Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

Разлагая выражения (41.8) в ряды по степеням параметра ос, получаем асимптотические выражения для случая сильного* сжатия:

Подставляя эти выражения в формулы (41.8), получаем асимп­ тотические выражения и для термодинамических величин си­ стемы. Не будем их здесь выписывать ввиду громоздкости по­ лучающихся формул [4].

Ранее уже отмечалось, что уравнение Т—Ф универсально в том смысле, что его нужно решить один раз, получив решения

уравнения, рассматриваемые здесь, не содержат Z в комбина­ циях, отличных от приведенных. Если же дополнительно вве­ сти функции Z-"/. бР, Z~b/s бЕ, Z_2/a р, то автомодельность распространяется и на уравнения для поправок первого по­ рядка. Это обстоятельство сильно облегчает численные расче­ ты, так как в этом случае любое решение уравнений годится для всех элементов. Напомним, что уравнение Т—Ф—Д необхо­ димо решать отдельно для каждого Z.

Численное интегрирование уравнений (41.8) выполнено в работе [4]. Интересно сравнить полученные результаты по сжи-

41S

маемости железа с экспериментальными данными [1]. На рис. 56 и 57 представлены теоретические и экспериментальные

показана экстраполяция экспериментальных кривых в область, где поправка к давлению, вычисленному в приближении Т—Ф, составляет 30%. Эти экстраполированные кривые, переходя-

Т _ ф _ П — приближение Т —Ф с квантовы ­

м и п о п р а в к а м и .

щие в кривые, полученные на основе рассмотренного прибли­ жения, по-видимому, с точностью до 10—15% описывают сжи­ маемость железа при давлениях, еще не достигнутых в экспе­ рименте, если картина не осложняется при этом фазовым пере­ ходом.

К настоящему времени в лабораторных условиях достигну­ ты давления порядка 107 атм. В природе сильно сжатое веще­ ство встречается в недрах многих небесных тел. Особенно больших давлений (порядка 1017—1020 атм) можно ожидать в звездах (так называемых белых карликах).

В области нормальных плотностей, где нельзя пренебре­ гать оболочечной структурой атома, статистическая модель должна приводить к неточным результатам. Однако в отличие от простейшей модели Т—Ф рассмотренная модель, хотя и ка­ чественно, но описывает некоторые свойства твердого вещест­ ва. Поэтому интересно рассмотреть экстраполяцию в область нормальных плотностей. Поправки к вычисленным термодина­ мическим величинам отрицательны и при У -*-оо стремятся к

416

нулю медленнее, чем неисправленные величины. Поэтому ис­ правленное давление обращается в нуль при некоторой конеч­

Рис. 58. Теоретическая и экспериментальная зависимости плотности несжатого вещества от Z.

периментальная и теоретическая зависимости плотности не­ сжатого вещества от Z. Статистическая модель не может, ко­ нечно, объяснить ход экспериментальной кривой, однако и здесь видно, что квантовые поправки приводят к лучшему опи­ санию усредненной зависимости плотности от заряда ядра.

Обсудим вкратце физический смысл статистической теории и пределы ее применимости. В наиболее простом виде стати­ стическая теория описывается приближением Т—Ф, которое является квазиклассическим. Условие квазиклассичности дви­ жения частицы требует, чтобы длина волны была малой по сравнению с характерными неоднородностями задачи:

сти. В этом случае можно ожидать, что интегральные харак­ теристики системы будут описываться статистической теорией достаточно корректно.

Если параметр g достаточно мал, то в нулевом приближе­ нии можно вообще пренебречь всеми градиентами граничного импульса и потенциала, что и приводит к теории Т—Ф. Однако при описании взаимодействия сложных атомов или при изу­ чении детального хода плотности электронов вблизи ядра по­ лучаются грубые результаты, если пользоваться статистиче­

плотность электронов становится малой и применимость само­ го статистического описания можно поставить под сомнение.

Оцепим относительную роль полученных выше обменных и квантовых поправок. Вклад этих поправок определяется пара­

том важном случае, когда область, непосредственно прилегаю­

порядку величины квантовая и обменная поправки совпадают. Из выражения (41.11) следует, что с увеличением плотности системы вклад квантовых и обменных поправок уменьшается. В самом деле, поскольку плотность

418

п(х) = р3(х)1 Зл2,

то

М -1

( а 0п и )

Если область вблизи ядра выделена по каким-либо причи­ нам, то приведенные оценки теряют смысл. В этой области

где г — расстояние от ядра. Отсюда

Следовательно, при ro^a0/Z квантовые поправки велики, а об­ менные малы.

Модель Т—Ф предполагает независимое заполнение ячеек в фазовом пространстве. При этом в значительной мере игно­ рируется кваптовомеханический принцип неопределенности. Формальным источником квантовых поправок является, таким образом, некоммутативность операторов координаты и им­ пульса.

Статистическая теория существенно лучше описывает свой­ ства сильно сжатого вещества в отличие от несжатого веще­ ства. Действительно, вещество, находящееся под действием невысоких давлений, обладает большим разнообразием свойств. Величины, характеризующие эти свойства, обнаружи­ вают сильную и немонотонную зависимость от химического со­ става вещества. Последний же, в свою очередь, определяется свойствами периферийной области атомов, строением элек­ тронных оболочек и т. д. При сжатии вещества проявляется тенденция сглаживания его свойств, а при достаточно больших давлениях эта зависимость становится плавной и монотонной. При Р~^>ео наружные электронные оболочки атомов перестают существовать, поскольку входящие в их состав электроны от­ рываются от атомов и коллективизируются. Это обстоятельст­ во существенно облегчает теоретическое рассмотрение стати­ стической модели.

Внутреннее давление ео нетрудно оценить из следующих соображений. Обозначая энергию электрона е, число частиц N и характерную длину L, можно положить eq~ N e/L3. Пусть

ео1)

И* 419