Файл: Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие..pdf

тических множеств, попадание в которые случайной величины 5(.v'i, х2, ■ . ■ , х п) приводит к тому, что основная гипотеза от­ вергается.

Например, предположим, что проверяется основная гипоте­ за о значении некоторого параметра распределения а0. Причем заранее известно следующее: конкурирующая гипотеза заклю­ чается в том, что а > а 0- Если при этом из теоретических сооб­ ражений следует, что в случае справедливости конкурирующей гипотезы плотность распределения функции S (x b х2, .. . , х п/а) лежит правее соответствующей плотности распределения слу­

вительностью в том случае, если критическая область задана в соответствии со случаем 1.

Таким образом, критическая область должна обеспечить наибольшую вероятность попадания в нее случайной величины 5(xi, х2, . . . , х п) тогда, когда справедлива гипотеза, конкури­ рующая с проверяемой. Эта вероятность носит название м о щ- н о с т и к р и т е р и я . Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершения ошибки второго рода.

Необходимо отметить, что непараметрические критерии об­ ладают меньшей мощностью, что связано с потерей информа­ ции при разбиении результатов измерений на группы-ранги (часто непараметрические критерии называют также ранговы­ ми). Это приводит к тому, что существующее различие между гипотезой и экспериментом при использовании непараметриче-

82

ских критериев реже является значимым, т. е. достаточным для опровержения основной гипотезы, чем в случае соответствую­ щих параметрических критериев. Если, однако, непараметри­ ческий критерий позволяет сделать выводы о значимости раз­ личия, то параметрический критерий не может дать иного ре­ зультата. Таким образом, если выполняются требуемые пара­ метрическим критерием условия, то следует, как более эффек­ тивный, применять параметрический. Но при этом нельзя за ­ бывать, что непараметрический критерий проще и удобнее в использовании, поэтому в ряде случаев может оказаться более предпочтительным.

Рис. 15. Двустороннее и одностороннее критическое множество и вероят­ ность попадания критерия в область допустимых значений при справедли­ вости гипотезы Н\:

§17. Проверка параметрических гипотез

Вследующих параграфах будет рассмотрен ряд задач, ре­ шаемых методами проверки статистических гипотез, и не при­ водя сложных математических выкладок, будут указаны ко­ нечные формулы, методы и порядок вычислений и правила пользования соответствующими статистическими таблицами.

Проверка гипотезы о среднем значении р нормально рас­ пределенной генеральной совокупности. На практике р часто является номинальным размером, и проверка гипотезы о сред­ нем значении состоит в проверке правильности настройки обо­ рудования.

1.Дисперсия а2 известна. Пусть X — случайный контрол ный признак изделия, распределенный нормально с математи­ ческим ожиданием роДля проверки гипотезы отбирают вы­ борку п элементов, по результатам испытаний которой вычис­ ляют оценку математического ожидания — среднее арифмети­ ческое выборки:

п

2 * ,

ляется значимым, т. е. объясняется только естественным прояв­ лением случайности результатов испытаний ограниченной вы­ борки (но не отличием генеральной средней от ро)-

Имеет место следующая теорема: выборочная функция

при справедливости гипотезы Н0 распределена нормально с ма­ тематическим ожиданием р0 и дисперсией, равной единице

(рис. 16).

Г U)

Рис. 16. Критическая об­ ласть критерия Z , имею­ щего нормальное распре­ деление

Заключение о принятии или забраковании гипотезы Н0 вы­

носится на основании сравнения Z с границами критической

выборка я=100 шт. и измерены отклонения от размера 100 мм.

По результатам измерений подсчитано выборочное среднее *=30,52 мкм. Требуется проверить, существенно ли превышает рассчитанное по выборке

значение 30,52 мкм номинальный размер 30 мкм. Дисперсия генеральной со-

л

вокупности сг2= 3 6 м к м 2. Величину Z подсчитывают по формуле (41):

Л0,52

Z = —— . 10 = 0,866.

6

84

В производстве недопустимы большие положительные отклонения, по­

2. Дисперсия неизвестна. Пусть X — контрольный призна изделия, распределенный нормально с математическим ожи­ данием ро и дисперсией а2. Рассмотрим выборочную функцию

8 5

Решения уравнений (44), (45) и (46) представлены в табл. 8. Заключение о принятии или забраковании гипотезы Н0 вы­ носится на основании сравнения реализации случайной величи­

ны Т с границами критической области.

зу И о, считая дисперсию неизвестной. Выборочное среднее квадратическое отклонение s= 5 ,6 мкм.

По формуле (42) рассчитывают величину

Л0,52

Г= - :— • 10 = 0,928. 5,6

Из табл. 8 по числу степеней свободы т = п — 1=99 и а=0,05 для случая

одностороннего ограничения находим ta m = 1,665. Так как Г =0,928<1,655,

гипотеза Н 0 принимается, как не противоречащая экспериментальным данным.

86

Проверка гипотезы о дисперсии а2 нормально распределен­ ной генеральной совокупности Я 0 : о2 = Оо2. Данная проверка применяется для анализа точности технологических про­

Если гипотеза Я 0 верна, то имеет место теорема: образо­ ванная с помощью эмпирической дисперсии выборочная функ-

Л(п_ |\ s2

Рис. 18. Критическая область критерия %2, имеющего распределение «хи-квадрат»

87