систему частиц с сильным взаимодействием *. При этом представляют интерес два случая. Неидеалыюсть плазмы может определяться силь
ным взаимодействием кулоновских |
частиц, |
таким, |
что ц = |
= 2iZ2e2|3/ro ^ 1. При сравнительно |
невысоких |
температурах и |
значительных плотностях, когда степень ионизации |
невелика, |
неидеалыюсть плазмы обусловлена |
в основном взаимодейст |
вием между заряженными и нейтральными частицами. В этих условиях неидеалыюсть частично ионизованной плазмы суще ственна, если
|
|
па |П (0 )|р > 1 , |
|
|
(43.1) |
где |
па — концентрация атомов; U(0) — фурье-компонента |
по |
тенциала взаимодействия |
электрон — атом с |
нулевой |
переда |
чей импульса. |
не существует сколько-нибудь |
строгой |
теории |
для |
Поскольку |
описания |
указанных |
неидеальных систем, обсудим |
раз |
личные модели плотной плазмы, отчасти апеллируя к немного численным экспериментам, о которых шла речь в двенадцатой
главе. Ряд моделей плотной классической |
плазмы |
с сильным |
взаимодействием кулоновских частиц (см., |
в частности, § 18 и |
31) приводят к выражению для свободной энергии вида |
F — Flla-f AF; PAF/n = — аг\ |
b Inт] + с, |
(43.2) |
где коэффициенты а, Ь, с, соответствующие различным моде лям, отличаются довольно заметно, часто из-за ошибочных представлений [15]. Характерная особенность выражения (43.2) состоит в наличии решеточного члена в свободной энер гии, пропорционального л4/з. Этот член возникает естествен ным образом, если предположить, что кулоновская система имеет в случае сильного взаимодействия квазикристаллическую структуру, так что при достаточно высоких температурах
* Напомним, что вырожденная система кулоновских частиц высокой плотности является системой со слабым взаимодействием.
(Рйш0< 1) [11]: |
|
|
|
F = пе0+ |
-j- ^ |
In (Йсо,-Р) — пев + ~ In (Йсо0Р), |
(43.3) |
|
i |
|
|
где go — энергия |
электростатического взаимодействия, прихо- |
дящаяся на одну |
частицу |
(энергия Маделупга), а частота со0 |
близка к плазменной. Зависимость можно получить из довольно простых соображений.
Рассмотрим систему, состоящую из Na атомов, Ne электро нов и Ni однозарядных ионов. Если рассмотрение является иолуклассическим, статистическую сумму, учитывающую взаимо
действие, представляет конфигурационный интеграл |
|
Z 33 = |
- у J ехр (■— ри) dx, |
(43.4) |
где |
|
|
|
и = (1/2)еЧГ; |
W = е |
—---------—. |
|
|
A J |
I Х£ — X/ I |
|
‘ ' i
Эффективное снижение потенциала ионизации можно в общем виде записать так:
|
А/ = — (Р/ + Р<?)> |
(43.5) |
где р,-— химические потенциалы электронов и ионов. |
Функ |
цию Ф' |
можно трактовать как некоторый средний электростати |
ческий |
потенциал, обусловленный действием внутриплазменно- |
го микрополя: |
|
-^ ЧГj ехр (— Ц$) dx
’j' ехр (—6ф) dx
Тогда р3можно просто выразить через lFj, рассматривая заряд как внешний параметр системы, меняющийся от 0 до е:
Р; - j efVj (/.ер dk.
о
Выделим в начале координат системы точку, в которой на ходится заряженная частица i. Рассмотрим следующие обла
сти вокруг этой пробной частицы: |
частицы, где справед |
а) |
гок — наименьшее расстояние от i-й |
лив критерий Кирквуда — Онсагера |
|
|
11кл = |
etefilr <с 1; |
|
б) |
fie— радиус, отделяющий |
области, |
где движение частиц |
можно приближенно считать индивидуальным и коллективизи рованным. При г>Гге число заполнения единичного объема ве лико, так что плотность частиц можно записать согласно за-
