где Я — размер ячейки; V — объем системы. Свободная энергия единицы объема системы в рассматриваемой модели имеет вид
F/V = (1/0) rnaIn (гпаХ3) + (1/0) nLIn (П;Я3) + (1/рА3) (1 — т ак3—
— пгЯ3) In (1 — rnal 3 — tijl3) -f (nejf>) In — — + E, (43.32) e
где E — энергия взаимодействия (совпадающая с соответствую щей свободной энергией). Первые три слагаемых в правой части характеризуют энтропию заполнения ячеек тяжелыми ча стицами
In СNo N„- -VN„ |
|
четвертое — свободную энергию электронного газа. |
|
Учтем энергию притяжения |
атомов — ип2а/2 и энергию иони |
зации п(,1 (п) с потенциалом |
ионизации, зависящим |
от плотно |
сти п: |
|
|
Е = пе1 |
(п) —ипа2/2. |
(43.33) |
Минимизируя выражения (43.32) и (43.33) по пе с учетом условия электропейтралыюсти плазмы Пг==пс при n = const полу чаем уравнение ионизационного равновесия (аналог формулы Саха):
*«ч2 |
г—1 ехр |
I (л) р |
Ц /Р |
(43.34) |
п<п., |
|
Г |
Г |
(1 — пеХ3— пгаХ3) 2 |
|
|
|
|
Степень ионизации а, вычисленная с помощью уравнения |
(43.34), в пределе r-> |
1 и и = 0 переходит |
в выражение |
(43.31). |
При r> 1 получается дальнейшее уменьшение потенциала иони зации (//г вместо /). Кроме того, степень ионизации увеличи вается и за счет предэкспонепциального множителя. Как следует из уравнения (43.34), эффективная плотность п*, при которой на чинается сильный рост степени ионизации, уменьшается с уве личением температуры.
С помощью выражений (43.32) и (43.33) получаем уравне ние состояния
Р = |
-In- 1-- ГПаЯ3:—Пр X3 |
\ап |
дг(п) |
' s |
0 |
дп |
|
|
|
9 |
X In |
т аХ3 |
ПП. д! (л) |
ипа |
2 |
(43.35) |
|
1 — гпаХ3— пеЩ |
дп |
' |
Дальнейшая конкретизация этого уравнения зависит от явного вида г(п) и 1{п). Для / (п) можно предположить, например, зависимость типа /0[1—(n/«i)], где п.\ — некоторая константа. Функцию г(п) при пХ3<C l можно, вообще говоря, определить
из экспериментальных значений сжимаемости вещества в обла сти малой степени ионизации.
В описанной модели имеет место расслоение на фазы при
Т <.Tilv. Спинодаль дР/дп = 0 |
полностью ионизованного вещества |
(пе=п) характеризуется уравнением: |
|
(р/ )-1 = |
- l l . . ± z ! * L , |
(43.36) |
щ2 — пА3
откуда следует:
Т’макс — 0,310/пХ3 при п ~ 0,6/АЛ
Спинодаль для п = п„ существенно зависит от явного вида функ ции г(п). При малых плотностях, когда / (n) ~ 1, спинодаль имеет вид:
1/Ри = л(1 — пк3). |
(43.37) |
Отсюда следует
ТШК0~ и 1 пХя при / г = 1/2Я3.
В области промежуточных значений п спинодаль, вычисленная согласно уравнению (43.35), переходит от случая, описываемого выражением (43.37), к соответствующему выражению (43.36), характерному для высоких плотностей. В зависимости от г(п)
Рис. |
62. Диаграмма состоянии, соответствующая сеточ |
|
|
ной |
модели плазмы: |
1 |
— кривая расслоения на |
ф азы д л я |
нсионнзованного вещества: |
2 |
— с |
учетом трех компонент; 3 — для |
полностью ионизованного |
|
|
вещества. |
|
и rti этот переход может быть резким или плавным. Кроме того,
кривая расслоения на фазы |
может |
иметь |
два максимума |
(рис. 62). В зависимости от П\ |
и г ( п ) |
подъем |
вблизи второго |
максимума может быть достаточно резким. Выше кривой рас слоения имеется монотонный рост степени ионизации с увеличе
нием плотности. При |
но р-1^:/,, это увеличение также |
может быть достаточно резким и происходит при r l n r ^ |
/(п)р. |
Если реализуется такая |
возможность, то ударное сжатие |
(р/ро) |
плазмы в закритических условиях может резко возрасти вблизи
значения плотности, где наблюдается рост степени ионизации. Соответственно должна уменьшаться скорость фронта ударной волны при том же конечном давлении.
Только что рассмотренная сеточная модель в какой-то мере интерпретирует описанные в двенадцатой главе эксперименты с парами ртути и цезия. Теоретики «хитрят», вводя не слишком определенные величины г(п) и щ, подбирая которые можно до биться и количественного совпадения с данными опыта.
Наиболее простой моделью неидеальной плазмы является трехкомпонентная система, рассмотренная в двенадцатой главе и согласно которой электронная и ионная компоненты раство рены в нейтральной. Удобно оценивать вклад различных попра вок к этой модели, в которой уравнение состояния можно запи сать в виде [15]:
Р - К /Р ) |
= Pi?Р |
1 ---- ПРИ х |
^ |
|
|
|
п /р |
п |
7 |
х |
^ , |
|
|
---------- при |
X > 1, |
|
|
6 |
2 |
|
= |
1 — — X й |
[ 1 — 0,73 (Р Яу)~'!г х и], |
п3
где х = л412ц. Так, учет неидеалыюсти нейтральной компоненты |
по Ван-дер-Ваальсу, |
а также взаимодействия |
электрон — атом |
с помощью |
введения |
псевдопотенциала (33.15) |
и поправок па |
вырождение |
(АР, Ар) |
позволяет записать уравнение состояния |
и уравнение ионизационного равновесия в следующем виде [15]: |
Р = Р- 1п„ (1 — Ьпа)-1 —Ш1а + |
Pie — папе%2тГх(лq)u + &Р", (43.38) |
па(1 — К ,)-1 = п] %3е |
(Va/2V;) exp [р/ — ф (п„ Р) — |
— (па— пе) |
(щ)'и + 2anaP — Ъпа(1— Ьпи) + рАр]. |
Здесь а и b — константы Ван-дер-Ваальса; q — сечение рассея |
ния электронов на атоме; 2 а, г — статистические суммы атомов и ионов; / — потенциал ионизации;
■ И"„е) = ( л 2Г Т х < и |
, |
( 4х — 1п х — 2 при х > |
1. |
Отметим, что возможна комбинация выражений (43.35) и (43.38).
Взаимодействие электрон — атом можно учесть и иными спо собами [12]. Один из интересных подходов при рассмотрении неидеальной плазмы при ее металлизации (что и наблюдалось, в частности, при экспериментальном исследовании паров ртути [9, 23]) был предложен в работах [18]. При сравнительно невы соких температурах ( ~ 103°К) и еще неметаллических при этих
температурах плотностях (до 1022 см~3) плазма ионизована слабо и неидеальность ее обусловлена в основном взаимодействием электронов с атомами. В таких условиях неприменимы представ ления о плазме как о смеси слабонеидеальных газов. Система приобретает свойства, характерные для некоторых полупровод ников. Наряду со свободными электронами в такой плазме при сутствуют электроны, локализованные флуктуациями плотности, хорошо известные в теории неупорядоченных систем с сильным взаимодействием 113]. Локализованный электрон может ста билизовать флуктуацию. Это приводит к появлению в неупоря доченной среде очень тяжелых отрицательно заряженных ком плексов частиц — кластеров. Возникновение кластеров может привести к явлениям типа фазовых переходов. В работе [18] показано, чго эти явления могут иметь место в невырожденной неидеальной плазме, что и наблюдается экспериментально в па
рах ртути [9]-
Пусть взаимодействие электрона (г) с атомом (R,) описы вается короткодействующим потенциалом U(г — R,). Тогда по ведение электрона можно описать полем хаотично расположен ных атомов с потенциалом
и {г) = 2 f / ( r - R , ) - < S ^ ( r - R ;)> ,
i=l |
1 |
где <...>== N Vo — средний |
потенциал, который можно учесть |
с помощью перенормировки химического потенциала ре, причем усреднение выполняется по всем возможным конфигурациям атомов. Концентрация электронов выражается через плотность
состояний электронов обычным образом: |
|
пе — ехр (Рр,^) (' |
ре(со) ехр (— fta) d(£>/2n, |
(43.39) |
— оо |
|
|
где |
|
|
р-<в) = 1 - г ] ' ( ^ < в1ш - |
£ ( г ’ р)1>: £ = £ г + и |
<г>- <43-40> |
4 Из теории неупорядоченных систем (см., например, [13]) известно, что при больших плотностях функция ре(со) обладает «хвостом», тянущимся далеко в область ранее запрещенных энергий со<0. Поэтому наряду со свободными электронами (ш >0) появляются электроны с отрицательной энергией. Эти электроны локализованы в ямах, образованных флуктуациями плотности атомов. Концентрации полного числа электронов (пе) и свободных электронов (пс), согласно выражениям (43.39) и (43.40), можно представить в виде
ne = 2X73exp(Pp,e)[iVjdr(exp{— l/(r)p} — 1)]; |
(43.41) |
пс - 2ХГ3 ехр ф ц е) [{2'иЩ) Г (3/4) (РW 0)v‘ + 1 ] ехр ( - NV£), (43.42)
