Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

119

Сравнивая (2.36) и (2.34) и учитывая (2.35), записываем

Pi

Pi

’

012 Kj.

 

 

(2.38)

 

 

 

или

1

 

1

 

 

 

 

 

 

7

(2.39)

P l ~ P l

K t

»

Яз = /73

К,

 

Аналогичные преобразования могут быть выполнены для систем

различных порядков и различных сочетаний

вещественных и ком­

плексно-сопряженных корней. Поэтому можем утверждать, что спра­

ведливо общее соотношение (2.32).

Из соотношения (2.32) вытекает, что для систем, имеющих

подобные переходные процессы, колебательности для всех комплекс­

но-сопряженных корней совпадают,

т.е. имеет место

 

ц • •

= ц • •

.

(2.40)

 

Г М +1

' П

| 4 Н '

 

 

В (2.40) через

i +i z У 1 i+rобозначены колебательности для

L -го и Li-1-го

корней характеристических уравнений примени­

тельно к процессам соответственно х

(t) и x ( t ) .

В справедливости (2.40) легко убедиться,

если сравнить ко­

лебательности для комплексно-сопряженных корней процессов

(2.34) и (2.36).

Рассмотренными соотношениями (2.40) и (2.32), а также

(2.26), (2.27) и (2.28) будем ниже широко пользоваться.

§2. УСЛОВИЯ ПОДОШЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ИСОКРАЩЕНИЕ ОБЪЕМА ИССЛЕДОВАНИЙ

Одно из преимуществ, которые дают условия подобия переход­ ных процессов, состоит в сокращении объема исследований при со­ ставлении аналитических зависимостей для показателей качества

процессов и в других случаях. Сокращение объема исследований

достигается благодаря тому, что можно, не нарушая общности ис­ следования, некоторые коэффициенты уравнений систем считать постоянными.

Здесь нужно иметь в виду, что один коэффициент уравнений

систем можно принимать постоянным, как известно, за счет обще­

го множителя для всех коэффициентов уравнений. Еще два коэстаи-

120

цизнта принимать постоянными позволяют условия подобия переход­ ных процессов.. Таким образом, общее число коэффициентов, кото­

рые можно считать постоянными, равно трем. Выбор этих коэффи­ циентов ничем не ограничивается, за исключением лишь того, что

один коэффициент должен обязательно относиться к правой части уравнений систем в соответствии с тем, что условия подобия процессов по оси ординат (2.15) связывают лишь коэффициенты

правых частей уравнений.

В данном исследовании постоянными будут приниматься два

коэффициента левых частей уравнений, которые будут разными для различных исследований, и один коэффициент правых частей урав­ нений, в качестве которого всегда будет выбираться последний коэффициент.

Сформулированное выше положение о том, что три коэффициен­

та уравнений систем могут приниматься постоянными без наруше­ ния общности исследования, нужно т.еперь доказать. Для этого по­

кажем, что переходный процесс для системы любого порядка, со­ ответствующий любому сочетанию коэффициентов уравнения, измене­

нием масштабов оси времени к€

и оси ординат к х может быть пре­

образован в один из процессов,

соответствующих фиксированным

значениям трех коэффициентов.

Тем самым будет доказано, что

яри исследовании переходных процессов при трех фиксированных коэффициентах выявляются все возможные по форме переходные про­ цессы и, следовательно, не нарушается общность исследования, по крайней мере, для формы процессов.

Пусть общим является уравнение (2.16), а уравнением, для которого проводятся исследования, пусть будет (2.17). Для по­ следнего уравнения три коэффициента, принимаются постоянными, а именно: i -я и J.-& коэффициенты левой части и т - й коэффициент правой части. В соответствии с изложенными выше замечаниями два

коэффициента относятся к левой части уравнения,

а третий - к

правой части и является для нее последним.

 

для конкретности примем

 

L -«/

(2.41)

и

 

a-L= 1 .

(2.42)

Тогда условия подобия (2,18) и (2.19) с включением в запись

<f -х коэффициентов левых частей примут вид

121

—

а0 ui

 

ai

 

Oi-J

„

 

<n+1

а 0~

a-L Kt

’ ° r ' ai

t '•>■■■>

a i- Г a L

Kt ’

а 1ч =

~°i

 

aj

i -J

j . «

On-i

-n+l+f

_

Qn -n+l

аУ:

Oi

ь

a .

Kt

 

— Kt

(2.43)

 

; ал=aL *

и_

*>o =

^m-i~

bo

m-n+L

t

h,

m-n+i-1

t

Kx i b } -

— K,

° i k

 

 

a L

*

 

 

 

 

ь т

-rt + l +1

 

n+i

<*i

« t

Kx ’

b m ~

сц Kt

 

 

 

 

Из условия (2.43) для j -х коэффициентов имеем

'9

*(2.44)

*4 =

 

(2Л5)

Ql ai

 

 

Из последнего соотношения (2.44) записываем:

 

и = а Ь™ * - / ( V

y - i

(2.46)

Подставляя полученные выражения (2.45)

и (2.46)

в другие

соотношения (2.43) и (2.44), получим значения коэффициентов

уравнения (2.17) (кроме значений <7 . и dj - эти значения зафик­

сированы), при которых процесс, соответствующий (2.16), будет по форме совпадать с процессом для уравнения (2.17).

Однако важным является не только то положение, что по форме

процессы, соответствующие (2.16) и (2.17), совпадают. Существен­

ное значение имеет также справедливость для рассматриваемых процессов соотношений (2.26) - (2.28), (2.32) и (2.40) и дру­

гих возможных аналогичных связей.

Связи (2.40) далее будут использоваться непосредственно,

а по связям (2.26) - (2.28) необходимы дополнительные поясне­ ния, которые изложим на примере системы третьего порядка.

Пусть для уравнений (2.16) и (2.17)

 

П = 3

и т =

2 .

 

(2.47)

Кроме того, пусть

 

 

 

 

i - 0

■, j -

1 \

а-- = а0 = /

(2.48)

122

Для составления зависимости по максимальному отклонению пусть было проверено исследование применительно к уравнению

(2.17) при фиксированных значениях для трех коэффициентов:

а 0 , а 7 и Ьг .

(2Л9)

В итоге исследования пусть были составлены графики зависимостей Аяяхтах= х тах% которые удалось аппроксимировать функцией

дз ’ b j . (2.50)

Обозначение х тах означает, что максимальное отклонение отно­

сится к уравнению (2.17).

Для того чтобы иметь общую зависимость, т.е. зависимость для уравнения (2.16), необходимо воспользоваться связями (2.43) и (2.44), которые с учетом (2.47) и (2.48) запишутся

а,

а

 

к 1

•

-

<7з -з

a ’ - a / t *

 

 

 

° * ~ а 0 к *

’

аЫ

к * >

 

г

 

 

 

 

(2.51)

Ьо -1

Ь,

-г

 

-

Ьо -3

Т 0 K t Кх »

b c s i K t K x 1

Ъг - ^ x t кх

Для масштаба оси времени Ht (2.45) имеем

 

 

 

 

1_

о,

 

 

(2.52)

 

к , = - ---- -

 

 

 

ь

О ,

а 0

 

 

 

Кроме того, необходимо воспользоваться выражением (2.46) для коэффициента масштаба оси ординат. Для данного случая имеем

 

 

 

 

 

6 2

(

а

' 3

 

(2.53)

 

 

 

 

 

Ь.2

 

 

а о '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\®0@1

 

 

Подставляя выражения для

а г ,

а3 ,

Ь0 и Ь?, ид ^ ^ из

(2.51)

и (2.26)

с

учетом (2.52)

и (2.53),

получим

 

 

а.

\ 3

7

а г j /

 

:

си ! п . \-3

Х т а х

ь

- 1

a n = f

—

 

 

 

 

 

а. а о )

0

\_а0 \, а ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

} (2.54)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

(1

 

^ \г Ьг .

 

1

Qi

иг

 

 

U

,

в о )

Ъг ’

ъ

Г

а о /

Ъг

 

 

 

 

"

 

 

J

После преобразований получим искомую общую зависимость для х тах

в виде

Смотрите также файлы