Файл: Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие..pdf

Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного

х =4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные гра­ ницы:

7 —0,98 = 4,1—0,98 = 3,12;

л:+ 0,98 = 4,1+0,98 = 5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,1 2 < а <5,08.

Г л а в a V

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

§1 6 . Общие положения

Большинство задач, решаемых при анализе и контроле ка­ чества продукции, связано с проверкой различного рода пред­ положений относительно показателей качества или парамет­ ров, влияющих на эти показатели. Такие задачи решаются в математической статистике с помощью теории проверки стати­ стических гипотез.

Под статистическими гипотезами будем понимать различ­ ного рода предположения о законах распределения случайных величин или значениях числовых характеристик, а под про­ веркой — систему правил обработки результатов испытаний выборки и принятия заключений относительно правдоподобия выдвинутых гипотез.

Различают параметрические и непараметрические гипотезы.

и необходимо только проверить конкретное значение пара­ метра.

7 8

Н е п а р а м е т р и ч е с к и е г и п о т е з ы относятся к пред­ положению относительно вида распределения признаков каче­ ства. Например, типична следующая постановка задачи: «про­

мейство распределений, одинаковых по виду и отличных по па­ раметрам.

Исходным понятием теории проверки статистических гипо­ тез являются понятия основной и конкурирующей (альтерна­ тивной) гипотезы, которые в дальнейшем будем обозначать со­ ответственно # 0 и Ну. По смыслу конкурирующая гипотеза Ну противопоставляется основной.

основная гипотеза Н0 сформулирована в виде р.= ро, ст=£^сго, та конкурирующей гипотезой является гипотеза, заключающаяся в том, что математическое ожидание генеральной совокупно­ сти р=т^ро при любых средних квадратических отклонениях а,. либо р = ро, но а>Оо-

Рассмотрим общий принцип поверки правдоподобия статиг стических гипотез. Пусть Х у, х2, . . . , хп — совокупность слу­ чайных исходов испытаний, например, измерения контрольногопризнака у п изделий. Вероятность каждого исхода опреде­ ляется функцией распределения F ( x ) = P { X < x } , относительна вида или параметра которой выдвигаются основная и конкури­ рующая гипотезы. Предположим, что существует некоторая случайная функция 5 (х ь х2, . . . , хп), зависящая только от слу­ чайных результатов испытаний, которая полностью определена (т. е. определена область изменения функции и закон ее рас­ пределения), если справедлива гипотеза Н0. В этом случае от­ носительно поведения случайной величины 5 (х ь х2, . . . , хп) можно вывести следствия, которые будут носить характер ве­ роятностных суждений, и тогда проверка гипотезы сведется к проверке согласованности результатов эксперимента с установ­ ленными нами теоретическими выводами. Система правил, на основании которой проверяется согласованность результатов эксперимента с одной из гипотез, называется к р и т е р и е м : п р о в е р к и . В качестве возможного критерия рассмотрим: так называемый критерий согласия, в соответствии с которым принимаются заключения относительно истинности гипотез; для всех рассматриваемых ниже задач. Критерий согласия выражает количественную меру расхождения гипотезы с

79

торое случайной точки S (x b х2, . . . , хп) при заданных условиях эксперимента, т. е. при условиях справедливости основной ги­ потезы, практически невозможно. Критическое множество устанавливается из неравенства, утверждающего, что вероят­ ность данного события в условиях справедливости гипотезы Я 0 не превышает малого числа а:

где а — уровень значимости.

л

Если значение выборочной функции 5 ( х ь х2, . . ., хп), вы­ численное по данным произведенных наблюдений, окажется в критической области, гипотеза Н0 отвергается, так как попада­ ние в эту область при нашей гипотезе невозможно, и потому

Л

несовместимо с ней. Если же S(xj, х2, . . . , хп) окажется в об­ ласти допустимых значений, то еще нельзя утверждать, что ги­ потеза подтвердилась, можно лишь говорить только о том, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Но-

Практически процедура проверки гипотез включает четыре элемента:

формулируются основная и конкурирующая гипотезы; назначается уровень значимости а. Заметим, что выбор а не

является статистической задачей и определяется последствия­ ми от неверно принятых решений (см. ниже). На практике наиболее распространены следующие значения а: 0,1; 0,05; 0,01; 0,005; 0,0027; 0,001;

выбирается критическая область таким образом, чтобы ве­ роятность отклонения основной гипотезы в случае ее справед­ ливости была равна уровню значимости;

принимается решение: гипотеза отвергается, если выбороч­ ное значение лежит в области отклонения, в противном случае гипотеза принимается.

Вследствие ограниченного объема выборки результат эк­ сперимента случаен, поэтому при вынесении заключения отно­ сительно справедливости гипотезы Н0 возможны ошибки. С од­ ной стороны, не исключена ситуация, когда в случае справед-

Л

ливости основной гипотезы случайная точка 5 ( х ь х2, . . . , х п) окажется в критической области, так как вероятность этого со­ бытия отлична от нуля (в то же время она не превышает а). В этом случае гипотеза будет ошибочно отклонена, как не со­

что при справедливости конкурирующей гипотезы случайная

80