Файл: Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы.pdf

комам статистической механики. По смыслу г1е порядка г0— среднего расстояния между частицами:

Введем далее гс как расстояние от рассматриваемой части­ цы, такое, что при г<гс взаимодействие может быть удовлет­ ворительно описано по Кулону без экранирования. В области r > r ie справедлива формула Пуассона:

где iij — Nj/V-, Wj — «потенциал средних сил», действующих на частицу /, находящуюся на расстоянии г от частицы i.

В_области г>Гои потенциал средних сил можно заменить на ej4?i(r) и уравнение (43.6) можно линеаризовать:

где d определяется условиями сшивания для функции xF j и ее производной в различных областях.

Распределение для 'Fi(r) в области /•с^/-^шах(гой, rie) опре­ делить труднее. Можно попытаться обойти эту трудность с по­ мощью разумных аппроксимаций. В связи с этим рассмотрим два случая: гойСг<в и /оь^/Че- В области 0< .г< гс выражение

^ ( г ) и его производной на границах. Задача сводится к сши­ ванию выражений (43.9) и (43.10) при r ^ r ie (или г = гс). Из непрерывности производных следует

4 3 0

откуда

Из непрерывности потенциалов на границе получаем

Вычитая вклад ег/г рассматриваемой частицы из МГ,(г) в виде (43.10), видим, что d идентично потенциалу, который нуж­

но определить, т. е. d ~ Чг,-. Отметим, что d практически не за­ висит от г. Действительно, так как /~<Сг,>, то

где выражение для с пока неизвестно. Это выражение находим из условия непрерывности Мг,- при переходе через критическую

Разумеется, величина с является не очень определенной, так как предположение го1,<^.г,г, использованное при выводе фор­ мулы (43.11), нарушается вблизи критической плотности.

В результате получим [28]:

P/I = (е2/2) х при п < пкр;

(43.17)

Р/п = — (с/2) ej/r0 при п > пкр.

Тогда для водородной плазмы снижение потенциала ионизации

А/ = — е2х при п < пкр;

(43.18)

А/ = се2/г0 при п > пкр.

Первое из этих выражений описывается поляризационным чле­ ном, а второе — решеточным в соответствии с выражением для свободной энергии (43.2). Последнее выражение справед­ ливо лишь для очень плотной плазмы, когда тепловая энергия является возмущением, неспособным хаотизировать состояние системы. Поэтому рассматриваемую систему правильнее назы­ вать не газом, а плазменной жизкостью, в которой в ближнем порядке существует регулярная структура, а энергия взаимо­ действия выражается не через дебаевскую длину, а через сред­ нее расстояние между частицами г0.

Полуколичественные рассуждения, приведенные выше, не могут, конечно, гарантировать правильность величины для коэффициента а в формуле (43.2). В условиях эксперимента

431

член окажется существенным для описания уравнения состоя­ ния. При этом заметный вклад должны давать также кванто­ вые поправки, роль которых качественно описана в работе [15].

две фазы пока не обоснованы. Эксперимент не подтвердил этих предсказаний [14]. Не исключено, конечно, что фазовые превращения имеют место в плазме с более сильным взаимо­ действием (ц>-1). Вопрос о том, существует ли с и л ь н о и е-

ролла, оказывается термодинамически неустойчивой (см. главу одиннадцатую). Примером сильно неидеалыюй плазмы может служить так называемый ионный кристалл. Действительно, если плазма состоит из тяжелых положительных и отрицатель­ ных ионов, обладающих конечными размерами, то при низких температурах такая система становится сильно неидеалыюй, поскольку у тяжелых ионов энергия Ферми ef мала. Ионный кристалл, таким образом, может существовать.

Иным образом обстоит дело в электронно-ионной плазме, поскольку вследствие малой массы электронов атом всегда яв­ ляется чисто квантовым образованием в отличие от элементар­ ной ячейки ионного кристалла. Иными словами, при локализа­ ции электрона на расстоянии от иона порядка размера атома, энергия Ферми электрона становится сравнимой с потенциаль­ ной энергией притяжения к иону. Поэтому не совсем ясно, мо­ жет ли существовать электронно-ионная плазма в этих усло­ виях.

Попробуем на основе простой модели выяснить область по температуре и плотности, в которой существование электронно­ ионной плазмы возможно [17]. Пусть исследуемая плазма со­ стоит из электронов и ионов, которые могут образовывать атомы размером а и с потенциалом ионизации /. Чтобы выяс­ нить возможные области пеидеалыюсти, рассмотрим рис. 60, на котором 1/р и п ’/■ (« — полная плотность тяжелых частиц)

432

BE, электронная подсистема почти идеальна. Таким образом,, неидеалыюсть плазмы возможна только в области ОBE. Если плотность плазмы существенно меньше атомарной плотности па—а~3, для грубой оценки плотности электронов можно вос­ пользоваться формулой Саха

где пе— плотность электронов; /е — постоянная. При подста­ новке в эту формулу п‘/з= 1/р получается уравнение для гра­

ницы искомой области в переменных п и 1/р, в которой плазма не может быть идеальной и в которой формула Саха не спра­ ведлива:

Из этой формулы следует, что минимальная (граничная) плот­ ность лг(|3) пропорциональна /~3 (см. рис. 60).

Рис. 60. Диаграмма состояний водородной (а) и цезиевой (б ) плазмы.

Цезий выбран в качестве примера вещества с низким по­

низким потенциалом ионизации возможен случай, когда «мин. г<«а- При этом существует область плотностей и темпе­ ратур, в которой электронные оболочки атомов перекрываются слабо, а электроны проводимости образуют сильно неидеаль­ ную подсистему. Эта область заштрихована на рис. 60. По­ скольку в указанной области электроны далеки от вырожде­ ния, для оценки можно описать их поведение классически. Тогда полная статистическая сумма

433

нить требование, чтобы интегрирование в фазовом простран­ стве проводилось по координатам свободных электронов. Про­ стейшим определением ионизованного состояния является сле­ дующее: энергия электрона в поле ближайшего иона должна быть положительна. По-видимому, более правильно ввести свободные электроны, потребовав, чтобы их энергия в поле ближайшего иона соответствовала бы энергии связанного со­

где и 6е — потенциал i-ro электрона в поле ближайшего иона;

у — число порядка единицы. В действительности условие, на­ лагаемое на область интегрирования в фазовом пространстве электронов, конечно, является более сложным, однако исполь­ зование условия (43.22) позволяет получить полуколичественпые результаты.

Выполняя в формуле (43.21) необходимое интегрирование по импульсам с учетом неравенства (43.22), получаем

где Fe и F l — свободная энергия идеальных газов из электро­ нов и ионов соответственно, а

Фе = «е + ye2n j ‘.

434