Файл: Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие..pdf

Таким образом, нижняя граница критического множества т может быть найдена в табл. 9 по величине 1— 5-и числу

степеней свободы т = п —1.

Вслучае одностороннего ограничения критическое значение определяется из соотношения

При этом мы указали уравнение только для определения границы при правостороннем ограничении. В большинстве слу­ чаев применяется односторонний критерий с ограничением больших значений функции х2> а следовательно, и больших дисперсий, так как малые выборочные дисперсии положительно сказываются на точности работы технологического оборудова­ ния. В данном случае опровержение гипотезы Нй будет озна­ чать, что эмпирическая дисперсия s2 значимо больше Сто2.

Заключение о принятии или забраковании гипотезы Я 0 вы­ носится на основании сравнения реализации случайной величи­ ны у2 с границами критической области.

П р п м ер 21. В цехе токарных автоматов производятся цилиндрические болты. Из партии болтов взяли выборку объемом /1 = 20, измерили длину

каждого болта и рассчитали статистики: х = 1 8 мм и s2=784 мкм2.

Можно ли считать, что станок дает допустимый для данной партии разброс или же расчетное значение s2=784 мкм2 указывает на несоответст­ вие точности станка предъявляемым требованиям: ст02== 400 мкм2.

отвергается. Таким образом, выборка показывает, что процесс изготовления болтов подвержен влиянию серьезных помех, и станок не обеспечивает тре­ буемую точность. Вероятность ошибочности нашего заключения не превы­ шает а.

88

практике часто возникает необходимость сравнения разнооб­ разных конструкций, технологических процессов, приборов, состояний производства в различные моменты времени и т. д. Для этой цели чаще всего используются гипотезы о равенстве средних дисперсий и других параметров распределений.

1. Случай известных дисперсий. Проверка гипотезы о значе ниях двух средних из нормально распределенных генеральных совокупностей основана на анализе статистики

89

Л'ь Х2— средние арифметические выборок, которая в случае справедливости основной гипотезы распре­

делена нормально с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Границы критического множе­ ства в случае одностороннего (Za) и двустороннего (Z /) огра­ ничений устанавливаются с помощью табл. 7. Если реализация выборочной функции

гипотеза Н0 отвергается, как противоречащая эксперименталь­ ным данным. В противном случае гипотеза принимается.

П р и м е р 22. В цехе холодной штамповки через определенные проме­ жутки времени ведется наблюдение за состоянием технологического про­ цесса. Его разладки приводят к смещению номинального значения контро­ лируемого признака X . Для проверки стабильности через каждые три смены

Результаты исследования двух выборок: .*1=3,03 мм; А'г=2,981 мм. Рассчитывается критерий по формуле (54)

£ _ 0,057

.085.

0,0526

По табл. 7 для а=0,05 2а =1,645 (одностороннее ограничение, так как раз­

ладка приводит к уменьшению номинального размера). Таким образом, ги­ потеза Яо принимается, как не противоречащая экспериментальным данным. Следовательно, можно считать, что в данный момент технологический про­ цесс стабилен и не требует подналадки.

2. Случай неизвестных дисперсий (двойной (-критерий Приведем решение поставленной задачи для случая неизвест­ ных, но равных дисперсий сг|2 = сг22.

Справедлива следующая теорема: если контрольный при­ знак X имеет нормальное распределение, то в случае истинно­ сти гипотезы Н0 выборочная функция

где Xi, х2— среднее арифметическое первой и второй выборок; Si2, S22 — выборочные дисперсии;

Ц], п-2 — объемы выборок,

90

имеет распределение Стьюдента с m = ni + n2—2 степенями сво­ боды.

Критерий проверки гипотезы аналогичен изложенному на стр. 85—86.

дел прочности стали марки А отличается от предела прочности стали мар­ ки В.

Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей # 0: сТ]2 = а22. Пусть для проверки сформулированного утверждения из первой со­ вокупности взята выборка объема п\, а из второй совокупно­ сти — объема п2. По результатам испытаний выборок опреде­ лены выборочные дисперсии Si2 и s22.

В основе метода проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, известного в литературе как ^-критерий, лежит теорема; выборочная функ­ ция

91